En el campo matemático de la geometría diferencial , el teorema fundamental de la teoría de superficies trata el problema de prescribir los datos geométricos de una subvariedad del espacio euclidiano . Demostrado originalmente por Pierre Ossian Bonnet en 1867, desde entonces se ha extendido a dimensiones superiores y contextos no euclidianos.
Toda superficie en el espacio euclidiano tridimensional tiene una primera y una segunda forma fundamental , que automáticamente están interrelacionadas por las ecuaciones de Gauss-Codazzi . El teorema de Bonnet afirma un inverso local para este resultado. [1]
Dada una región abierta D en R 2 , sean g y h 2-tensores simétricos en D , y además se requiere que g sea definido positivo. Si estos son suaves y satisfacen las ecuaciones de Gauss-Codazzi, entonces el teorema de Bonnet dice que D está cubierto por conjuntos abiertos que pueden ser integrados suavemente en R 3 con primera forma fundamental g y segunda forma fundamental (relativa a una de las dos opciones de campo vectorial normal unitario) h . Además, cada una de estas integraciones está determinada de forma única hasta un movimiento rígido de R 3 .
El teorema de Bonnet es un corolario del teorema de Frobenius , al considerar las ecuaciones de Gauss-Codazzi como un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden para las dos derivadas de coordenadas del vector de posición de una incrustación, junto con el vector normal. [2]
El teorema de Bonnet puede formularse naturalmente para hipersuperficies en un espacio euclidiano de cualquier dimensión, y el resultado sigue siendo cierto en este contexto. Además, el teorema puede extenderse desde la formulación local de Bonnet a una formulación global , permitiendo que D sea cualquier variedad suave conexa y simplemente conexa , con el resultado afirmando la existencia y unicidad (hasta un movimiento rígido) de una inmersión suave de D como una hipersuperficie del espacio euclidiano con primera forma fundamental g y segunda forma fundamental h . La idea de la prueba es utilizar la teoría de la existencia de la formulación local para construir la inmersión a lo largo de curvas arbitrarias que emanan de un único punto. La simple conexidad se utiliza para decir que dos de esas curvas con un punto final común son homotópicas (a través de caminos que fijan los puntos finales), y la unicidad de la formulación local implica que el valor de la inmersión en el punto final debe fijarse a través de la homotopía, de modo que resulta una inmersión que está bien definida en toda la variedad. [3]
En esta formulación global, la existencia no se cumpliría en general si se eliminara la condición de simple conexidad. Esto se puede ver en la inexistencia de una inmersión hipersuperficial del toro cuya primera forma fundamental es plana y cuya segunda forma fundamental es cero. [4]
El teorema también puede extenderse, más allá del contexto de las hipersuperficies, a la teoría de subvariedades de codimensión arbitraria . Esto es más complicado de formular, porque además de la primera y segunda forma fundamental, también existe la conexión (generalmente no trivial) en el fibrado normal que debe tenerse en cuenta. En esta generalidad, el teorema fundamental de la teoría de superficies subsume el teorema fundamental de las curvas . [5]
En este contexto general, el espacio euclidiano ambiental también puede ser reemplazado por cualquier variedad riemanniana conexa y geodésicamente completa de curvatura constante , lo que (como en el caso más especial de mayor codimensión) requiere una formulación adecuadamente extendida de las ecuaciones de Gauss-Codazzi. [5]