Teorema de Commandino

Las cuatro medianas de un tetraedro son concurrentes.

Medianas de un tetraedro que se corta en un punto (su centroide), tal que ${\displaystyle S}$
${\displaystyle {\frac {|AS|}{|SS_{BCD}|}}={\frac {|BS|}{|SS_{ACD}|}}={\frac {|CS|}{|SS_{ABD}|}}={\frac {|DS|}{|SS_{ABC}|}}={\frac {3}{1}}}$

El teorema de Commandino , que lleva el nombre de Federico Commandino (1509-1575), establece que las cuatro medianas de un tetraedro son concurrentes en un punto S , que las divide en una proporción de 3:1. En un tetraedro, una mediana es un segmento de recta que conecta un vértice con el centroide de la cara opuesta , es decir, el centroide del triángulo opuesto. El punto S es también el centroide del tetraedro. ^{[1] [2] [3]}

Historia

El teorema se atribuye a Commandino, quien afirmó, en su obra De Centro Gravitatis Solidorum (El centro de gravedad de los sólidos, 1565), que las cuatro medianas del tetraedro son concurrentes. Sin embargo, según el erudito del siglo XIX Guillaume Libri, Francesco Maurolico (1494-1575) afirmó haber encontrado el resultado antes. Sin embargo, Libri pensó que ya lo conocía incluso antes Leonardo da Vinci , quien parecía haberlo utilizado en su obra. Julian Coolidge compartió esa evaluación, pero señaló que no pudo encontrar ninguna descripción explícita o tratamiento matemático del teorema en las obras de da Vinci. ^[4] Otros estudiosos han especulado que es posible que los matemáticos griegos ya conocieran el resultado durante la antigüedad. ^[5]

Generalizaciones

El teorema de Commandino tiene un análogo directo para símplex de cualquier dimensión : ^[6]

Sea un -símplex de alguna dimensión y sean sus vértices. Además, sean , las medianas de , las líneas que unen cada vértice con el centroide de la faceta de dimensión opuesta . Luego, estas rectas se cortan entre sí en un punto , en una proporción de . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d>1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(d,n\in \mathbb {N} ,n\geq d)}$ ${\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{p}}$ ${\displaystyle \ell _{0},\ell _{1},\ldots ,\ell _{d}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle (d-1)}$ ${\displaystyle V_{0}\ldots V_{i-1}V_{i+1}\ldots V_{d}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d:1}$

Generalidad completa

La primera analogía es fácil de demostrar mediante el siguiente resultado, más general, que es análogo a la forma en que funcionan las palancas en física: ^[7]

Sean y números naturales , de modo que en un espacio vectorial se den puntos diferentes por pares . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle m+k}$ ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m},Y_{1},\dots ,Y_{k}\in {\mathcal {V}}}$

Sea el centroide de los puntos , sea el centroide de los puntos y sea el centroide de todos estos puntos. ${\displaystyle S_{X}}$ ${\displaystyle X_{i}\;(i=1,\dots ,m)}$ ${\displaystyle S_{Y}}$ ${\displaystyle Y_{j}\;(j=1,\dots ,k)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m+k}$

Entonces, uno tiene

${\displaystyle S=S_{X}+{\frac {k}{m+k}}(S_{Y}-S_{X})={\frac {m}{m+k}}S_{X}+{\frac {k}{m+k}}S_{Y}.}$

En particular, el centroide se encuentra sobre la recta y la divide en una proporción de . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\overline {{S_{X}}{S_{Y}}}}}$ ${\displaystyle k:m}$

teorema de reusch

El teorema anterior tiene otras consecuencias interesantes además de la generalización antes mencionada del teorema de Commandino. Puede usarse para demostrar el siguiente teorema sobre el centroide de un tetraedro, descrito por primera vez en Mathematische Unterhaltungen por el físico alemán Friedrich Eduard Reusch  [de] : ^{[8] [9]}

Se puede encontrar el centroide de un tetraedro tomando los puntos medios de dos pares de dos de sus bordes opuestos y conectando los puntos medios correspondientes a través de sus respectivas líneas medias. El punto de intersección de ambas líneas medias será el centroide del tetraedro.

Dado que un tetraedro tiene seis aristas en tres pares opuestos, se obtiene el siguiente corolario: ^[8]

En un tetraedro, las tres líneas medias correspondientes a los puntos medios de los bordes opuestos son concurrentes y su punto de intersección es el centroide del tetraedro.

Teorema de Varignon

Un caso específico del teorema de Reusch donde los cuatro vértices de un tetraedro son coplanares y se encuentran en un solo plano, degenerando así en un cuadrilátero , el teorema de Varignon, que lleva el nombre de Pierre Varignon , establece lo siguiente: ^{[10] [11]}

Sea un cuadrilátero dado. Luego, las dos líneas medias que conectan los puntos medios de los bordes opuestos se cruzan en el centroide del cuadrilátero y se dividen por la mitad. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Referencias

1. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Una odisea matemática en el espacio: geometría sólida en el siglo XXI . La Asociación Matemática de América, 2015, ISBN  9780883853580 , págs. 97–98
2. Nathan Altshiller-Court: El tetraedro y su paralelepípedo circunscrito . El profesor de matemáticas, vol. 26, núm. 1 (ENERO DE 1933), págs. 46–52 (JSTOR)
3. Norman Schaumberger: teorema de Commandino . Revista universitaria de matemáticas de dos años, vol. 13, núm. 5 (noviembre de 1982), pág. 331 (JSTOR)
4. Nathan Altshiller Court: Notas sobre el centroide . El profesor de matemáticas, vol. 53, núm. 1 (ENERO DE 1960), págs. 34 (JSTOR)
5. Howard Eves: Grandes momentos de las matemáticas (antes de 1650) . MAA, 1983, ISBN 9780883853108 , pág. 225 
6. Egbert Harzheim (1978). Einführung in die kombinatorische Topologie (en alemán). Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft. pag. 33.ISBN​ 3-534-07016-X.
7. Egbert Harzheim (1978), Einführung in die Kombinatorische Topologie (en alemán), Darmstadt, p. 31, ISBN 3-534-07016-X{{citation}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )
8. Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Ed.): Mathematische Unterhaltungen. Peso Zweites. 1973, págs. 100, 128
9. In den Mathematische Unterhaltungen (Zweites Heft, S. 128) wird auf die S. 36 von Reuschs Abhandlung Der Spitzbogen verwiesen.
10. Coxeter, op. cit., pág. 242
11. DUDEN: Rechnen und Mathematik. 1985, pág. 652

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Commandino". MundoMatemático .
• Un par de buenas extensiones de las propiedades medianas