Teorema de Brun-Titchmarsh

En la teoría analítica de números , el teorema de Brun-Titchmarsh , llamado así en honor a Viggo Brun y Edward Charles Titchmarsh , es un límite superior en la distribución de números primos en progresión aritmética .

Declaración

Contemos el número de primos p congruentes con un módulo  q con p  ≤  x . Entonces ${\displaystyle \pi (x;q,a)}$

${\displaystyle \pi (x;q,a)\leq {2x \over \varphi (q)\log(x/q)}}$

para todo q  <  x .

Historia

El resultado fue demostrado mediante métodos de tamiz por Montgomery y Vaughan; un resultado anterior de Brun y Titchmarsh obtuvo una versión más débil de esta desigualdad con un factor multiplicativo adicional de . ${\displaystyle 1+o(1)}$

Mejoras

Si q es relativamente pequeño, por ejemplo , entonces existe un límite mejor: ${\displaystyle q\leq x^{9/20}}$

${\displaystyle \pi (x;q,a)\leq {(2+o(1))x \over \varphi (q)\log(x/q^{3/8})}}$

Esto se debe a Y. Motohashi (1973), quien utilizó una estructura bilineal en el término de error en la criba de Selberg , descubierta por él mismo. Más tarde, esta idea de explotar las estructuras en los errores de cribado se convirtió en un método importante en la teoría analítica de números, debido a la extensión de H. Iwaniec a la criba combinatoria.

Comparación con el teorema de Dirichlet

Por el contrario, el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas da un resultado asintótico, que puede expresarse en la forma

${\displaystyle \pi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\log x}}\right)}\right)}$

pero esto sólo puede demostrarse para el rango más restringido q  < (log  x ) ^c para c constante : este es el teorema de Siegel-Walfisz .

Referencias

• Motohashi, Yoichi (1983), Métodos de tamiz y teoría de números primos , Tata IFR y Springer-Verlag, ISBN 3-540-12281-8
• Hooley, Christopher (1976), Aplicaciones de los métodos de tamiz a la teoría de números , Cambridge University Press, pág. 10, ISBN 0-521-20915-3
• Mikawa, H. (2001) [1994], "Teorema de Brun-Titchmarsh", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Montgomery, HL ; Vaughan, RC (1973), "El tamiz grande", Mathematika , 20 (2): 119–134, doi :10.1112/s0025579300004708, hdl : 2027.42/152543.