Teoría de Iwasawa

Estudio de objetos de interés aritmético sobre torres infinitas de campos numéricos

En teoría de números , la teoría de Iwasawa es el estudio de objetos de interés aritmético sobre torres infinitas de cuerpos numéricos . Comenzó como una teoría de módulos de Galois de grupos de clases ideales , iniciada por Kenkichi Iwasawa  (1959) (岩澤 健吉), como parte de la teoría de campos ciclotómicos . A principios de la década de 1970, Barry Mazur consideró generalizaciones de la teoría de Iwasawa a variedades abelianas . Más recientemente (principios de la década de 1990), Ralph Greenberg ha propuesto una teoría de Iwasawa para motivos .

Formulación

Iwasawa trabajó con las llamadas -extensiones: extensiones infinitas de un cuerpo de números con un grupo de Galois isomorfo al grupo aditivo de los números enteros p-ádicos para algún primo p . (Estas se llamaban -extensiones en los primeros artículos. ^[1] ) Cada subgrupo cerrado de es de la forma por lo que, según la teoría de Galois, una -extensión es lo mismo que una torre de cuerpos. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma ^{p^{n}},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle F_{\infty }/F}$

${\displaystyle F=F_{0}\subset F_{1}\subset F_{2}\subset \cdots \subset F_{\infty }}$

De tal manera que Iwawawa estudió los módulos clásicos de Galois haciendo preguntas sobre la estructura de los módulos. ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{n}/F)\cong \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{\infty }.}$

De manera más general, la teoría de Iwasawa plantea preguntas sobre la estructura de los módulos de Galois sobre extensiones con un grupo de Galois que es un grupo de Lie p-ádico .

Ejemplo

Sea un número primo y sea el campo generado por las raíces ésimas de la unidad. Iwasawa consideró la siguiente torre de campos numéricos: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\mu _{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle K=K_{0}\subset K_{1}\subset \cdots \subset K_{\infty },}$

¿Dónde está el campo generado al unir a las raíces p ^{n +1} -as de la unidad y ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K_{\infty }=\bigcup K_{n}.}$

El hecho de que esto implique, por la teoría de Galois infinita, que Para obtener un módulo de Galois interesante, Iwasawa tomó el grupo de clases ideal de , y sea su parte de p -torsión. Hay funciones normativas siempre que , y esto nos da los datos de un sistema inverso . Si establecemos ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{n}/K)\simeq \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{\infty }/K)\simeq \varprojlim _{n}\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} =\mathbb {Z} _{p}.}$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle I_{m}\to I_{n}}$ ${\displaystyle m>n}$

${\displaystyle I=\varprojlim I_{n},}$

Entonces no es difícil ver a partir de la construcción del límite inverso que es un módulo sobre De hecho, es un módulo sobre el álgebra de Iwasawa . Este es un anillo local regular bidimensional , y esto hace posible describir módulos sobre él. A partir de esta descripción es posible recuperar información sobre la parte p del grupo de clases de ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} _{p}[[\Gamma ]]}$ ${\displaystyle K.}$

La motivación aquí es que la p -torsión en el grupo de clases ideal de ya había sido identificada por Kummer como el principal obstáculo para la prueba directa del Último Teorema de Fermat . ${\displaystyle K}$

Conexiones con el análisis p-ádico

A partir de este comienzo en la década de 1950, se ha construido una teoría sustancial. Se observó una conexión fundamental entre la teoría de módulos y las funciones L p-ádicas que fueron definidas en la década de 1960 por Kubota y Leopoldt. Estos últimos comienzan a partir de los números de Bernoulli y utilizan la interpolación para definir análogos p-ádicos de las funciones L de Dirichlet . Se hizo evidente que la teoría tenía perspectivas de avanzar finalmente a partir de los resultados de Kummer, que databan de hace un siglo, sobre los primos regulares .

Iwasawa formuló la conjetura principal de la teoría de Iwasawa como una afirmación de que dos métodos de definición de funciones L p-ádicas (por teoría de módulos, por interpolación) deberían coincidir, siempre que esto estuviera bien definido. Esto fue demostrado por Mazur y Wiles (1984) para y para todos los cuerpos de números totalmente reales por Wiles (1990). Estas demostraciones se basaron en la demostración de Ken Ribet del recíproco del teorema de Herbrand (el llamado teorema de Herbrand-Ribet ). ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Karl Rubin encontró una prueba más elemental del teorema de Mazur-Wiles utilizando los sistemas de Euler de Kolyvagin , descritos en Lang (1990) y Washington (1997), y posteriormente demostró otras generalizaciones de la conjetura principal para campos cuadráticos imaginarios.

Generalizaciones

El grupo de Galois de la torre infinita, el cuerpo inicial y el tipo de módulo aritmético estudiado pueden variar. En cada caso, existe una conjetura principal que vincula la torre con una función L p -ádica.

En 2002, Christopher Skinner y Eric Urban afirmaron haber obtenido una prueba de una conjetura principal para GL (2). En 2010, publicaron una preimpresión (Skinner & Urban 2010).

Véase también

• Teorema de Ferrero-Washington
• Módulo Tate de un cuerpo numérico

Referencias

Fuentes

• Coates, J. ; Sujatha, R. (2006), Campos ciclotómicos y valores zeta , Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-33068-4, Zbl1100.11002 ​
• Greenberg, Ralph (2001), "Teoría de Iwasawa: pasado y presente", en Miyake, Katsuya (ed.), Teoría de campos de clases: su centenario y perspectiva (Tokio, 1998) , Adv. Stud. Pure Math., vol. 30, Tokio: Math. Soc. Japón, págs. 335–385, ISBN 978-4-931469-11-2, MR  1846466, Zbl  0998.11054
• Iwasawa, Kenkichi (1959), "Sobre las extensiones Γ de los cuerpos numéricos algebraicos", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 65 (4): 183–226, doi : 10.1090/S0002-9904-1959-10317-7 , ISSN  0002-9904, MR  0124316, Zbl  0089.02402
• Kato, Kazuya (2007), "Teoría y generalizaciones de Iwasawa" (PDF) , en Sanz-Solé, Marta ; Soria, Javier; Varona, Juan Luis; et al. (eds.), Congreso Internacional de Matemáticos. vol. Yo , Eur. Matemáticas. Soc., Zúrich, págs. 335–357, doi :10.4171/022-1/14, ISBN 978-3-03719-022-7, MR  2334196, archivado desde el original (PDF) el 22 de septiembre de 2017 , consultado el 8 de mayo de 2011
• Lang, Serge (1990), Campos ciclotómicos I y II, Textos de posgrado en matemáticas , vol. 121, con un apéndice de Karl Rubin (2.ª ed. combinada), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96671-7, Zbl0704.11038 ​
• Mazur, Barry ; Wiles, Andrew (1984), "Campos de clases de extensiones abelianas de Q ", Inventiones Mathematicae , 76 (2): 179–330, Bibcode :1984InMat..76..179M, doi :10.1007/BF01388599, ISSN  0020-9910, MR  0742853, S2CID  122576427, Zbl  0545.12005
• Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alejandro; Wingberg, Kay (2008), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323 (Segunda ed.), Berlín: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-540-37889-1, ISBN 978-3-540-37888-4, MR  2392026, Zbl  1136.11001
• Rubin, Karl (1991), "Las 'conjeturas principales' de la teoría de Iwasawa para cuerpos cuadráticos imaginarios", Inventiones Mathematicae , 103 (1): 25–68, Bibcode :1991InMat.103...25R, doi :10.1007/BF01239508, ISSN  0020-9910, S2CID  120179735, Zbl  0737.11030
• Skinner, Chris; Urban, Éric (2010), Las principales conjeturas de Iwasawa para GL2 (PDF) , p. 219
• Washington, Lawrence C. (1997), Introducción a los campos ciclotómicos, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 83 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4
• Wiles, Andrew (1990), "La conjetura de Iwasawa para campos totalmente reales", Annals of Mathematics , 131 (3): 493–540, doi :10.2307/1971468, JSTOR  1971468, Zbl  0719.11071.

Citas

1. Greenberg, Ralph. «Memorias del profesor Iwasawa» . Consultado el 25 de septiembre de 2021 .

Lectura adicional

• de Shalit, Ehud (1987), Teoría de Iwasawa de curvas elípticas con multiplicación compleja. Funciones L p -ádicas , Perspectivas en Matemáticas, vol. 3, Boston, etc.: Academic Press, ISBN 978-0-12-210255-4, Zbl  0674.12004

Enlaces externos

• "Teoría de Iwasawa", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]