Angulo tangencial

El ángulo tangencial φ para una curva arbitraria A en P .

En geometría , el ángulo tangencial de una curva en el plano cartesiano, en un punto específico, es el ángulo entre la línea tangente a la curva en el punto dado y el eje x . ^[1] (Algunos autores definen el ángulo como la desviación de la dirección de la curva en algún punto de inicio fijo. Esto es equivalente a la definición dada aquí mediante la adición de una constante al ángulo o mediante la rotación de la curva. ^[2] )

Ecuaciones

Si una curva se da paramétricamente por ( x ( t ), y ( t )) , entonces el ángulo tangencial φ en t se define (hasta un múltiplo de 2π ) por ^[3]

${\displaystyle {\frac {{\big (}x'(t),\ y'(t){\big )}}{{\big |}x'(t),\ y'(t){\big |}}}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).}$

Aquí, el símbolo primo denota la derivada con respecto a t . Por lo tanto, el ángulo tangencial especifica la dirección del vector de velocidad ( x ( t ), y ( t )) , mientras que la rapidez especifica su magnitud. El vector

${\displaystyle {\frac {{\big (}x'(t),\ y'(t){\big )}}{{\big |}x'(t),\ y'(t){\big |}}}}$

se llama vector tangente unitario , por lo que una definición equivalente es que el ángulo tangente en t es el ángulo φ tal que (cos φ , sin φ ) es el vector tangente unitario en t .

Si la curva está parametrizada por la longitud del arco s , entonces | x ′( s ), y ′( s ) | = 1 , entonces la definición se simplifica a

${\displaystyle {\big (}x'(s),\ y'(s){\big )}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).}$

En este caso, la curvatura κ está dada por φ ′( s ) , donde κ se toma como positivo si la curva se dobla hacia la izquierda y negativo si la curva se dobla hacia la derecha. ^[1] Por el contrario, el ángulo tangente en un punto dado es igual a la integral definida de la curvatura hasta ese punto: ^{[4] [1]}

${\displaystyle \varphi (s)=\int _{0}^{s}\kappa (s)ds+\varphi _{0}}$

${\displaystyle \varphi (t)=\int _{0}^{t}\kappa (t)s'(t)dt+\varphi _{0}}$

Si la curva está dada por la gráfica de una función y = f ( x ) , entonces podemos tomar ( x , f ( x )) como parametrización, y podemos suponer que φ está entre − ⁠π/2⁠ y ⁠π/2⁠ . Esto produce la expresión explícita

${\displaystyle \varphi =\arctan f'(x).}$

Ángulo tangencial polar[5]

En coordenadas polares , el ángulo tangencial polar se define como el ángulo entre la línea tangente a la curva en el punto dado y el rayo desde el origen hasta el punto. ^[6] Si ψ denota el ángulo tangencial polar, entonces ψ = φ − θ , donde φ es como arriba y θ es, como siempre, el ángulo polar.

Si la curva se define en coordenadas polares por r = f ( θ ) , entonces el ángulo tangencial polar ψ en θ se define (hasta un múltiplo de 2π ) por

${\displaystyle {\frac {{\big (}f'(\theta ),\ f(\theta ){\big )}}{{\big |}f'(\theta ),\ f(\theta ){\big |}}}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )}$.

Si la curva está parametrizada por la longitud del arco s como r = r ( s ) , θ = θ ( s ) , entonces | ( r ′( s ), rθ ′( s )) | = 1 , entonces la definición se convierte en

${\displaystyle {\big (}r'(s),\ r\theta '(s){\big )}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )}$.

La espiral logarítmica puede definirse como una curva cuyo ángulo tangencial polar es constante. ^{[5] [6]}

Véase también

• Geometría diferencial de curvas
• Ecuación de Whewell
• Subtangente

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Ecuación natural". MathWorld .
2. Por ejemplo: Whewell, W. (1849). "De la ecuación intrínseca de una curva y su aplicación". Cambridge Philosophical Transactions . 8 : 659–671.En este artículo se utiliza φ para indicar el ángulo entre la tangente y la tangente en el origen. En este artículo se presenta la ecuación de Whewell, una aplicación del ángulo tangencial.
3. Weisstein, Eric W. "Ángulo tangencial". MundoMatemático .
4. Surazhsky, Tatiana; Surazhsky, Vitaly (2004). Muestreo de curvas planas mediante análisis de formas basado en curvatura . Métodos matemáticos para curvas y superficies. Tromsø. CiteSeerX 10.1.1.125.2191 . ISBN  978-0-9728482-4-4.
5. Williamson, Benjamin (1899). "Ángulo entre la tangente y el radio vector". Tratado elemental sobre el cálculo diferencial (novena edición). pág. 222.
6. Espiral logarítmica en PlanetMath .

Lectura adicional

• "Notaciones". Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (en francés).
• Yates, RC (1952). Un manual sobre curvas y sus propiedades . Ann Arbor, MI: JW Edwards. págs. 123–126.