Discusión:Teorema del alma

Cambié la parte que se encuentra bajo el encabezado de la conjetura del alma. He leído el artículo de Perelman y lo estoy viendo ahora, y creo que está demostrando el teorema del alma en toda su generalidad. Aunque menciona la afirmación conjetural de Gromoll y Cheeger de que la curvatura seccional puntual en cualquier parte de M es suficiente para enviar S a un único punto, no conozco ninguna prueba de esto en ninguna parte. Aunque creo que es posiblemente cierto, no estoy seguro de cómo hacer para demostrarlo, especialmente utilizando las fibras de Sharafutdinov como lo hace Perelman. Espero no estar pasando por alto algo obvio. Cypa 04:23, 4 de octubre de 2005 (UTC) [ responder ]

No enunciaste el teorema de Perelman y no tiene sentido de esta manera. Volveré a comentarlo en unos días si no sucede nada. Tosha 16:40, 4 de octubre de 2005 (UTC) [ responder ]

Hola Tosha, es posible que tengas razón, pero tengo la prueba aquí mismo. ¿Puedes explicar qué parte de la prueba se refiere a las restricciones de curvatura local? Por lo que puedo decir, siempre estamos tratando con ecuaciones de inmersión global sobre S. Si quieres enunciar explícitamente el teorema de Perelman, puedo hacerlo. Viene en tres partes, A, B y C, y no es más que una versión ligeramente desarrollada del teorema del alma generalizado. La parte A, por ejemplo, establece explícitamente una suposición de curvatura no negativa, no de curvatura positiva. Agregué el corolario porque es el caso más fuerte de la afirmación que se citó originalmente como conjetura, la parte que se conoce. Pensé que proporcionaba alguna idea, pero podemos eliminarlo. Si me equivoco y Perelman está demostrando que cualquier punto con curvatura positiva colapsa S en un punto, entonces realmente agradecería saber cómo. Cypa 20:16, 4 de octubre de 2005 (UTC) [ responder ]

Hay dos cosas: la conjetura del alma y el teorema de inmersión de Perelman. La segunda implica la primera. No tiene sentido mencionar el resultado de Perelman sin enunciar el mismo. Tosha 00:28, 7 octubre 2005 (UTC) [ responder ]

No lo creo. Acabo de volver a leer la prueba. ¿Estamos hablando del mismo artículo? Estoy leyendo "Prueba de la conjetura del alma de Cheeger y Gromoll" de Perelman. El teorema se enuncia en tres partes. La parte A dice, suponiendo que K no es negativo, con la función Sharafutdinov , entonces para x en S y el vector normal v en el fibrado normal de S, entonces en x . La parte B es, para cualquier geodésica l en S y v paralela a lo largo de l, la función exponencial correspondiente envía flujos geodésicos a flujos geodésicos minimizadores. Y C dice, la función P es una inmersión riemanniana continua (de hecho, una submetría) que tiene valores propios acotados por 1/injrad(S). Dado que exp es simplemente un difeomorfismo sobreyectivo, de ninguna manera se sigue (que yo pueda ver) que la curvatura seccional estrictamente positiva envíe u(0) a u(1), que es lo que tendría que suceder para que su afirmación "pero K > 0 en algún punto. Entonces el alma de M tiene que ser un punto (o equivalentemente M es difeomórfica a {\mathbb R}^n)" se cumpla... ¿no? De hecho, el límite habitual de injrad deja en claro que la inmersión no envía todo a un punto. ${\displaystyle P\colon M\to S}$ ${\displaystyle P(\exp {tv})=x,\forall t\geq 0}$

Me preocupa que la afirmación del artículo sea errónea en este momento. ¿Podría explicarse o tendré que reescribir la segunda sección? Cypa 13:43, 7 de octubre de 2005 (UTC) [ responder ]

No creo que debas editar el artículo antes de entender la afirmación. La formulación de esa afirmación implica que si el alma no es un punto, entonces para cualquier punto existe una dirección seccional con curvatura cero. Por lo tanto, se sigue la conjetura del alma. Tosha 20:49, 7 de octubre de 2005 (UTC) [ responder ]

¿Cómo? No estoy seguro de entender siquiera la frase: "la formulación de esa afirmación implica que si el alma no es un punto, entonces para cualquier punto hay una dirección seccional con curvatura cero y, por lo tanto, se sigue la conjetura del alma". ¿Te refieres a la formulación de esa afirmación...? Si es así (y suponiendo que por "esa afirmación" te refieres a la afirmación de la prueba de Perelman que proporcioné anteriormente), entonces no entiendo. Perelman solo muestra el lugar geométrico de corte para una dirección arbitraria. Nuevamente, por favor, simplemente señala la parte de la prueba de la que estás hablando, o explícate coherentemente... si es mi error, entonces lo siento, pero no puedo verlo, y estoy empezando a pensar que tú tampoco puedes. Si estás sugiriendo que eso implica curvatura cero, creo que no. Todo lo que dice es que el fibrado normal es difeomórfico puntualmente. Cypa 21:30, 7 de octubre de 2005 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle P(\exp {tv})=x,\forall t\geq 0}$

Mira, no quiero explicarlo. Mi punto es que no deberías editar una página si no la entiendes . Tosha 22:45, 9 de octubre de 2005 (UTC) [ responder ]

Bueno, he investigado un poco más, he actualizado algunas de las investigaciones que hice hace varios años sobre el tema y he llegado a la conclusión de que estás equivocado. Te recomendaría el artículo de Guijarro y Walschap, "La proyección métrica sobre el alma" para ayudar a entender la prueba de Perelman. Tal vez estés confundiendo el alma con la pseudoalma de Yim, véase Yim, Distance nonincreasing retraction on a complete open manifold of nonnegative sectional curvature, Ann. Global Anal. Geom. 6 (1988), 191-206. Aquí hay algunas otras referencias si te gustaría discutir ALGUNA de ellas, estoy dispuesto, ya que las he leído todas:

G. Walschap, El alma en el infinito en la dimensión 4, Proc. Amer. Math. Soc. 112 (1991), 563-567

G. Walschap, Inmersiones que preservan el alma, Michigan Math Journal, 41 (1994), 609-617

I. Belegradek y V. Kapovitch, Teoremas de finitud para fibrados vectoriales no negativamente curvados, Duke Math. J., 108 (2001), 109-134

I. Belegradek, Fibrados vectoriales con un número infinito de almas, Proc. Amer. Math. Soc. 131(2003), núm. 7, 2217-2221

V. Berestovskii y L. Guijarro, Una caracterización métrica de las inmersiones de Riemann, Annals of Global Analysis and Geometry 18 (2000), págs. 577-588:

J. Cheeger y D. Ebin, Teoremas de comparación en geometría de Riemannain, North-Holland, Nueva York, 1975

D. Gromoll y K. Grove, Las foliaciones métricas de baja dimensión de las esferas euclidianas, J. Differential Geometry 28 (1988), 143-156

L. Guijarro y G. Walschap, Métricas de torsión y curvatura no negativa en fibrados vectoriales sobre la esfera redonda, J. Differential Geometry 52 (1999), 189-202

L. Guijarro y G. Walschap, La proyección métrica sobre el alma, Trans. Amer. Math. Soc. 352 (2000), 55-69

L. Guijarro y G. Walschap, Rigidez de grupo de holonomía transitiva en curvatura no negativa, Math. Zeitschrift 237 (2001), 251-257

L. Guijarro, Sobre la estructura métrica de variedades abiertas con curvatura no negativa, Pacific Journal of Mathematics, 196, No. 2, 2000 S. Kobayashi y K. Nomizu, Fundamentos de geometría diferencial, Interscience, Nueva York, 1963

B. O'Neill Las ecuaciones fundamentales de una inmersión, Michigan Math. J. 13 (1966), 459-469

Las matemáticas son un tema complejo lleno de matices, y el teorema del alma es un teorema inusualmente rico en matices. Edité la página porque temía que la información fuera incorrecta y pensé que era mejor prevenir que curar, es decir, proporcionar información falsa a la WWW. Sin embargo, como usted es incapaz de defender su punto de vista con hechos, me siento obligado a defender el mío, que estoy completamente dispuesto a defender con muchos hechos y una discusión de las matemáticas pertinentes cuando sea necesario. Lamento si editar la página fuera de lugar lo ofendió. Aprecio todo el trabajo que ha hecho aquí en wiki, y lo admiro por seguir con esto. Sin embargo, ahora estoy editando la página porque creo firmemente que está haciendo una declaración inexacta y falsa sobre la conjetura del alma. Cypa 05:38, 10 de octubre de 2005 (UTC) [ responder ]

Entonces, ¿objetas que en el artículo de Perelman, él (entre otras cosas) demostró lo siguiente:

Supongamos que M es completo y no compacto con curvatura seccional , pero en algún punto. Entonces el alma de ${\displaystyle K\geq 0}$ ${\displaystyle K>0}$ M tiene que ser un punto (o equivalentemente M es difeomorfo a ). ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$

? Tosha 06:13 13 octubre 2005 (UTC) [ responder ]

Sí, no creo que esté demostrando eso, y de hecho no creo que sea cierto (aunque "fue" débilmente conjeturado por poder en 1994) - debido en parte a resultados recientes en el campo (desde 1998). Entonces, el primer ejemplo que se da generalmente en el teorema/conjetura del alma es pensar en una parábola P, tomar su ombligo; entonces debido al difeomorfismo de su injrad en el espacio ambiente, el punto S no tiene un lugar de corte finito ya que es un punto extremal en P. Pero ahora considere el hiperboloide de revolución H basado en el origen en el semiplano superior. Ahora, el difeomorfismo que cubre el espacio es un conjunto compacto, es decir, el conjunto de polos en H. Bueno, recuerde que hay un volumen limitado en la métrica por la construcción injrad en la geometría de Riemann. Entonces, un conjunto compacto, en particular, no es un punto por la retracción de deformación y las restricciones correspondientes en la métrica. Así que, aunque la curvatura es estrictamente positiva por construcción en una colección de puntos, S no es un punto. Ahora bien, esto es puramente intuitivo, ya que hay mucho más que decir. Por ejemplo, podemos usar deformaciones y el teorema de división para mostrar que el polinomio estándar de grado cuatro incrustado en ) se puede reducir a una parábola, y por lo tanto tiene S = punto. Sin embargo, hay un límite de crecimiento de volumen bien caracterizado en cualquier M desde arriba, con respecto al grupo de holonomía de S . Entonces, para un polinomio de grado n arbitrario, se necesita algo de trabajo para mostrar si S = punto y, en general, por inducción, es falso. El trabajo de Perelman es solo un argumento que usa las técnicas estándar -y se saltea más de varios pasos- que muestra que para una variedad de Riemann completa no negativa arbitraria, el alma existe y está bien caracterizada. Es decir, es una inmersión de Riemann C^1. Trabajos posteriores han mejorado esto hasta llegar a (1,1) Holder continuo en el caso general, y C^2 en el caso especial. La razón por la que el trabajo de Perelman es digno de mención y emocionante es porque reduce el extremadamente complejo teorema del alma a una colección relativamente transparente de herramientas algebraicas básicas. Sin embargo, es algo vago en cuanto a los matices y detalles de la idea más amplia. Cypa 20:56, 15 de octubre de 2005 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{2}}$

Eso es suficiente, como dije antes, no quiero explicarte nada, y por lo que dices está claro que no eres capaz de entender nada de matemáticas. Sería mejor para todos si NO editaras matemáticas en el futuro. Tosha 22:48, 15 de octubre de 2005 (UTC) [ responder ]

No soy matemático, pero acabo de leer esta página de discusión y me ha sorprendido lo siguiente. Usuario:Cypa ha hecho un gran esfuerzo para discutir el artículo citando evidencias, etc. Usuario:Tosha está respondiendo usando la falacia de argumentum ad verecundiam {argumento de autoridad}. Esto no es suficiente, por favor, intenta resolver la disputa explicando adecuadamente tu posición en esta página de discusión. Majts 23:53, 15 de octubre de 2005 (UTC) [ responder ]

Tosha, deja de hacer el ridículo. Seguro que hay ALGO que puedas decir si tienes un conocimiento tan refinado del tema. ¿O quizás puedas explicarme dónde estoy entendiendo mal? Las matemáticas se basan en evidencias y hechos. Voy a enviar esta página a RFC . Cypa 23:01, 15 de octubre de 2005 (UTC) [ responder ]

Tosha, por favor lee este artículo: CRECIMIENTO DE VOLUMEN Y HOLONOMÍA EN CURVATURA NO NEGATIVA. Creo que si lo lees, debería aclarar por qué la afirmación anterior es falsa. Muy vagamente, la razón de este límite, en un sentido intuitivo, es que la condición de lipschitz junto con la condición de injrad establece límites a la velocidad a la que puede crecer la curvatura sobreyectiva en S ; así que cuando tienes muchos polos en un espacio, no necesariamente todos van a colapsar en un único S , ya que S solo puede tomar curvatura a cierta velocidad. ¿Tiene sentido? Cypa 23:33, 15 de octubre de 2005 (UTC) [ responder ]

Estoy dispuesto a explicarle cualquier cosa a cualquiera que pueda entender algo, pero Cypa no es uno de ellos. Si estás haciendo matemáticas, debería resultar claro en casi todas sus frases. Tosha 05:23, 16 de octubre de 2005 (UTC) [ responder ]

Esa no es una respuesta adecuada. Si es tan obvio, te será fácil explicar rápidamente por qué cualquiera de los argumentos de Cypa es falso. Eso sería suficiente para mí, pero hasta entonces ayudaré a mantener el artículo con la versión de Cypa a pesar del hecho de que no entiendo nada del tema. Majts 05:41, 16 de octubre de 2005 (UTC) [ responder ]

Majts , no hay argumentos en el escrito de Cypa y, una vez más, por favor no edites artículos que no entiendes. Lee los artículos y luego vuelve a leerlos. Tosha 00:12, 17 de octubre de 2005 (UTC) [ responder ]

Tosha, ¿de qué estás hablando? He explicado el ejemplo de la parábola/hiperboloide de forma vaga, porque es el primer argumento del artículo de Gromoll y Cheeger, y por eso supuse que lo conocías.

¡No es un argumento!

Soy matemático de formación y estos insultos son simplemente ridículos. Sé bastante sobre geometría de Riemann, geometría diferencial y topología algebraica, que es todo lo que se necesita para entender este teorema... junto con algunos análisis elementales.

Quizás sabes lo suficiente, pero no entiendes

Aunque inicialmente pensé que quizá tenías alguna idea sobre este tema que yo podría haber pasado por alto, estoy cada vez más convencido de que ni siquiera tienes una comprensión elemental de lo que es el teorema del alma.

Créeme que lo hago

Lo que resulta tan extraño es la arrogancia que parece acompañarlo. Sin embargo, puedo asegurarles que todas mis frases se basan en referencias directas.

Lo cual no tiene ninguna relación

No escribo de memoria, Tosha. Miro las pruebas que tengo frente a mí y parafraseo. De modo que si mis afirmaciones son erróneas, también lo son los teoremas.

El hecho de que tengas un trabajo en la mano no significa que lo entiendas, escribo de memoria, pero sí recuerdo todos los profesores.

Otra razón por la que me siento cómodo con mis afirmaciones es porque he discutido muchas de ellas con mis amigos y colegas –matemáticos profesionales– a diario.

¿matemáticos profesionales? hmmm

Pero lo único que hace falta es señalar un problema.

¿Qué quieres que señale?

Lo defenderé con explicaciones y fuentes.

La fuente es buena solo si la entiendes

Incluso podría invitar a otro matemático o dos a participar en esta discusión si así lo desea. En serio, señor, ¿de qué se trata todo esto? ¿Por qué no tiene ningún deseo de llegar a un acuerdo? Cypa 01:15, 17 de octubre de 2005 (UTC) [ responder ]

Una vez más mis puntos:

1. La página de discusión NO es para obtener ayuda en matemáticas.
2. No deberías editar la página si no la entiendes

Afirmo que mi edición es correcta y sus correcciones la hacen más confusa y no tan útil.

Por cierto, aquí hay una cita de MathSciNet (espero que confíes en ella)

MR1285534 (95d:53037) Perelman, G. (RS-AOS2) Prueba de la conjetura del alma de Cheeger y Gromoll. J. Differential Geom. 40 (1994), no. 1, 209-212.

Sea M una variedad completa no compacta de curvatura seccional no negativa con alma S. Es bien sabido que si u es un vector tangente a S, y v es ortogonal a S, entonces el plano generado por u y v tiene curvatura cero. En un breve argumento geométrico basado en el segundo teorema de Rauch, Perelöman demuestra que esto también es cierto para la traslación paralela de este plano a lo largo de la geodésica en dirección v. Como consecuencia fundamental, obtiene la existencia de una inmersión riemanniana desde el espacio ambiente sobre S. Esto responde en particular a una pregunta formulada unos veinte años antes por Cheeger y Gromoll: si la curvatura es estrictamente positiva en algún punto, entonces M es difeomorfa al espacio euclidiano.

Tosha 02:48 17 octubre 2005 (UTC) [ responder ]

Está bien, parece claro que no vas a estar dispuesto a entablar ningún tipo de diálogo. Estoy de acuerdo con el párrafo de revisión de Walschap. La diferencia entre lo que ha dicho y la declaración de una sola frase de la prueba de Perelman que has proporcionado es que uno demuestra una comprensión del campo más amplio de declaraciones, mientras que el otro es una simplificación de la idea tan cerrada y redactada que resulta engañosa y se acerca a ser simplemente errónea. Podría intentar explicártelo, pero estoy ocupado con otro trabajo y esta conversación se está volviendo redundante. Al menos proporcionaste una respuesta no vacía esta última vez (citando a otra persona), así que vamos en la dirección correcta. Puede que no sepas esto, Tosha, pero no tengo forma de saber cuál es tu formación o cuánto sabes sobre el teorema o la geometría de Riemann. Ése ES el propósito de la página de discusión, para que la gente pueda usar la lógica y la razón para llegar a entendimientos mutuos. Lamento que creas que tienes tanto talento que no necesitas explicarte más allá de los insultos y de decir "porque tengo razón y lo sé". Este enfoque es a la vez infantil e imposible de entender. De la suma total de lo que has dicho aquí, solo puedo concluir que el inglés claramente no es tu primera lengua, que crees que eres muy inteligente y que tienes una intransigencia muy fuerte a la hora de intentar entender cualquier punto de vista que no sea completamente paralelo al tuyo. Hablemos de diálogos sin contenido. Afirmaciones como: " Confía en mí, yo confío ". Bien, Tosha, confío en ti, eres la fuente de todas las matemáticas en la web y simplemente me quedaré con tu palabra. Pero, no obstante, vas a tener que desarrollar la afirmación de la prueba de Perelman hasta el punto en que demuestre cierta comprensión del estado actual del Teorema del Alma, o seguiré recurriendo a una versión más mezquina, aunque menos "confusa" del artículo. Cypa 16:39 17 octubre 2005 (UTC) [ responder ]

Debo decir que estoy desconcertado por la discusión que se está dando aquí. La página de discusión tiene como objetivo mejorar el artículo. Si alguien piensa que el artículo está equivocado, este es el lugar para cuestionarlo, y si la pregunta no se responde satisfactoriamente, entonces está bien cambiar el artículo. No basta con decir que el artículo es correcto, uno debe estar preparado para dar argumentos a favor de ello. Por supuesto, sería demasiado explicárselo a alguien que no sabe nada de matemáticas, pero no he visto ninguna prueba de que Cypa sea alguien así.

Por otro lado, tampoco me queda claro cuál es el problema de Cypa con la página. ¿El problema es:

1. El artículo de Perelman no pretende demostrar que "si M es completo y no compacto con una curvatura seccional K ≥ 0, pero K > 0 en algún punto, entonces el alma de M tiene que ser un punto (o equivalentemente, M es difeomórfico a R ⁿ )", O
2. El artículo pretende probarlo, pero la prueba es incorrecta, O
3. El artículo lo prueba correctamente, pero ¿es engañoso resumir la afirmación de esa manera?

El artículo dice que "Cheeger y Gromoll conjeturaron que la misma conclusión [el alma es un único punto] puede obtenerse bajo la hipótesis más débil de que M contiene un punto donde todas las curvaturas seccionales son positivas", esta es la única conjetura que puedo encontrar en el artículo, por lo que supongo que se refiere a esto con la "Conjetura del Alma", y Perelman afirma que es "una consecuencia inmediata de la Parte (B)". El hecho de que esto sea aceptado por los evaluadores de la revista y por Walschap, que escribe para MathSciNet, es suficiente para que crea que la prueba es correcta, al menos a menos que se den argumentos en contrario.

Entonces, ¿qué está pasando aquí? -- Jitse Niesen ( discusión ) 18:04 17 octubre 2005 (UTC) [ responder ]

¿Qué pasó aquí? No soy tan inteligente, pero esto es interesante. Entonces... ¿quién tiene razón? ¿El alma tiene un final o un principio o todas las almas van a 0 y todas están en una? 31.144.144.119 (discusión) 09:30 19 sep 2024 (UTC) [ responder ]

Los comentarios de Cypa aquí son un poco incoherentes, me resulta difícil entender lo que están afirmando. En la edición que proponen (también un poco incoherente), ellos tergiversan la conjetura del alma en una forma que ya fue probada por Gromoll y Meyer en 1969. Por eso creo que no están tan familiarizados con este contenido. Gumshoe2 ( discusión ) 17:50 19 sep 2024 (UTC) [ responder ]

Gracias Jitse. Sí, tienes razón, ¿qué está pasando aquí? De todos modos, voy a retirar mi queja. No se está logrando nada aquí (y eso es culpa mía). Perdón por reducirme a tonterías. Para aclarar vagamente el punto de vista original, estaba tratando de decir algo similar a la opción 3 anterior. Tosha, la página es toda tuya. Te la has ganado. Cypa 23:40, 17 de octubre de 2005 (UTC)

¿Quién demostró qué?

Estoy desconcertado por esta página, a la que llegué a través de un enlace en la página de Perelman . En esa página se afirma que él demostró la conjetura del alma, pero en esta página se afirma que Cheeger y Gromoll la demostraron, mientras que la cita de Perelman en esta página indica que Cheeger y Gromoll la conjeturaron y que Perelman la demostró. ¿Cuál es la historia correcta aquí?

Además, como no he oído hablar de la conjetura del alma antes, no pretendo saber nada sobre su demostración. Pero tengo problemas para ver cómo la conjetura del alma, como se indica en esta página, puede ser válida para el caso simple de, digamos, la superficie z = x^2 + y^2 en R^3. No creo que este paraboloide P contenga -ninguna- subvariedad compacta cuyo fibrado normal sea difeomorfo a P (por no hablar de una subvariedad compacta totalmente convexa, totalmente geodésica cuyo fibrado normal sea difeomorfo a P).

Pero si se descarta la condición de compacidad, entonces es fácil ver que la afirmación modificada sería verdadera para P (usando cualquier geodésica completa que pase por el vértice de P como subvariedad). Daqu 10:14, 5 de marzo de 2006 (UTC) [ responder ]

Vaya, por favor, no tomen en cuenta los dos últimos párrafos. Confieso que no se me ocurrió ningún punto, como debería haberlo hecho. Daqu 10:26, 5 de marzo de 2006 (UTC) [ responder ]

• • • Sin embargo, escribí *tres* párrafos y el primero aún está sin resolver:

"Estoy desconcertado por esta página, a la que llegué a través de un enlace en la página de Perelman. Esa página afirma que él demostró la Conjetura del Alma. Pero esta página afirma que Cheeger y Gromoll la demostraron. Mientras que la cita de Perelman en esta página indica que Cheeger y Gromoll la conjeturaron y que Perelman la demostró. ¿Cuál es la historia correcta aquí?" Daqu 03:41, 22 de marzo de 2006 (UTC) [ responder ]

Hay un teorema del alma y una conjetura sobre el alma. El artículo actual afirma que el teorema fue demostrado por Cheeger y Gromoll, quienes formularon la conjetura, que fue demostrada por Perelman. -- CS (discusión) 04:50 28 mar 2006 (UTC) [ responder ]

Pregunta

¿Por qué se llama Teorema del Alma? -- Zhang Guo Lao 13:46, 24 de agosto de 2006 (UTC) [ responder ]

Error menor

En el ejemplo del paraboloide, elimine la parte "No todo punto x de M es un alma de M, ya que puede haber bucles geodésicos basados ​​en x", porque es obviamente incorrecto: El fibrado normal en cualquier subvariedad puntual es difeomorfo a R^2, (que es difeomorfo al paraboloide). 188.174.106.216 (discusión) 12:43 13 ene 2014 (UTC) [ responder ]

¿Qué parte es incorrecta? Hay bucles geodésicos en el paraboloide (la relación de Clairaut nos dice que una geodésica que se desplaza en un ángulo hacia abajo del paraboloide "girará" a medida que el paraboloide se estrecha, luego volverá a subir y finalmente se encontrará consigo misma). Si un punto es un alma o no se reduce (por definición) a si surge del proceso de elegir un punto, considerar los rayos que vienen de él, construir regiones compactas totalmente convexas y luego encogerlas inductivamente. Los puntos que no son almas pueden tener su fibrado normal difeomórfico con respecto a todo el espacio. Es solo una cuestión de convención y definición que "alma" significa subespacios de esta construcción, no subespacios con la agradable propiedad de sus fibrados normales. 128.91.40.39 (discusión) 15:46 30 mar 2016 (UTC) [ responder ]