Poliedro

3D shape with flat faces, straight edges and sharp corners

En geometría , un poliedro ( pl.: poliedros o poliedros ; del griego πολύ (poli-)  'muchos' y ἕδρον (-edro)  'base, asiento') es una figura tridimensional con caras poligonales planas , aristas rectas y esquinas o vértices agudos .

Un poliedro convexo es un poliedro que limita un conjunto convexo . Todo poliedro convexo puede construirse como la envoltura convexa de sus vértices, y para cada conjunto finito de puntos, no todos en el mismo plano, la envoltura convexa es un poliedro convexo. Los cubos y las pirámides son ejemplos de poliedros convexos.

Un poliedro es una generalización de un polígono bidimensional y una especialización tridimensional de un politopo , un concepto más general en cualquier número de dimensiones .

Definición

Los poliedros convexos están bien definidos y existen varias definiciones estándar equivalentes. Sin embargo, la definición matemática formal de los poliedros que no requieren ser convexos ha sido problemática. Se han dado muchas definiciones de "poliedro" en contextos particulares, ^[1] algunas más rigurosas que otras, y no hay un acuerdo universal sobre cuál de ellas elegir. Algunas de estas definiciones excluyen formas que a menudo se han contado como poliedros (como los poliedros autocruzados ) o incluyen formas que a menudo no se consideran poliedros válidos (como los sólidos cuyos límites no son variedades ). Como observó Branko Grünbaum ,

"El pecado original en la teoría de los poliedros se remonta a Euclides, y pasando por Kepler, Poinsot, Cauchy y muchos otros... en cada etapa... los escritores no lograron definir qué son los poliedros". ^[2]

Sin embargo, existe un acuerdo general en que un poliedro es un sólido o superficie que puede describirse por sus vértices (puntos de esquina), aristas (segmentos de línea que conectan ciertos pares de vértices), caras ( polígonos bidimensionales ), y que a veces puede decirse que tiene un volumen interior tridimensional particular . Se puede distinguir entre estas diferentes definiciones según describan al poliedro como un sólido, lo describan como una superficie o lo describan de forma más abstracta en función de su geometría de incidencia . ^[3]

• Una definición común y algo ingenua de un poliedro es que es un sólido cuyo límite puede ser cubierto por un número finito de planos ^{[4] [5]} o que es un sólido formado como la unión de un número finito de poliedros convexos. ^[6] Los refinamientos naturales de esta definición requieren que el sólido esté acotado, que tenga un interior conexo y posiblemente también que tenga un límite conexo. Las caras de un poliedro de este tipo pueden definirse como los componentes conexos de las partes del límite dentro de cada uno de los planos que lo cubren, y las aristas y vértices como los segmentos de línea y los puntos donde se encuentran las caras. Sin embargo, los poliedros definidos de esta manera no incluyen los poliedros en estrella autocruzantes, cuyas caras pueden no formar polígonos simples , y algunas de cuyas aristas pueden pertenecer a más de dos caras. ^[7]
• Las definiciones basadas en la idea de una superficie delimitadora en lugar de un sólido también son comunes. ^[8] Por ejemplo, O'Rourke (1993) define un poliedro como una unión de polígonos convexos (sus caras), dispuestos en el espacio de modo que la intersección de dos polígonos cualesquiera sea un vértice o arista compartida o el conjunto vacío y de modo que su unión sea una variedad . ^[9] Si una parte plana de dicha superficie no es en sí misma un polígono convexo, O'Rourke requiere que se subdivida en polígonos convexos más pequeños, con ángulos diedros planos entre ellos. De forma algo más general, Grünbaum define un poliedro acóptico como una colección de polígonos simples que forman una variedad incrustada, con cada vértice incidente a al menos tres aristas y cada dos caras intersectando solo en vértices y aristas compartidas de cada una. ^[10] Los poliedros de Cromwell dan una definición similar pero sin la restricción de al menos tres aristas por vértice. Nuevamente, este tipo de definición no incluye los poliedros autocruzados. ^[8] Nociones similares forman la base de las definiciones topológicas de poliedros, como subdivisiones de una variedad topológica en discos topológicos (las caras) cuyas intersecciones por pares deben ser puntos (vértices), arcos topológicos (aristas) o el conjunto vacío. Sin embargo, existen poliedros topológicos (incluso con todas las caras triangulares) que no pueden realizarse como poliedros acópticos. ^[11]
• Un enfoque moderno se basa en la teoría de los poliedros abstractos . Estos pueden definirse como conjuntos parcialmente ordenados cuyos elementos son los vértices, las aristas y las caras de un poliedro. Un elemento de vértice o arista es menor que un elemento de arista o cara (en este orden parcial) cuando el vértice o arista es parte de la arista o cara. Además, se puede incluir un elemento inferior especial de este orden parcial (que representa el conjunto vacío) y un elemento superior que representa el poliedro completo. Si las secciones del orden parcial entre elementos separados por tres niveles (es decir, entre cada cara y el elemento inferior, y entre el elemento superior y cada vértice) tienen la misma estructura que la representación abstracta de un polígono, entonces estos conjuntos parcialmente ordenados llevan exactamente la misma información que un poliedro topológico. ^{[ cita requerida ]} Sin embargo, estos requisitos a menudo se relajan, para requerir en su lugar solo que las secciones entre elementos separados por dos niveles tengan la misma estructura que la representación abstracta de un segmento de línea. ^[12] (Esto significa que cada arista contiene dos vértices y pertenece a dos caras, y que cada vértice en una cara pertenece a dos aristas de esa cara.) Los poliedros geométricos, definidos de otras maneras, pueden describirse de manera abstracta de esta manera, pero también es posible usar poliedros abstractos como base de una definición de poliedros geométricos. Una realización de un poliedro abstracto generalmente se considera una aplicación de los vértices del poliedro abstracto a puntos geométricos, de modo que los puntos de cada cara sean coplanares. Un poliedro geométrico puede entonces definirse como una realización de un poliedro abstracto. ^[13] También se han considerado realizaciones que omiten el requisito de planaridad de la cara, que imponen requisitos adicionales de simetría o que asignan los vértices a espacios de dimensiones superiores. ^[12] A diferencia de las definiciones basadas en sólidos y superficies, esto funciona perfectamente bien para poliedros estrella. Sin embargo, sin restricciones adicionales, esta definición permite poliedros degenerados o infieles (por ejemplo, al asignar todos los vértices a un único punto) y la cuestión de cómo restringir las realizaciones para evitar estas degeneraciones no se ha resuelto.

En todas estas definiciones, un poliedro se entiende típicamente como un ejemplo tridimensional del politopo más general en cualquier número de dimensiones. Por ejemplo, un polígono tiene un cuerpo bidimensional y ninguna cara, mientras que un 4-politopo tiene un cuerpo cuatridimensional y un conjunto adicional de "celdas" tridimensionales. Sin embargo, parte de la literatura sobre geometría de dimensiones superiores utiliza el término "poliedro" para significar algo más: no un politopo tridimensional, sino una forma que es diferente de un politopo de alguna manera. Por ejemplo, algunas fuentes definen un poliedro convexo como la intersección de un número finito de semiespacios , y un politopo como un poliedro acotado. ^{[14] [15]} El resto de este artículo considera solo poliedros tridimensionales.

Poliedros convexos

De arriba a la izquierda a abajo a la derecha: pirámide hexagonal como la familia de los prismatoides , tetraedro truncado como la familia de los sólidos de Arquímedes , triakisicosaedro como la familia de los sólidos de Catalan y prisma triangular triaumentado como la familia de los deltaedros y los sólidos de Johnson . Todas estas clases son poliedros convexos.

Un poliedro convexo es un poliedro que forma un conjunto convexo como un sólido. Dicho esto, es un sólido tridimensional en el que cada segmento de línea que conecta dos de sus puntos se encuentra en su interior o en su borde ; ninguna de sus caras es coplanar (no comparten el mismo plano) y ninguna de sus aristas es colineal (no son segmentos de la misma línea). ^{[16] [17]} Un poliedro convexo también se puede definir como una intersección acotada de un número finito de semiespacios , o como la envoltura convexa de un número finito de puntos, en cualquier caso, restringida a intersecciones o envolturas que tienen un volumen distinto de cero. ^{[14] [15]}

Las clases importantes de poliedros convexos incluyen la familia de prismatoides , los sólidos platónicos , los sólidos arquimedianos y sus duales, los sólidos catalanes , y el poliedro de caras poligonales regulares. Los prismatoides son los poliedros cuyos vértices se encuentran en dos planos paralelos y sus caras probablemente sean trapecios y triángulos. ^[18] Ejemplos de prismatoides son pirámides , cuñas , paralelepípedos , prismas , antiprismas , cúpulas y troncos truncados . Los sólidos platónicos son los cinco poliedros antiguos: tetraedro , octaedro , icosaedro , cubo y dodecaedro , clasificados por Platón en su Timeo , que conecta los cuatro elementos clásicos de la naturaleza. ^[19] Los sólidos arquimedianos son la clase de trece poliedros cuyas caras son todos polígonos regulares y cuyos vértices son simétricos entre sí; ^[a] Sus poliedros duales son sólidos de Catalan . ^[21] La clase de poliedros con caras poligonales regulares son los deltaedros (cuyas caras son todos triángulos equiláteros) y los sólidos de Johnson (cuyas caras son polígonos regulares arbitrarios). ^{[22] [23]}

El poliedro convexo se puede clasificar en poliedro elemental o poliedro compuesto. Un poliedro elemental es un poliedro convexo de caras regulares que no se puede convertir en dos o más poliedros cortándolo con un plano. ^[24] A diferencia de un poliedro compuesto, se puede definir alternativamente como un poliedro que se puede construir uniendo más poliedros elementales. Por ejemplo, el prisma triangular triaumentado es un poliedro compuesto, ya que se puede construir uniendo tres pirámides cuadradas equiláteras a las caras cuadradas de un prisma triangular ; las pirámides cuadradas y el prisma triangular son elementales. ^[25]

Un poliedro canónico

Una esfera media de un poliedro convexo es una esfera tangente a cada arista de un poliedro, una esfera intermedia en radio entre la esfera interna y la circunferencia interna , para poliedros para los cuales existen las tres esferas. Todo poliedro convexo es combinatoriamente equivalente a un poliedro canónico , un poliedro que tiene una esfera media cuyo centro coincide con el centroide del poliedro. La forma del poliedro canónico (pero no su escala o posición) está determinada únicamente por la estructura combinatoria del poliedro dado. ^[26]

Algunos poliedros no tienen la propiedad de convexidad, y se denominan poliedros no convexos . Dichos poliedros son los poliedros estrellados y los poliedros de Kepler-Poinsot , que se construyen mediante estelación (proceso de extender las caras, dentro de sus planos, para que se encuentren) o facetado (cuyo proceso consiste en eliminar partes de un poliedro para crear nuevas caras, o facetas, sin crear ningún vértice nuevo). ^{[27] [28]} Una faceta de un poliedro es cualquier polígono cuyas esquinas son vértices del poliedro y no es una cara . ^[27] La ​​estelación y el facetado son procesos inversos o recíprocos: el dual de alguna estelación es un facetado del dual del poliedro original.

Características

Número de caras

Los poliedros pueden clasificarse y a menudo se nombran según el número de caras. El sistema de nombres se basa en el griego clásico y combina un prefijo que cuenta las caras con el sufijo "hedron", que significa "base" o "asiento" y hace referencia a las caras. Por ejemplo, un tetraedro es un poliedro con cuatro caras, un pentaedro es un poliedro con cinco caras, un hexaedro es un poliedro con seis caras, etc. ^[29] Para una lista completa de los prefijos numéricos griegos, consulte Prefijo numérico § Tabla de prefijos numéricos en inglés , en la columna de números cardinales griegos. Los nombres de tetraedros, hexaedros, octaedros (poliedros de 8 lados), dodecaedros (poliedros de 12 lados) e icosaedros (poliedros de 20 lados) se utilizan a veces sin calificación adicional para referirse a los sólidos platónicos , y a veces se utilizan para referirse de forma más general a poliedros con el número dado de lados sin ninguna suposición de simetría. ^[30]

Clasificación topológica

El tetrahemihexaedro , un poliedro no orientable que se autointersecta con cuatro caras triangulares (rojas) y tres caras cuadradas (amarillas). Al igual que con una cinta de Möbius o una botella de Klein , un camino continuo a lo largo de la superficie de este poliedro puede alcanzar el punto en el lado opuesto de la superficie desde su punto de partida, lo que hace imposible separar la superficie en un interior y un exterior. (Topológicamente, este poliedro es un plano proyectivo real ).

Algunos poliedros tienen dos lados distintos en su superficie. Por ejemplo, el interior y el exterior de un modelo de papel de poliedro convexo se pueden colorear de un color diferente (aunque el color interior no se verá). Estos poliedros son orientables . Lo mismo ocurre con los poliedros no convexos sin autocruces. Algunos poliedros no convexos autocruces se pueden colorear de la misma manera, pero tienen regiones giradas "al revés" de modo que ambos colores aparecen en el exterior en lugares diferentes; estos se siguen considerando orientables. Sin embargo, para algunos otros poliedros autocruces con caras de polígonos simples, como el tetrahemihexaedro , no es posible colorear los dos lados de cada cara con dos colores diferentes de modo que las caras adyacentes tengan colores consistentes. En este caso, se dice que el poliedro no es orientable. En el caso de poliedros con caras que se cruzan entre sí, puede que no esté claro qué significa que las caras adyacentes tengan un color uniforme, pero para estos poliedros todavía es posible determinar si son orientables o no orientables considerando un complejo de celdas topológicas con las mismas incidencias entre sus vértices, aristas y caras. ^[31]

Una distinción más sutil entre las superficies de los poliedros se da mediante su característica de Euler , que combina los números de vértices , aristas y caras de un poliedro en un único número definido por la fórmula ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi =V-E+F.\ }$

La misma fórmula se utiliza también para la característica de Euler de otros tipos de superficies topológicas. Es un invariante de la superficie, lo que significa que cuando una única superficie se subdivide en vértices, aristas y caras de más de una forma, la característica de Euler será la misma para estas subdivisiones. Para un poliedro convexo, o más generalmente cualquier poliedro simplemente conectado con superficie una esfera topológica, siempre es igual a 2. Para formas más complicadas, la característica de Euler se relaciona con el número de agujeros toroidales , asas o tapas cruzadas en la superficie y será menor que 2. ^[32] Todos los poliedros con característica de Euler de número impar no son orientables. Una figura dada con característica de Euler par puede o no ser orientable. Por ejemplo, el toroide de un solo agujero y la botella de Klein tienen ambos , siendo el primero orientable y el otro no. ^[31] ${\displaystyle \chi =0}$

Para muchas (pero no todas) las formas de definir poliedros, se requiere que la superficie del poliedro sea una variedad . Esto significa que cada arista es parte del límite de exactamente dos caras (lo que no permite formas como la unión de dos cubos que se encuentran solo a lo largo de una arista compartida) y que cada vértice es incidente a un solo ciclo alternado de aristas y caras (lo que no permite formas como la unión de dos cubos que comparten solo un vértice). Para los poliedros definidos de estas formas, la clasificación de las variedades implica que el tipo topológico de la superficie está completamente determinado por la combinación de su característica de Euler y su orientabilidad. Por ejemplo, todo poliedro cuya superficie sea una variedad orientable y cuya característica de Euler sea 2 debe ser una esfera topológica. ^[31]

Un poliedro toroidal es un poliedro cuya característica de Euler es menor o igual a 0, o equivalentemente cuyo género es 1 o mayor. Topológicamente, las superficies de dichos poliedros son superficies toroidales que tienen uno o más agujeros en el medio. ^[33]

Dualidad

El octaedro es dual al cubo.

Para cada poliedro convexo, existe un poliedro dual que tiene

• caras en lugar de los vértices del original y viceversa, y
• el mismo número de aristas.

El dual de un poliedro convexo se puede obtener mediante el proceso de reciprocidad polar . ^[34] Los poliedros duales existen en pares, y el dual de un dual es simplemente el poliedro original nuevamente. Algunos poliedros son autoduales, lo que significa que el dual del poliedro es congruente con el poliedro original. ^[35]

Los poliedros abstractos también tienen duales, que se obtienen invirtiendo el orden parcial que define al poliedro para obtener su orden dual u opuesto . ^[13] Estos tienen la misma característica de Euler y orientabilidad que el poliedro inicial. Sin embargo, esta forma de dualidad no describe la forma de un poliedro dual, sino solo su estructura combinatoria. Para algunas definiciones de poliedros geométricos no convexos, existen poliedros cuyos duales abstractos no pueden realizarse como poliedros geométricos bajo la misma definición. ^[10]

Figuras de vértice

Para cada vértice se puede definir una figura de vértice , que describe la estructura local del poliedro alrededor del vértice. Las definiciones precisas varían, pero una figura de vértice puede considerarse como el polígono expuesto donde un corte a través del poliedro corta un vértice. ^[8] Para los sólidos platónicos y otros poliedros altamente simétricos, este corte puede elegirse para pasar por los puntos medios de cada borde incidente al vértice, ^[36] pero otros poliedros pueden no tener un plano a través de estos puntos. Para poliedros convexos, y más generalmente para poliedros cuyos vértices están en posición convexa , este corte puede elegirse como cualquier plano que separe el vértice de los otros vértices. ^[37] Cuando el poliedro tiene un centro de simetría, es estándar elegir este plano para que sea perpendicular a la línea que pasa por el vértice dado y el centro; ^[38] con esta elección, la forma de la figura de vértice se determina hasta la escala. Cuando los vértices de un poliedro no están en posición convexa, no siempre habrá un plano que separe cada vértice del resto. En este caso, es común, en cambio, cortar el poliedro en una pequeña esfera centrada en el vértice. ^[39] Nuevamente, esto produce una forma para la figura del vértice que es invariable hasta el escalamiento. Todas estas opciones conducen a figuras de vértice con la misma estructura combinatoria, para los poliedros a los que se pueden aplicar, pero pueden darles formas geométricas diferentes.

Superficie y distancias

El área de la superficie de un poliedro es la suma de las áreas de sus caras, para las definiciones de poliedros para las que el área de una cara está bien definida. La distancia geodésica entre dos puntos cualesquiera en la superficie de un poliedro mide la longitud de la curva más corta que conecta los dos puntos, permaneciendo dentro de la superficie. Por el teorema de unicidad de Alexandrov , cada poliedro convexo está determinado de forma única por el espacio métrico de distancias geodésicas en su superficie. Sin embargo, los poliedros no convexos pueden tener las mismas distancias superficiales entre sí, o las mismas que ciertos poliedros convexos. ^[40]

Volumen

Los sólidos poliédricos tienen una cantidad asociada llamada volumen que mide cuánto espacio ocupan. Las familias simples de sólidos pueden tener fórmulas simples para sus volúmenes; por ejemplo, los volúmenes de pirámides, prismas y paralelepípedos se pueden expresar fácilmente en términos de las longitudes de sus aristas u otras coordenadas. (Consulte Volumen § Fórmulas de volumen para obtener una lista que incluye muchas de estas fórmulas).

Los volúmenes de poliedros más complejos pueden no tener fórmulas simples. Los volúmenes de dichos poliedros pueden calcularse subdividiendo el poliedro en partes más pequeñas (por ejemplo, mediante triangulación ). Por ejemplo, el volumen de un poliedro regular puede calcularse dividiéndolo en pirámides congruentes , cada una de las cuales tiene como base una cara del poliedro y como vértice el centro del poliedro.

En general, se puede deducir del teorema de divergencia que el volumen de un sólido poliédrico está dado por donde la suma es sobre las caras F del poliedro, Q _F es un punto arbitrario en la cara F , N _F es el vector unitario perpendicular a F que apunta hacia afuera del sólido, y el punto de multiplicación es el producto escalar . ^[41] En dimensiones superiores, el cálculo del volumen puede ser un desafío, en parte debido a la dificultad de enumerar las caras de un poliedro convexo especificado solo por sus vértices, y existen algoritmos especializados para determinar el volumen en estos casos. ^[42] $${\displaystyle {\frac {1}{3}}\left|\sum _{F}(Q_{F}\cdot N_{F})\operatorname {area} (F)\right|,}$$

Invariante de Dehn

En dos dimensiones, el teorema de Bolyai-Gerwien afirma que cualquier polígono puede transformarse en cualquier otro polígono de la misma área cortándolo en un número finito de piezas poligonales y reordenándolas . La cuestión análoga para los poliedros fue el tema del tercer problema de Hilbert . Max Dehn resolvió este problema demostrando que, a diferencia del caso 2-D, existen poliedros del mismo volumen que no pueden cortarse en poliedros más pequeños y volver a ensamblarse entre sí. Para demostrar esto, Dehn descubrió otro valor asociado con un poliedro, el invariante de Dehn , de modo que dos poliedros solo pueden diseccionarse entre sí cuando tienen el mismo volumen y el mismo invariante de Dehn. Sydler demostró más tarde que este es el único obstáculo para la disección: cada dos poliedros euclidianos con los mismos volúmenes e invariantes de Dehn pueden cortarse y volver a ensamblarse entre sí. ^[43] El invariante de Dehn no es un número, sino un vector en un espacio vectorial de dimensión infinita, determinado a partir de las longitudes y los ángulos diedros de los bordes de un poliedro. ^[44]

Otro de los problemas de Hilbert, el problema 18 de Hilbert , se refiere (entre otras cosas) a los poliedros que forman un espacio de 120 . Cada uno de estos poliedros debe tener un invariante de Dehn cero. ^[45] El invariante de Dehn también se ha relacionado con los poliedros flexibles mediante el teorema de fuelle fuerte, que establece que el invariante de Dehn de cualquier poliedro flexible permanece invariante a medida que se flexiona. ^[46]

Simetrías

Algunos poliedros que giran alrededor de un eje simétrico (en Matemateca IME-USP)

Muchos de los poliedros más estudiados son altamente simétricos , es decir, su apariencia no cambia con alguna reflexión o rotación del espacio. Cada una de estas simetrías puede cambiar la ubicación de un vértice, una cara o una arista dada, pero el conjunto de todos los vértices (así como las caras y las aristas) no cambia. La colección de simetrías de un poliedro se llama su grupo de simetría .

Se dice que todos los elementos que pueden superponerse entre sí mediante simetrías forman una órbita de simetría . Por ejemplo, todas las caras de un cubo se encuentran en una órbita, mientras que todas las aristas se encuentran en otra. Si todos los elementos de una dimensión dada, digamos todas las caras, se encuentran en la misma órbita, se dice que la figura es transitiva en esa órbita. Por ejemplo, un cubo es transitivo en sus caras, mientras que un cubo truncado tiene dos órbitas de simetría de caras.

La misma estructura abstracta puede dar lugar a poliedros geométricos más o menos simétricos, pero cuando se da un nombre poliédrico, como icosidodecaedro , suele implicarse la geometría más simétrica. ^{[ cita requerida ]}

Existen varios tipos de poliedros altamente simétricos, clasificados según qué tipo de elemento (caras, aristas o vértices) pertenecen a una única órbita de simetría:

• Regular : transitivo por vértices, transitivo por aristas y transitivo por caras. (Esto implica que cada cara es el mismo polígono regular ; también implica que cada vértice es regular).
• Cuasi-regular : transitivo por vértices y por aristas (y, por lo tanto, tiene caras regulares), pero no transitivo por caras. Un dual cuasi-regular es transitivo por caras y por aristas (y, por lo tanto, cada vértice es regular), pero no transitivo por vértices.
• Semirregular : transitivo por vértices pero no por aristas, y cada cara es un polígono regular. (Esta es una de las varias definiciones del término, según el autor. Algunas definiciones se superponen con la clase cuasirregular). Estos poliedros incluyen los prismas y antiprismas semirregulares . Un dual semirregular es transitivo por caras pero no por vértices, y cada vértice es regular.
• Uniforme : transitivo por vértices y cada cara es un polígono regular, es decir, es regular, cuasi-regular o semirregular. Un dual uniforme es transitivo por vértices y tiene vértices regulares, pero no es necesariamente transitivo por vértices.
• Isogonal : transitivo-vertical.
• Isotoxal : transitivo al borde.
• Isoédrico : transitivo hacia las caras.
• Noble : transitivo por las caras y por los vértices (pero no necesariamente transitivo por las aristas). Los poliedros regulares también son nobles; son los únicos poliedros nobles uniformes. Los duales de los poliedros nobles son en sí mismos nobles.

Algunas clases de poliedros tienen un solo eje principal de simetría. Entre ellos se encuentran las pirámides , las bipirámides , los trapezoedros , las cúpulas , así como los prismas semirregulares y los antiprismas.

Poliedros regulares

Los poliedros regulares son los más simétricos. En total, hay nueve poliedros regulares: cinco convexos y cuatro en estrella.

Los cinco ejemplos convexos se conocen desde la antigüedad y se denominan sólidos platónicos . Se trata de la pirámide triangular o tetraedro , el cubo , el octaedro , el dodecaedro y el icosaedro :

También hay cuatro poliedros estelares regulares, conocidos como poliedros Kepler-Poinsot en honor a sus descubridores.

El dual de un poliedro regular también es regular.

Poliedros uniformes y sus duales

Los poliedros uniformes son transitivos por vértice y cada cara es un polígono regular . Pueden subdividirse en regulares , cuasiregulares o semirregulares , y pueden ser convexos o estrellados.

Los duales de los poliedros uniformes tienen caras irregulares pero son transitivos entre caras , y cada figura de vértice es un polígono regular. Un poliedro uniforme tiene las mismas órbitas de simetría que su dual, con las caras y los vértices simplemente intercambiados. Los duales de los poliedros arquimedianos convexos a veces se denominan sólidos de Catalan .

Los poliedros uniformes y sus duales se clasifican tradicionalmente según su grado de simetría y si son convexos o no.

Isoedros

Un isoedro es un poliedro con simetrías que actúan transitivamente sobre sus caras. Su topología se puede representar mediante una configuración de caras . Los 5 sólidos platónicos y los 13 sólidos catalanes son isoedros, así como las infinitas familias de trapezoedros y bipirámides . Algunas definiciones de isoedros permiten variaciones geométricas que incluyen formas cóncavas y autointersecantes.

Grupos de simetría

La simetría icosaédrica completa divide la esfera en 120 dominios triangulares.

Muchas de las simetrías o grupos de puntos en tres dimensiones reciben su nombre de poliedros que tienen la simetría asociada. Entre ellos se incluyen:

• T – simetría tetraédrica quiral ; grupo de rotación para un tetraedro regular ; orden 12.
• T _d – simetría tetraédrica completa ; grupo de simetría para un tetraedro regular ; orden 24.
• T _h – simetría piritoédrica ; la simetría de un piritoedro ; orden 24.
• O – simetría octaédrica quiral ; grupo de rotación del cubo y el octaedro ; orden 24.
• O _h – simetría octaédrica completa ; grupo de simetría del cubo y el octaedro ; orden 48.
• I – simetría icosaédrica quiral ; grupo de rotación del icosaedro y del dodecaedro ; orden 60.
• I _h – simetría icosaédrica completa ; grupo de simetría del icosaedro y del dodecaedro ; orden 120.
• C _nv – simetría piramidal de n pliegues
• D _nh – simetría prismática de n pliegues
• D _nv – simetría antiprismática de n pliegues .

Los que tienen simetría quiral no tienen simetría de reflexión y, por lo tanto, tienen dos formas enantiomorfas que son reflejos entre sí. Algunos ejemplos son el cuboctaedro romo y el icosidodecaedro romo .

Otras familias importantes de poliedros

Zonoedros

Un zonoedro es un poliedro convexo en el que cada cara es un polígono simétrico al rotar 180°. Los zonoedros también se pueden caracterizar como sumas de Minkowski de segmentos de línea e incluyen varios poliedros importantes que ocupan el espacio. ^[47]

Poliedros que llenan el espacio

Un poliedro que llena el espacio se compacta con copias de sí mismo para llenarlo. Este tipo de compactado o relleno del espacio se suele denominar teselación del espacio o panal de abejas. Los poliedros que llenan el espacio deben tener un invariante de Dehn igual a cero. Algunos panales de abejas incluyen más de un tipo de poliedro.

Poliedros reticulares

Un poliedro convexo en el que todos los vértices tienen coordenadas enteras se denomina poliedro reticular o poliedro integral . El polinomio de Ehrhart de un poliedro reticular cuenta cuántos puntos con coordenadas enteras se encuentran dentro de una copia a escala del poliedro, en función del factor de escala. El estudio de estos polinomios se encuentra en la intersección de la combinatoria y el álgebra conmutativa . ^[48] Existe una equivalencia de largo alcance entre los poliedros reticulares y ciertas variedades algebraicas llamadas variedades tóricas . ^[49] Esto fue utilizado por Stanley para demostrar las ecuaciones de Dehn-Sommerville para politopos simpliciales . ^[50]

Poliedros flexibles

Algunos poliedros pueden cambiar su forma general, manteniendo la forma de sus caras, variando los ángulos de sus aristas. Un poliedro que puede hacer esto se llama poliedro flexible. Según el teorema de rigidez de Cauchy , los poliedros flexibles deben ser no convexos. El volumen de un poliedro flexible debe permanecer constante a medida que se flexiona; este resultado se conoce como el teorema de fuelle. ^[51]

Compuestos

Un compuesto poliédrico está formado por dos o más poliedros que comparten un centro común. Los compuestos simétricos suelen compartir los mismos vértices que otros poliedros conocidos y también pueden formarse por estelación. Algunos de ellos se enumeran en la lista de modelos de poliedros de Wenninger .

Poliedros ortogonales

Algunos poliedros ortogonales formados por piezas del cubo Soma , que son en sí mismos policubos.

Un poliedro ortogonal es aquel cuyos bordes son paralelos a los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas. Esto implica que todas las caras se encuentran en ángulos rectos , pero esta condición es más débil: el icosaedro de Jessen tiene caras que se encuentran en ángulos rectos, pero no tiene bordes paralelos a los ejes.

Aparte de los cuboides rectangulares , los poliedros ortogonales no son convexos. Son los análogos 3D de los polígonos ortogonales 2D, también conocidos como polígonos rectilíneos . Los poliedros ortogonales se utilizan en geometría computacional , donde su estructura restringida ha permitido avances en problemas no resueltos para poliedros arbitrarios, por ejemplo, desplegar la superficie de un poliedro en una red poligonal . ^[52]

Los policubos son un caso especial de poliedros ortogonales que pueden descomponerse en cubos idénticos y son análogos tridimensionales de los poliominós planos . ^[53]

Mapas regulares incrustados con caras planas

Las aplicaciones regulares son 2-variedades abstractas transitivas de bandera y han sido estudiadas ya en el siglo XIX. En algunos casos tienen realizaciones geométricas. Un ejemplo es el poliedro de Szilassi , un poliedro toroidal que realiza la aplicación de Heawood . En este caso, el poliedro es mucho menos simétrico que la aplicación subyacente, pero en algunos casos es posible que los poliedros autocruzados realicen algunas o todas las simetrías de una aplicación regular.

Generalizaciones de poliedros

El nombre "poliedro" ha llegado a utilizarse para una variedad de objetos que tienen propiedades estructurales similares a los poliedros tradicionales.

Apeiroedros

Una superficie poliédrica clásica tiene un número finito de caras, unidas en pares a lo largo de los bordes. Los apeiroedros forman una clase relacionada de objetos con infinitas caras. Algunos ejemplos de apeiroedros son:

• teselaciones o mosaicos del plano, y
• estructuras similares a esponjas llamadas poliedros oblicuos infinitos .

Poliedros complejos

Existen objetos llamados poliedros complejos, cuyo espacio subyacente es un espacio complejo de Hilbert en lugar de un espacio euclidiano real. Sólo existen definiciones precisas para los poliedros complejos regulares, cuyos grupos de simetría son grupos complejos de reflexión . Los poliedros complejos están matemáticamente más relacionados con las configuraciones que con los poliedros reales. ^[54]

Poliedros curvos

Algunos campos de estudio permiten que los poliedros tengan caras y aristas curvas. Las caras curvas pueden permitir la existencia de caras diagonales con un área positiva.

Poliedros esféricos

Cuando la superficie de una esfera se divide por un número finito de arcos grandes (equivalentemente, por planos que pasan por el centro de la esfera), el resultado se denomina poliedro esférico. Muchos politopos convexos que tienen cierto grado de simetría (por ejemplo, todos los sólidos platónicos) se pueden proyectar sobre la superficie de una esfera concéntrica para producir un poliedro esférico. Sin embargo, el proceso inverso no siempre es posible; algunos poliedros esféricos (como los hosohedros ) no tienen un análogo de caras planas. ^[55]

Poliedros curvos que llenan el espacio

Si se permite que las caras sean cóncavas y convexas, se puede lograr que las caras adyacentes se junten sin dejar espacio entre ellas. Algunos de estos poliedros curvos pueden agruparse para llenar el espacio. Dos tipos importantes son:

• Burbujas en espumas y espumas, como las burbujas de Weaire-Phelan . ^[56]
• Formas utilizadas en arquitectura. ^[57]

Poliedros ideales

Los poliedros convexos pueden definirse en el espacio hiperbólico tridimensional de la misma manera que en el espacio euclidiano, como las envolturas convexas de conjuntos finitos de puntos. Sin embargo, en el espacio hiperbólico, también es posible considerar puntos ideales , así como los puntos que se encuentran dentro del espacio. Un poliedro ideal es la envoltura convexa de un conjunto finito de puntos ideales. Sus caras son polígonos ideales, pero sus aristas están definidas por líneas hiperbólicas completas en lugar de segmentos de línea, y sus vértices (los puntos ideales de los que es la envoltura convexa) no se encuentran dentro del espacio hiperbólico.

Esqueletos y poliedros como gráficos

Al olvidar la estructura de las caras, cualquier poliedro da lugar a un grafo , llamado su esqueleto , con sus vértices y aristas correspondientes. Tales figuras tienen una larga historia: Leonardo da Vinci ideó modelos de marcos de los sólidos regulares, que dibujó para el libro Divina Proportione de Pacioli , y poliedros de marco de alambre similares aparecen en la impresión de MC Escher Estrellas . ^[58] Un punto destacado de este enfoque es el teorema de Steinitz , que da una caracterización puramente grafo-teórica de los esqueletos de los poliedros convexos: establece que el esqueleto de cada poliedro convexo es un grafo plano 3-conexo , y cada grafo plano 3-conexo es el esqueleto de algún poliedro convexo.

Una idea temprana de poliedros abstractos fue desarrollada en el estudio de Branko Grünbaum sobre los "poliedros de caras huecas". Grünbaum definió las caras como conjuntos de vértices ordenados cíclicamente y permitió que fueran oblicuos y planos. ^[2]

La perspectiva gráfica permite aplicar la terminología y las propiedades de los grafos a los poliedros. Por ejemplo, el tetraedro y el poliedro de Császár son los únicos poliedros conocidos cuyos esqueletos son grafos completos (K ₄ ), y diversas restricciones de simetría en los poliedros dan lugar a esqueletos que son grafos simétricos .

Usos alternativos

A partir de la segunda mitad del siglo XX, se ha descubierto que varias construcciones matemáticas tienen propiedades que también están presentes en los poliedros tradicionales. En lugar de limitar el término "poliedro" a describir un politopo tridimensional, se ha adoptado para describir varios tipos de estructuras relacionadas pero distintas.

Poliedros de dimensiones superiores

Un poliedro se ha definido como un conjunto de puntos en un espacio real afín (o euclidiano ) de cualquier dimensión n que tiene lados planos. Alternativamente, puede definirse como la intersección de un número finito de semiespacios . A diferencia de un poliedro convencional, puede ser acotado o no acotado. En este sentido, un politopo es un poliedro acotado. ^{[14] [15]}

Analíticamente, un poliedro convexo de este tipo se expresa como el conjunto de soluciones de un sistema de desigualdades lineales. Definir los poliedros de esta manera proporciona una perspectiva geométrica para los problemas de programación lineal . ^{[59] : 9}

Poliedros topológicos

Un politopo topológico es un espacio topológico dado junto con una descomposición específica en formas que son topológicamente equivalentes a politopos convexos y que están unidas entre sí de manera regular.

Una figura de este tipo se denomina simplicial si cada una de sus regiones es un símplex , es decir, en un espacio n -dimensional cada región tiene n +1 vértices. El dual de un politopo simplicial se denomina simple . De manera similar, una clase de politopos (poliedros) ampliamente estudiada es la de los poliedros cúbicos, cuando el bloque de construcción básico es un cubo n -dimensional.

Poliedros abstractos

Un politopo abstracto es un conjunto parcialmente ordenado (poset) de elementos cuyo ordenamiento parcial obedece a ciertas reglas de incidencia (conectividad) y jerarquización. Los elementos del conjunto corresponden a los vértices, aristas, caras, etc. del politopo: los vértices tienen rango 0, las aristas rango 1, etc., correspondiendo la jerarquización parcialmente ordenada a la dimensionalidad de los elementos geométricos. El conjunto vacío, requerido por la teoría de conjuntos, tiene un rango de −1 y a veces se dice que corresponde al politopo nulo. Un poliedro abstracto es un politopo abstracto que tiene la siguiente jerarquización:

• rango 3: El elemento máximo, a veces identificado con el cuerpo.
• rango 2: Las caras poligonales .
• rango 1: Los bordes .
• rango 0: los vértices .
• rango −1: El conjunto vacío, a veces identificado con elpolitopo nulo o nulítopo .^[60]

Se dice entonces que cualquier poliedro geométrico es una "realización" en el espacio real del conjunto abstracto descrito anteriormente.

Historia

Antes de los griegos

Problema 14 del Papiro Matemático de Moscú , sobre el cálculo del volumen de un tronco de cono

Los poliedros aparecieron en formas arquitectónicas tempranas como cubos y cuboides, y las primeras pirámides egipcias de cuatro lados datan del siglo XXVII a . C. ^[61] El Papiro matemático de Moscú , de aproximadamente 1800-1650 a. C., incluye un estudio escrito temprano de los poliedros y sus volúmenes (específicamente, el volumen de un tronco de cono ). ^[62] Las matemáticas del Antiguo Imperio Babilónico , de aproximadamente el mismo período de tiempo que el Papiro de Moscú, también incluían cálculos de los volúmenes de cuboides (y de cilindros no poliédricos ) y cálculos de la altura de dicha forma necesaria para alcanzar un volumen dado. ^[63]

Los etruscos precedieron a los griegos en su conocimiento de al menos algunos de los poliedros regulares, como lo demuestra el descubrimiento de un dodecaedro etrusco hecho de esteatita en el Monte Loffa . Sus caras estaban marcadas con diferentes diseños, lo que sugiere a algunos estudiosos que puede haber sido utilizado como dado de juego. ^[64]

Grecia antigua

Los matemáticos de la antigua Grecia descubrieron y estudiaron los poliedros regulares convexos , que llegaron a conocerse como los sólidos platónicos . Su primera descripción escrita se encuentra en el Timeo de Platón (circa 360 a. C.), que asocia cuatro de ellos con los cuatro elementos y el quinto con la forma general del universo. Un tratamiento más matemático de estos cinco poliedros fue escrito poco después en los Elementos de Euclides . Un comentarista temprano de Euclides (posiblemente Gémino ) escribe que la atribución de estas formas a Platón es incorrecta: Pitágoras conocía el tetraedro , el cubo y el dodecaedro , y Teeteto (circa 417 a. C.) descubrió los otros dos, el octaedro y el icosaedro . ^[65] Más tarde, Arquímedes amplió su estudio a los poliedros uniformes convexos que ahora llevan su nombre. Su trabajo original se perdió y sus sólidos nos han llegado a través de Pappus . ^[66]

China antigua

Dado de 14 caras del período de los Reinos Combatientes

Tanto los dados cúbicos como los dados de 14 caras con forma de octaedro truncado en China se remontan al período de los Reinos Combatientes . ^[67]

Hacia el año 236 d. C., Liu Hui estaba describiendo la disección del cubo en su tetraedro característico ( ortosquema ) y sólidos relacionados, utilizando conjuntos de estos sólidos como base para calcular los volúmenes de tierra que se moverían durante las excavaciones de ingeniería. ^[68]

Islam medieval

Tras el fin de la era clásica, los eruditos de la civilización islámica continuaron profundizando en el conocimiento griego (véase Matemáticas en el Islam medieval ). ^[69] El erudito del siglo IX Thabit ibn Qurra incluyó el cálculo de volúmenes en sus estudios, ^[70] y escribió una obra sobre el cuboctaedro . Luego, en el siglo X, Abu'l Wafa describió los poliedros esféricos convexos regulares y cuasirregulares. ^[71]

Renacimiento

Al igual que otras áreas del pensamiento griego mantenidas y mejoradas por los eruditos islámicos, el interés occidental en los poliedros revivió durante el Renacimiento italiano . Los artistas construyeron poliedros esqueléticos, representándolos de la vida como parte de sus investigaciones sobre la perspectiva . ^[73] Los poliedros toroidales , hechos de madera y utilizados para sostener tocados, se convirtieron en un ejercicio común en el dibujo en perspectiva, y se representaron en paneles de marquetería de la época como un símbolo de geometría. ^[74] Piero della Francesca escribió sobre la construcción de vistas en perspectiva de poliedros y redescubrió muchos de los sólidos de Arquímedes. Leonardo da Vinci ilustró modelos esqueléticos de varios poliedros para un libro de Luca Pacioli , ^[75] con texto en gran parte plagiado de della Francesca. ^[76] Las redes poliédricas aparecen en la obra de Alberto Durero . ^[77]

Varias obras de esta época investigan los poliedros estrellados y otras elaboraciones de las formas platónicas básicas. Una tarsia de mármol en el suelo de la Basílica de San Marcos , Venecia, diseñada por Paolo Uccello , representa un dodecaedro estrellado. ^[78] A medida que el Renacimiento se extendió más allá de Italia, artistas posteriores como Wenzel Jamnitzer , Durero y otros también representaron poliedros de creciente complejidad, muchos de ellos novedosos, en grabados imaginativos. ^[73] Johannes Kepler (1571-1630) utilizó polígonos estrellados , típicamente pentagramas , para construir poliedros estrellados. Algunas de estas figuras pueden haber sido descubiertas antes de la época de Kepler, pero él fue el primero en reconocer que podían considerarse "regulares" si se eliminaba la restricción de que los poliedros regulares debían ser convexos. ^[79]

En el mismo período, la fórmula poliédrica de Euler , una ecuación lineal que relaciona el número de vértices, aristas y caras de un poliedro, fue enunciada para los sólidos platónicos en 1537 en un manuscrito inédito de Francesco Maurolico . ^[80]

Siglos XVII-XIX

René Descartes , alrededor de 1630, escribió su libro De solidorum elementis estudiando los poliedros convexos como un concepto general, no limitado a los sólidos platónicos y sus elaboraciones. El trabajo se perdió y no fue redescubierto hasta el siglo XIX. Una de sus contribuciones fue el teorema de Descartes sobre el defecto angular total , que está estrechamente relacionado con la fórmula poliédrica de Euler. ^[81] Leonhard Euler , de quien se nombró la fórmula, la introdujo en 1758 para los poliedros convexos de manera más general, aunque con una prueba incorrecta. ^[82] El trabajo de Euler (junto con su solución anterior al rompecabezas de los Siete Puentes de Königsberg ) se convirtió en la base del nuevo campo de la topología . ^[83] Los conceptos centrales de este campo, incluidas las generalizaciones de la fórmula poliédrica, fueron desarrollados a fines del siglo XIX por Henri Poincaré , Enrico Betti , Bernhard Riemann y otros. ^[84]

A principios del siglo XIX, Louis Poinsot amplió el trabajo de Kepler y descubrió los dos poliedros estrella regulares restantes. Poco después, Augustin-Louis Cauchy demostró que la lista de Poinsot estaba completa, sujeta a una suposición tácita de que la secuencia de vértices y aristas de cada lado poligonal no puede admitir repeticiones (una suposición que se había considerado pero rechazado en el trabajo anterior de AFL Meister). ^[85] Se conocieron como los poliedros de Kepler-Poinsot , y sus nombres habituales fueron dados por Arthur Cayley . ^[86] Mientras tanto, el descubrimiento de dimensiones superiores a principios del siglo XIX llevó a Ludwig Schläfli en 1853 a la idea de politopos de dimensiones superiores. ^[87] Además, a finales del siglo XIX, el cristalógrafo ruso Evgraf Fedorov completó la clasificación de los paralelohedros , poliedros convexos que teselan el espacio mediante traslaciones. ^[88]

Siglos XX y XXI

Las matemáticas del siglo XX comenzaron con los problemas de Hilbert , uno de los cuales, el tercer problema de Hilbert , se refería a los poliedros y sus disecciones . Fue resuelto rápidamente por el alumno de Hilbert, Max Dehn , introduciendo el invariante de Dehn de los poliedros. ^[89] El teorema de Steinitz , publicado por Ernst Steinitz en 1992, caracterizó los grafos de los poliedros convexos, trayendo ideas modernas de la teoría de grafos y la combinatoria al estudio de los poliedros. ^[90]

Los poliedros de Kepler-Poinsot pueden construirse a partir de los sólidos platónicos mediante un proceso llamado estelación . La mayoría de las estelaciones no son regulares. El estudio de las estelaciones de los sólidos platónicos recibió un gran impulso por parte de HSM Coxeter y otros en 1938, con el ahora famoso artículo The 59 icosahedra . ^[91] El análisis de Coxeter señaló un renacimiento del interés por la geometría. El propio Coxeter pasó a enumerar los poliedros uniformes en estrella por primera vez, a tratar las teselaciones del plano como poliedros, a descubrir los poliedros oblicuos regulares y a desarrollar la teoría de los poliedros complejos descubierta por primera vez por Shephard en 1952, además de realizar contribuciones fundamentales a muchas otras áreas de la geometría. ^[92]

En la segunda mitad del siglo XX, tanto Branko Grünbaum como Imre Lakatos señalaron la tendencia entre los matemáticos a definir un "poliedro" de maneras diferentes y a veces incompatibles para adaptarse a las necesidades del momento. ^{[1] [2]} En una serie de artículos, Grünbaum amplió la definición aceptada de poliedro, descubriendo muchos nuevos poliedros regulares . A finales del siglo XX, estas últimas ideas se fusionaron con otros trabajos sobre complejos de incidencia para crear la idea moderna de un poliedro abstracto (como un 3-politopo abstracto), presentado en particular por McMullen y Schulte. ^[93]

Los poliedros aparecen con frecuencia en la geometría computacional moderna , los gráficos por computadora y el diseño geométrico con temas que incluyen la reconstrucción de superficies poliédricas o mallas de superficies a partir de puntos de datos dispersos, ^[94] geodésicas en superficies poliédricas, ^[95] visibilidad e iluminación en escenas poliédricas, ^[96] policubos y otros poliedros no convexos con lados paralelos al eje, ^[97] formas algorítmicas del teorema de Steinitz, ^[98] y el problema aún sin resolver de la existencia de redes poliédricas para poliedros convexos. ^[99]

En la naturaleza

Para la aparición natural de poliedros regulares, véase Poliedro regular § Poliedros regulares en la naturaleza .

Los poliedros irregulares aparecen en la naturaleza como cristales .

Véase también

• Extensión de un poliedro
• Poliedro de Goldberg
• Lista de libros sobre poliedros
• Lista de poliedros convexos de caras regulares
• Lista de poliedros pequeños por número de vértices
• Johnson, que estuvo a punto de estrellarse, es sólido
• Modelos de poliedros
• Diagrama de Schlegel
• Listas de formas
• Stella (software)

Notas

1. Los sólidos arquimedianos alguna vez tuvieron un decimocuarto sólido conocido como pseudorrombicuboctaedro , que se construyó por error como rombicuboctaedro . Sin embargo, fue excluido por no tener propiedad transitiva de vértice , lo que lo incluyó en el sólido de Johnson. ^[20]

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Enlaces externos

Teoría general

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• Páginas de poliedros
• Solución uniforme para poliedros uniformes por el Dr. Zvi Har'El Archivado el 27 de noviembre de 2015 en Wayback Machine
• Simetría, cristales y poliedros

Listas y bases de datos de poliedros

• Poliedros de realidad virtual: la enciclopedia de poliedros.
• Modelos de geometría electrónica: contiene una selección revisada por pares de poliedros con propiedades inusuales.
• Modelos de poliedros: poliedros virtuales.
• Modelos de papel de poliedros uniformes (y otros)
• Visor de poliedros: herramienta basada en web para visualizar las relaciones entre los poliedros convexos de caras regulares.

Software libre

• Una plétora de poliedros: una colección interactiva y gratuita de poliedros en Java. Incluye redes, secciones planas, duales, truncamientos y estelaciones de más de 300 poliedros.
• Hyperspace Star Polytope Slicer: subprograma Java Explorer que incluye una variedad de opciones de visualización en 3D.
• openSCAD – Software multiplataforma gratuito para programadores. Los poliedros son solo una de las cosas que puedes modelar. El manual de usuario de openSCAD también está disponible.
• OpenVolumeMesh: biblioteca C++ multiplataforma de código abierto para manejar mallas poliédricas. Desarrollada por el Grupo de Gráficos Informáticos de Aachen, Universidad RWTH de Aachen.
• Polyhedronisme Archived 2012-04-25 at the Wayback Machine – Web-based tool for generating polyhedra models using Conway Polyhedron Notation. Models can be exported as 2D PNG images, or as 3D OBJ or VRML2 files. The 3D files can be opened in CAD software, or uploaded for 3D printing at services such as Shapeways.

Resources for making physical models

• Paper Models of Polyhedra Free nets of polyhedra.
• Simple instructions for building over 30 paper polyhedra
• Polyhedra plaited with paper strips – Polyhedra models constructed without use of glue.
• Adopt a Polyhedron - Interactive display, nets and 3D printer data for all combinatorial types of polyhedra with up to nine vertices.