Teorema de Atkinson-Stiglitz

Teorema de la economía pública

El teorema de Atkinson-Stiglitz es un teorema de la economía pública , lo que implica que no es necesario emplear impuestos indirectos cuando la función de utilidad es separable entre el trabajo y todos los productos. El gobierno puede utilizar el impuesto sobre la renta no lineal , como se publicó en un artículo fundamental de Joseph Stiglitz y Anthony Atkinson en 1976. ^[1] El teorema de Atkinson-Stiglitz se considera un resultado teórico importante en la economía pública, y generó una amplia literatura que delimitó las condiciones bajo las cuales se cumple el teorema. Por ejemplo, Saez (2002) demostró que el teorema de Atkinson-Stiglitz no se cumple si los hogares tienen preferencias heterogéneas en lugar de homogéneas. ^{[2] [3]} En la práctica, el teorema de Atkinson-Stiglitz se ha invocado a menudo en el debate sobre la tributación óptima sobre la renta del capital . Como la tributación sobre la renta del capital puede interpretarse como la tributación del consumo futuro sobre la tributación del consumo presente, el teorema implica que los gobiernos deberían abstenerse de tributar la renta del capital si la tributación no lineal sobre la renta es una opción, ya que la tributación sobre la renta del capital no mejoraría la equidad en comparación. al impuesto sobre la renta no lineal, distorsionando además el ahorro.

Fiscalidad óptima

Para un individuo cuyo salario es , la restricción presupuestaria se calcula mediante ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \sum _{j}q_{j}x_{j}=\sum _{j}(x_{j}+t_{j}(x_{j}))=wL-T(wL)\;,}$

donde y son el precio y la compra del -ésimo bien, respectivamente. ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Para maximizar la función de utilidad, la condición de primer orden es:

${\displaystyle U_{j}={\frac {(1+t'_{j})(-U_{L})}{w(1-T')}}\;(j=1,2,...,N).}$

El gobierno maximiza la función de bienestar social, y así

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[wL-\sum _{j}x_{j}-{\overline {R}}\right]dF=0\;.}$

Luego se utiliza una función de densidad para expresar el hamiltoniano: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle H=\left[G(U)-\lambda \left\lbrace wL-\sum _{j}x_{j}-{\overline {R}}\right\rbrace \right]f-\mu \theta U_{L}\;.}$

Tomando su variación sobre , se utiliza la condición para su máximo. ${\displaystyle x_{j}}$

${\displaystyle -\lambda \left[\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial x_{j}}}\right)_{U}+1\right]-{\frac {\mu \theta }{f}}\left[{\frac {\partial ^{2}U}{\partial x_{1}\partial L}}\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial x_{j}}}\right)_{U}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial x_{j}\partial L}}\right]=0\;.}$

Entonces se cumple la siguiente relación:

${\displaystyle \left({\frac {\partial x_{1}}{\partial x_{j}}}\right)_{U}=-{\frac {U_{j}}{U_{1}}}=-{\frac {1+t'_{j}}{1+t'_{1}}}\;.}$

Sustituyendo esta relación en la condición anterior se obtiene:

${\displaystyle \lambda \left[{\frac {1+t'_{j}}{1+t'_{1}}}-1\right]={\frac {\mu \theta U_{j}}{f}}\left[{\frac {\partial ^{2}U}{\partial L\partial x_{j}}}\cdot {\frac {1}{U_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}U}{\partial L\partial x_{1}}}\cdot {\frac {1}{U_{1}}}\right]={\frac {\mu \theta U_{j}}{f}}{\frac {\partial }{\partial L}}\left(\ln {U_{j}}-\ln {U_{1}}\right)\;,}$

y se obtiene lo siguiente:

${\displaystyle \lambda \left[{\frac {1+t'_{j}}{1+t'_{1}}}-1\right]={\frac {\mu \theta U_{j}}{f}}{\frac {\partial }{\partial L}}\left(\ln {\frac {U_{j}}{U_{1}}}\right)\;.}$

Tenga en cuenta que no hay pérdida de generalidad al establecer cero, por lo tanto se pone. Desde , ${\displaystyle t'_{1}}$ ${\displaystyle t'_{1}=0}$ ${\displaystyle U_{j}=(1+t'_{j})\alpha }$

${\displaystyle {\frac {t'_{j}}{1+t'_{j}}}={\frac {\mu \theta \alpha }{\lambda f}}{\frac {\partial }{\partial L}}\left(\ln {\frac {U_{j}}{U_{1}}}\right)\;.}$

Por lo tanto, no es necesario emplear impuestos indirectos, ^[1] es decir , siempre que la función de utilidad sea débilmente separable entre el trabajo y todos los bienes de consumo. ${\displaystyle t_{j}=0}$

Otro enfoque

Joseph Stiglitz explica por qué los impuestos indirectos son innecesarios y analiza el teorema de Atkinson-Stiglitz desde una perspectiva diferente. ^[4]

Conceptos básicos

Supongamos que los que están en la categoría 2 son los más capaces. Entonces, se imponen dos condiciones para que la tributación eficiente en el sentido de Pareto sea la que aspira un gobierno. La primera condición es que la utilidad de la categoría 1 sea igual o superior a un nivel determinado:

${\displaystyle {\overline {U}}_{1}\leq V_{1}(C_{1},Y_{1})\quad .}$

La segunda condición es que los ingresos del gobierno , que son iguales o superiores a los requisitos de ingresos , se incrementan en una cantidad determinada: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\overline {R}}}$

${\displaystyle R=-(C_{1}-Y_{1})N_{1}-(C_{2}-Y_{2})N_{2}\;,}$

${\displaystyle {\overline {R}}\leq R\;,}$

donde e indique el número de individuos de cada tipo. En estas condiciones, el gobierno necesita maximizar la utilidad de la categoría 2. Luego, escriba la función de Lagrange para este problema: ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}}$ ${\displaystyle V_{2}(C_{2},Y_{2})}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=V_{2}(C_{2},Y_{2})+\mu V_{1}(C_{1},Y_{1})+\lambda _{2}(V_{2}(C_{2},Y_{2})-V_{2}(C_{1},Y_{1}))+\lambda _{1}(V_{1}(C_{1},Y_{1})-V_{1}(C_{2},Y_{2}))+\gamma \left(-(C_{1}-Y_{1})N_{1}-(C_{2}-Y_{2})N_{2}-{\overline {R}}\right)\;,}$

Para asegurar la satisfacción de las restricciones de autoselección, las condiciones de primer orden son:

${\displaystyle \mu {\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1}}}-\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{1}}}+\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1}}}-\gamma N_{1}=0\;,}$

${\displaystyle \mu {\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{1}}}-\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{1}}}+\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{1}}}+\gamma N_{1}=0\;,}$

${\displaystyle {\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2}}}-\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{2}}}-\gamma N_{2}=0\;,}$

${\displaystyle {\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}-\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{2}}}+\gamma N_{2}=0\;.}$

Para el caso donde y : ${\displaystyle \lambda _{1}=0}$ ${\displaystyle \lambda _{2}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial V_{i}/\partial Y_{i}}{\partial V_{i}/\partial C_{i}}}+1=0\;,}$

porque , por lo tanto, el gobierno puede lograr una tributación de suma global. Para el caso donde y : ${\displaystyle i=1,2}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=0}$ ${\displaystyle \lambda _{2}>0}$

${\displaystyle {\frac {\partial V_{2}/\partial Y_{2}}{\partial V_{2}/\partial C_{2}}}+1=0\;,}$

el tipo impositivo marginal para la categoría 2 es cero. En cuanto a la categoría 1:

${\displaystyle {\frac {\partial V_{1}/\partial Y_{2}}{\partial V_{1}/\partial C_{1}}}=-{\frac {1-\lambda _{2}(\partial V_{2}/\partial Y_{1})/N_{1}\gamma }{1+\lambda _{2}(\partial V_{2}/\partial C_{1})/N_{1}\gamma }}\;.}$

Si , la tasa impositiva marginal para la categoría 1 es . ${\displaystyle \delta _{i}={\frac {\partial V_{i}/\partial Y_{1}}{\partial V_{i}/\partial C_{1}}}\;,\quad (i=1,2)}$ ${\displaystyle \delta _{1}+1}$

Además, tenga en cuenta la siguiente ecuación:

${\displaystyle \delta _{1}=-\left({\frac {1-\nu \delta _{2}}{1+\nu }}\right)\;,}$

donde se denota por: ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \nu ={\frac {\lambda _{2}(\partial V_{2}/\partial C_{1})}{N_{1}\gamma }}\;.}$

Por lo tanto, mediante la suposición, y así se puede probar directamente. En consecuencia, el tipo impositivo marginal para la categoría 1 es positivo. ${\displaystyle \delta _{1}<\delta _{2}}$ ${\displaystyle -1<\delta _{1}<\delta _{2}}$

Para el caso en el que , y , la tasa impositiva marginal para la categoría 2 es negativa. El impuesto de suma global aplicado a un individuo de la categoría 1 sería mayor que el de la categoría 2 si el impuesto de suma global fuera factible. ${\displaystyle \lambda _{1}>0}$ ${\displaystyle \lambda _{2}=0}$

Varios productos

Consideremos un caso en el que son observables el nivel de ingreso y varios productos. ^{[ se necesita aclaración ]} La función de consumo de cada individuo se expresa en forma vectorial como:

${\displaystyle {\textbf {C}}_{1}=\sum _{j}C_{1j}{\textbf {e}}_{j}}$

${\displaystyle {\textbf {C}}_{2}=\sum _{j}C_{2j}{\textbf {e}}_{j}\;.}$

En este caso, la restricción presupuestaria del gobierno es:

${\displaystyle R\leq \sum _{k=1}^{2}(Y_{k}N_{k})-N_{1}\sum _{j}C_{1j}-N_{2}\sum _{j}C_{2j}\;.}$

Entonces:

${\displaystyle \mu {\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}-\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{1j}}}+\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}-\gamma N_{1}=0\;,}$

${\displaystyle \mu {\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{1}}}-\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{1}}}+\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{1}}}+\gamma N_{1}=0\;,}$

${\displaystyle {\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}-\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{2j}}}-\gamma N_{2}=0\;,}$

${\displaystyle {\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}-\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{2}}}+\gamma N_{2}=0\;.}$

Aquí y . Por lo tanto, se deduce que: ${\displaystyle \lambda _{1}=0}$ ${\displaystyle \lambda _{2}>0}$

${\displaystyle {\frac {\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2n}}}}=1\;,\quad {\frac {\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}}=1\;.}$

Supongamos que todos los individuos tienen la misma curva de indiferencia en el plano CL. La separabilidad entre ocio y consumo se puede expresar como:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U_{k}}{\partial C_{kj}\partial L_{k}}}=0\;,}$flexible

${\displaystyle {\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}={\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{1j}}}\;.}$

Como resultado:

${\displaystyle {\frac {\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1n}}}}=1\;.}$

Por tanto, Stiglitz afirmó que es innecesario imponer impuestos a las mercancías. ^[4]

Condiciones para la aleatorización

Consideremos un escenario en el que las personas con altas capacidades, que normalmente obtienen ingresos más altos como reflejo de sus habilidades, restan importancia a sus habilidades. En este caso, se podría argumentar que el gobierno necesita aleatorizar los impuestos impuestos a las personas con baja capacidad, para aumentar la efectividad de la evaluación . Es posible que bajo ciertas condiciones los impuestos puedan ser aleatorios sin dañar a los individuos de baja capacidad. Para el caso en el que un individuo opta por demostrar su capacidad, se relaciona una tabla de impuestos . Para el caso en el que un individuo opta por ocultar su capacidad, existen dos posibilidades de tabla impositiva: y . La aleatorización se realiza de modo que el riesgo del primer caso difiera del del segundo. ${\displaystyle \lbrace C_{2}^{*},Y_{2}^{*}\rbrace }$ ${\displaystyle \lbrace C_{1}^{*},Y_{1}^{*}\rbrace }$ ${\displaystyle \lbrace C_{1}^{**},Y_{1}^{**}\rbrace }$

Para evitar afectar al grupo de baja capacidad, el consumo medio debe desplazarse hacia arriba en cada . A medida que se maximiza el consumo, se establece un mayor para un mayor . Entonces las relaciones entre esas variables son: ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\overline {C}}_{1}}$ ${\displaystyle {\overline {Y}}_{1}}$

${\displaystyle C_{1}^{*}={\overline {C}}_{1}+h\;,\quad Y_{1}^{*}={\overline {Y}}_{1}+\lambda h}$

${\displaystyle C_{1}^{**}={\overline {C}}_{1}-h\;,\quad Y_{1}^{**}={\overline {Y}}_{1}-\lambda h\;.}$

La función de utilidad es y , por lo tanto la condición para el óptimo es: ${\displaystyle V_{2}(C_{1}^{*},Y_{1}^{*})}$ ${\displaystyle V_{2}(C_{1}^{**},Y_{1}^{**})}$

${\displaystyle V_{2C^{*}}(d{\overline {C}}_{1}+dh)+V_{2Y^{*}}(d{\overline {Y}}_{1}+\lambda dh)+V_{2C^{**}}(d{\overline {C}}_{1}-dh)+V_{2Y^{**}}(d{\overline {Y}}_{1}-\lambda dh)=0\;,}$

y de la misma manera:

${\displaystyle V_{1C^{*}}(d{\overline {C}}_{1}+dh)+V_{1Y^{*}}(d{\overline {Y}}_{1}+\lambda dh)+V_{1C^{**}}(d{\overline {C}}_{1}-dh)+V_{1Y^{**}}(d{\overline {Y}}_{1}-\lambda dh)=0\;.}$

Y, en consecuencia:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}SV_{2C}&SV_{2Y}\\SV_{1C}&SV_{1Y}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d{\overline {C}}\\d{\overline {Y}}\end{bmatrix}}=-{\begin{bmatrix}DV_{2C}+\lambda DV_{2Y}\\DV_{1C}+\lambda DV_{1C}\end{bmatrix}}dh\;,}$

donde y y . De manera similar, y . ${\displaystyle SV_{kC}=V_{kC^{*}}+V_{kC^{**}}}$ ${\displaystyle SV_{kY}=V_{kY^{*}}+V_{kY^{**}}}$ ${\displaystyle k=1,2}$ ${\displaystyle DV_{kC}=V_{kC^{*}}-V_{kC^{**}}}$ ${\displaystyle DV_{kY}=V_{kY^{*}}-V_{kY^{**}}}$

Entonces:

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {d({\overline {Y}}-{\overline {C}})}{dh}}={\frac {F_{1}-F_{2}}{(-2)(MRS_{1}-MRS_{2})}}\;,}$

dónde . En cuanto a se denotan por y . Además, está definido por . La primera derivada de con respecto a , en , es cero porque , por lo que es necesario calcular su segunda derivada. ${\displaystyle MRS_{k}=-({\frac {\partial V_{k}}{\partial C_{1}}})^{-1}{\frac {\partial V_{k}}{\partial Y_{1}}}}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}=({\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{1}}})^{-1}M_{2}(1-MRS_{1})}$ ${\displaystyle F_{2}=({\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1}}})^{-1}M_{1}(1-MRS_{2})}$ ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle M_{k}=DV_{kC}+\lambda DV_{kY}}$ ${\displaystyle {\overline {Y}}-{\overline {C}}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h=0}$ ${\displaystyle M_{k}=0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}({\overline {Y}}-{\overline {C}})}{dh^{2}}}=H_{1}+H_{2}\;,}$

dónde y . Y así desaparece en . Entonces: ${\displaystyle H_{1}={\frac {d(F_{1}-F_{2})}{dh}}{\frac {1}{-2(MRS_{1}-MRS_{2})}}}$ ${\displaystyle H_{2}=(-1){\frac {d({\overline {Y}}-{\overline {C}})}{dh}}{\frac {d\ln {(-2)(MRS_{1}-MRS_{2})}}{dh}}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle h=0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}({\overline {Y}}-{\overline {C}})}{dh^{2}}}={\frac {I_{1}+I_{2}}{(-1)(MRS_{1}-MRS_{2})}}\;\;.}$

${\displaystyle I_{1}=(V_{2CC}+2\lambda V_{2CY}+\lambda ^{2}V_{2YY})({\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{1}}})^{-1}(1-MRS_{1})}$

${\displaystyle I_{2}=(-1)(V_{1CC}+2\lambda V_{1CY}+\lambda ^{2}V_{1YY})({\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1}}})^{-1}(1-MRS_{2})}$

Desde , se calcula la condición bajo la cual la aleatorización es deseable: ^[4] ${\displaystyle MRS_{2}<MRS_{1}<1}$

${\displaystyle (V_{2CC}+2\lambda V_{2CY}+\lambda ^{2}V_{2YY})(V_{1C_{1}}+V_{2Y_{1}})-(V_{1CC}+2\lambda V_{1CY}+\lambda ^{2}V_{2YY})(V_{2C_{1}}+V_{2Y_{1}})<0\;.}$

Ver también

• Redistribución de la riqueza
• Optimidad de Pareto

Fuentes

1. Atkinson, AB; Stiglitz, JE (1976). "El diseño de la estructura tributaria: tributación directa versus indirecta". Revista de Economía Pública . 6 (1–2): 55–75 [p. 74]. doi :10.1016/0047-2727(76)90041-4.
2. Sáez, E. (2002). "La conveniencia de la tributación de los productos básicos en un marco de impuestos sobre la renta no lineales y gustos heterogéneos" (PDF) . Revista de Economía Pública . 83 (2): 217–230. doi :10.1016/S0047-2727(00)00159-6.
3. Broadway, RW; Pestieau, P. (2003). "Impuestos indirectos y redistribución: el alcance del teorema de Atkinson-Stiglitz". Economía para un mundo imperfecto: ensayos en honor a Joseph E. Stiglitz . Prensa del MIT. págs. 387–403. ISBN 0-262-01205-7.
4. JE Stiglitz, Revista de Economía Pública, 17 (1982) 213-124, Holanda Septentrional