Teorema de Betti

El teorema de Betti , también conocido como teorema de trabajo recíproco de Maxwell-Betti , descubierto por Enrico Betti en 1872, establece que para una estructura elástica lineal sometida a dos conjuntos de fuerzas {P _i } i=1,...,n y {Q _j }, j=1,2,...,n, el trabajo realizado por el conjunto P a través de los desplazamientos producidos por el conjunto Q es igual al trabajo realizado por el conjunto Q a través de los desplazamientos producidos por el conjunto P. Este teorema tiene aplicaciones en ingeniería estructural donde se utiliza para definir líneas de influencia y derivar el método de elementos de contorno .

El teorema de Betti se utiliza en el diseño de mecanismos compatibles mediante el enfoque de optimización topológica.

Prueba

Consideremos un cuerpo sólido sometido a un par de sistemas de fuerzas externas, denominados y . Consideremos que cada sistema de fuerzas provoca un campo de desplazamiento, con los desplazamientos medidos en el punto de aplicación de la fuerza externa denominados y . ${\displaystyle F_{i}^{P}}$ ${\displaystyle F_{i}^{Q}}$ ${\displaystyle d_{i}^{P}}$ ${\displaystyle d_{i}^{Q}}$

Cuando el sistema de fuerzas se aplica a la estructura, el equilibrio entre el trabajo realizado por el sistema de fuerzas externas y la energía de deformación es: ${\displaystyle F_{i}^{P}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{P}={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Omega }$

El balance de trabajo-energía asociado al sistema de fuerzas es el siguiente: ${\displaystyle F_{i}^{Q}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{Q}={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\Omega }$

Ahora, considere que con el sistema de fuerzas aplicado, el sistema de fuerzas se aplica posteriormente. Como el sistema de fuerzas ya está aplicado y, por lo tanto, no causará ningún desplazamiento adicional, el balance de trabajo-energía asume la siguiente expresión: ${\displaystyle F_{i}^{P}}$ ${\displaystyle F_{i}^{Q}}$ ${\displaystyle F_{i}^{P}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{P}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{Q}+\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Omega +{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\Omega +\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\Omega }$

Por el contrario, si consideramos el sistema de fuerzas ya aplicado y el sistema de fuerzas externas aplicado posteriormente, el balance trabajo-energía asumirá la siguiente expresión: ${\displaystyle F_{i}^{Q}}$ ${\displaystyle F_{i}^{P}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{Q}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{P}+\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{P}={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\Omega +{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Omega +\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Omega }$

Si se restan respectivamente los balances de trabajo-energía para los casos en que los sistemas de fuerzas externas se aplican aisladamente de los casos en que los sistemas de fuerzas se aplican simultáneamente, llegamos a las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}=\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\Omega }$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{P}=\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Omega }$

Si el cuerpo sólido donde se aplican los sistemas de fuerzas está formado por un material elástico lineal y si los sistemas de fuerzas son tales que sólo se observan deformaciones infinitesimales en el cuerpo, entonces la ecuación constitutiva del cuerpo , que puede seguir la ley de Hooke , se puede expresar de la siguiente manera:

${\displaystyle \sigma _{ij}=D_{ijkl}\epsilon _{kl}}$

Reemplazando este resultado en el conjunto anterior de ecuaciones llegamos al siguiente resultado:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}=\int _{\Omega }D_{ijkl}\epsilon _{ij}^{P}\epsilon _{kl}^{Q}\,d\Omega }$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{P}=\int _{\Omega }D_{ijkl}\epsilon _{ij}^{Q}\epsilon _{kl}^{P}\,d\Omega }$

Si restamos ambas ecuaciones obtenemos el siguiente resultado:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}=\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{P}}$

Ejemplo

Para dar un ejemplo sencillo, supongamos que m=1 y n=1. Consideremos una viga horizontal en la que se han definido dos puntos: el punto 1 y el punto 2. Primero aplicamos una fuerza vertical P en el punto 1 y medimos el desplazamiento vertical del punto 2, denotado como . A continuación, eliminamos la fuerza P y aplicamos una fuerza vertical Q en el punto 2, que produce un desplazamiento vertical en el punto 1 de . El teorema de reciprocidad de Betti establece que: ${\displaystyle \Delta _{P2}}$ ${\displaystyle \Delta _{Q1}}$

${\displaystyle P\,\Delta _{Q1}=Q\,\Delta _{P2}.}$

Ejemplo del teorema de Betti

Véase también

• Principio de D'Alembert

Referencias

• A. Ghali; AM Neville (1972). Análisis estructural: un enfoque clásico y matricial unificado . Londres, Nueva York: E & FN SPON. p. 215. ISBN 0-419-21200-0.