Teoría del PCF

La teoría PCF es el nombre de una teoría matemática , introducida por Saharon Shelah (1978), que trata de la cofinalidad de los ultraproductos de conjuntos ordenados . Proporciona límites superiores sólidos para las cardinalidades de los conjuntos potencia de cardinales singulares y también tiene muchas más aplicaciones. La abreviatura "PCF" significa "posibles cofinalidades ".

Definiciones principales

Si A es un conjunto infinito de cardinales regulares , D es un ultrafiltro en A , entonces denotamos la cofinalidad del conjunto ordenado de funciones donde el ordenamiento se define de la siguiente manera: si . pcf( A ) es el conjunto de cofinalidades que ocurren si consideramos todos los ultrafiltros en A , es decir, ${\displaystyle \operatorname {cf} \left(\prod A/D\right)}$ ${\displaystyle \prod A}$ ${\displaystyle f<g}$ ${\displaystyle \{x\in A:f(x)<g(x)\}\in D}$

${\displaystyle \operatorname {pcf} (A)=\left\{\operatorname {cf} \left(\prod A/D\right):D\,\,{\mbox{is an ultrafilter on}}\,\,A\right\}.}$

Resultados principales

Obviamente, pcf( A ) consiste en cardinales regulares. Considerando ultrafiltros concentrados en elementos de A , obtenemos que . Shelah demostró que si , entonces pcf( A ) tiene un elemento más grande, y hay subconjuntos de A tales que para cada ultrafiltro D en A , es el elemento menor θ de pcf( A ) tal que . En consecuencia, . Shelah también demostró que si A es un intervalo de cardinales regulares (es decir, A es el conjunto de todos los cardinales regulares entre dos cardinales), entonces pcf( A ) es también un intervalo de cardinales regulares y |pcf( A )|<| A | ⁺⁴ . Esto implica la famosa desigualdad ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {pcf} (A)}$ ${\displaystyle |A|<\min(A)}$ ${\displaystyle \{B_{\theta }:\theta \in \operatorname {pcf} (A)\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cf} \left(\prod A/D\right)}$ ${\displaystyle B_{\theta }\in D}$ ${\displaystyle \left|\operatorname {pcf} (A)\right|\leq 2^{|A|}}$

${\displaystyle 2^{\aleph _{\omega }}<\aleph _{\omega _{4}}}$

suponiendo que ℵ _ω es límite fuerte .

Si λ es un cardinal infinito, entonces J _{< λ} es el siguiente ideal en A . B ∈ J _{< λ} si se cumple para cada ultrafiltro D con B ∈ D . Entonces J _{< λ} es el ideal generado por los conjuntos . Existen escalas , es decir, para cada λ∈pcf( A ) hay una secuencia de longitud λ de elementos de la cual es a la vez creciente y cofinal módulo J _{< λ} . Esto implica que la cofinalidad de bajo dominancia puntual es max(pcf( A )). Otra consecuencia es que si λ es singular y ningún cardinal regular menor que λ es Jónsson , entonces también λ ⁺ no es Jónsson. En particular, hay un álgebra de Jónsson en ℵ _ω+1 , que resuelve una vieja conjetura. ${\displaystyle \operatorname {cf} \left(\prod A/D\right)<\lambda }$ ${\displaystyle \{B_{\theta }:\theta \in \operatorname {pcf} (A),\theta <\lambda \}}$ ${\displaystyle \prod B_{\lambda }}$ ${\displaystyle \prod A}$

Problemas sin resolver

La conjetura más notoria en la teoría pcf establece que |pcf( A )|=| A | se cumple para cada conjunto A de cardinales regulares con | A |<min( A ). Esto implicaría que si ℵ _ω es un límite fuerte, entonces el límite agudo

${\displaystyle 2^{\aleph _{\omega }}<\aleph _{\omega _{1}}}$

Se mantiene el límite análogo

${\displaystyle 2^{\aleph _{\omega _{1}}}<\aleph _{\omega _{2}}}$

se desprende de la conjetura de Chang ( Magidor ) o incluso de la inexistencia de un árbol Kurepa ( Shelah ).

Una conjetura más débil, aún sin resolver, establece que si | A |<min( A ), entonces pcf( A ) no tiene ningún punto límite inaccesible. Esto es equivalente a la afirmación de que pcf(pcf( A ))=pcf( A ).

Aplicaciones

La teoría ha encontrado una gran cantidad de aplicaciones, además de la aritmética cardinal. El estudio original de Shelah, Cardinal arithmetic for skeptics , incluye los siguientes temas: grupos abelianos casi libres, problemas de partición, falla de conservación de condiciones de cadena en álgebras de Boole bajo productos, existencia de álgebras de Jónsson, existencia de órdenes lineales entrelazados, álgebras de Boole equivalentemente estrechas y la existencia de modelos no isomorfos equivalentes en ciertas lógicas infinitarias.

Mientras tanto, se han encontrado muchas otras aplicaciones en la teoría de conjuntos, la teoría de modelos, el álgebra y la topología.

Referencias

• Saharon Shelah, Aritmética cardinal , Oxford Logic Guides, vol. 29. Oxford University Press, 1994.

Enlaces externos

• Menachem Kojman: Teoría del PCF
• Shelah, Saharon (1978), "Álgebras de Jonsson en cardinales sucesores", Israel Journal of Mathematics , 30 (1): 57–64, doi :10.1007/BF02760829, MR  0505434
• Shelah, Saharon (1992), "Aritmética cardinal para escépticos", Boletín de la American Mathematical Society , Nueva serie, 26 (2): 197–210, arXiv : math/9201251 , doi :10.1090/s0273-0979-1992-00261-6, MR  1112424