Teorema de Bondareva-Shapley

El teorema de Bondareva-Shapley , en teoría de juegos , describe una condición necesaria y suficiente para que el núcleo de un juego cooperativo en forma de función característica no esté vacío . Específicamente, el núcleo del juego no está vacío si y solo si el juego está equilibrado . El teorema de Bondareva-Shapley implica que los juegos de mercado y los juegos convexos tienen núcleos no vacíos. El teorema fue formulado independientemente por Olga Bondareva y Lloyd Shapley en la década de 1960.

Teorema

Sea el par un juego cooperativo en forma de función característica, donde es el conjunto de jugadores y donde la función valor está definida en el conjunto potencia de (el conjunto de todos los subconjuntos de ). ${\displaystyle \langle N,v\rangle }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle v:2^{N}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

El núcleo de no está vacío si y solo si para cada función donde se cumple la siguiente condición: ${\displaystyle \langle N,v\rangle }$ ${\displaystyle \alpha :2^{N}\setminus \{\emptyset \}\to [0,1]}$

${\displaystyle \forall i\in N:\sum _{S\in 2^{N}:\;i\in S}\alpha (S)=1}$

${\displaystyle \sum _{S\in 2^{N}\setminus \{\emptyset \}}\alpha (S)v(S)\leq v(N).}$

Referencias

• Bondareva, Olga N. (1963). "Algunas aplicaciones de métodos de programación lineal a la teoría de juegos cooperativos (en ruso)" (PDF) . Problemy Kybernetiki . 10 : 119–139.
• Kannai, Y (1992), "El núcleo y el equilibrio", en Aumann, Robert J. ; Hart, Sergiu (eds.), Handbook of Game Theory with Economic Applications, Volumen I. , Ámsterdam: Elsevier, págs. 355–395, ISBN 978-0-444-88098-7
• Shapley, Lloyd S. (1967). "Sobre conjuntos y núcleos equilibrados". Naval Research Logistics Quarterly . 14 (4): 453–460. doi :10.1002/nav.3800140404. hdl : 10338.dmlcz/135729 .