En la teoría matemática de juegos , la teoría de género en juegos imparciales es una teoría mediante la cual se pueden analizar algunos juegos jugados bajo la convención del juego misère , para predecir la clase de resultados de los juegos.
La teoría de género se publicó por primera vez en el libro On Numbers and Games , y más tarde en Winning Ways for your Mathematical Plays Volumen 2.
A diferencia de la teoría de Sprague-Grundy para juegos imparciales de juego normal, la teoría del género no es una teoría completa para juegos imparciales de juego miserable.
El género de un juego se define utilizando el mex (mínimo excluyente) de las opciones de un juego.
g+ es el valor bruto o nimber de un juego bajo la convención de juego normal.
g- o λ 0 es la clase de resultado de un juego bajo la convención de juego misère.
Más específicamente, para encontrar g+, *0 se define para tener g+ = 0, y todos los demás juegos tienen g+ igual al mex de sus opciones.
Para encontrar g−, *0 tiene g− = 1, y todos los demás juegos tienen g− igual al mex de g− de sus opciones.
λ 1 , λ 2 ..., es igual al valor g− de un juego sumado a un número de *2 juegos nim, donde el número es igual al subíndice.
Por tanto, el género de un juego es g λ 0 λ 1 λ 2 ... .
*0 tiene valor de género 0 120. Nótese que el superíndice continúa indefinidamente, pero en la práctica, un superíndice se escribe con un número finito de dígitos, porque se puede demostrar que, eventualmente, los últimos 2 dígitos se alternan indefinidamente...
Se puede utilizar para predecir el resultado de:
Además, algunas parejas inquietas o inquietas pueden formar partidas mansas, si son equivalentes. Dos partidas son equivalentes si tienen las mismas opciones, donde las mismas opciones se definen como opciones para partidas equivalentes. Añadir una opción de la que hay un movimiento reversible no afecta a la equivalencia.
Algunas parejas inquietas, cuando se añaden a otra partida inquieta de la misma especie, siguen siendo mansas.
Un juego medio domesticado, sumado a sí mismo, equivale a *0.
Para comprender mejor la teoría de géneros, es importante saber cómo funcionan los movimientos reversibles. Supongamos que hay dos juegos A y B, donde A y B tienen las mismas opciones (movimientos disponibles), entonces, por supuesto, son equivalentes.
Si B tiene una opción extra, digamos para un juego X, entonces A y B siguen siendo equivalentes si hay un movimiento de X a A.
Es decir, B es igual que A en todos los aspectos, excepto en un movimiento extra (X), que se puede revertir.
Los diferentes juegos (posiciones) se pueden clasificar en varios tipos:
Esto no significa que una posición sea exactamente como un montón de nim bajo la convención de juego misère, pero clasificar un juego como nim significa que es equivalente a un montón de nim.
Un juego es un juego nim si:
Estas son posiciones que podemos considerar como posiciones nim (nótese la diferencia entre posiciones nim, que pueden ser muchos montones nim sumados, y un único montón nim, que solo puede ser un montón nim). Un juego G es dócil si:
Tenga en cuenta que los movimientos a g ? y ? λ en realidad pueden ser la misma opción. ? significa cualquier número.