En geometría algebraica , un espacio de Zariski-Riemann o espacio de Zariski de un subanillo k de un campo K es un espacio localmente anillado cuyos puntos son anillos de valoración que contienen k y están contenidos en K. Generalizan la superficie de Riemann de una curva compleja.
Los espacios de Zariski-Riemann fueron introducidos por Zariski (1940, 1944) quien (de manera bastante confusa) los llamó variedades de Riemann o superficies de Riemann . Nagata (1962) los denominó espacios de Zariski-Riemann en honor a Oscar Zariski y Bernhard Riemann, quienes los utilizaron para demostrar que las variedades algebraicas pueden incluirse en variedades completas .
La uniformización local (probada en la característica 0 por Zariski) puede interpretarse en el sentido de que el espacio de Zariski-Riemann de una variedad es no singular en algún sentido, por lo que lo es una especie de resolución de singularidades bastante débil . Esto no resuelve el problema de la resolución de singularidades porque en dimensiones mayores que 1 el espacio de Zariski-Riemann no es localmente afín y, en particular, no es un esquema.
El espacio de Zariski-Riemann de un campo K sobre un campo base k es un espacio localmente anillado cuyos puntos son los anillos de valoración que contienen k y están contenidos en K. A veces, el anillo de valoración K se excluye y, a veces, los puntos se restringen a los anillos de valoración de dimensión cero (aquellos cuyo campo residual tiene un grado de trascendencia cero sobre k ).
Si S es el espacio de Zariski-Riemann de un subanillo k de un campo K , tiene una topología definida tomando una base de conjuntos abiertos como anillos de valoración que contienen un subconjunto finito dado de K. El espacio S es cuasicompacto. Se convierte en un espacio anillado localmente asignando a cualquier subconjunto abierto la intersección de los anillos de valoración de los puntos del subconjunto. El anillo local en cualquier punto es el anillo de valoración correspondiente.
El espacio de Zariski-Riemann de un campo de funciones también se puede construir como el límite inverso de todos los modelos completos (o proyectivos) del campo de funciones.
El espacio de Riemann-Zariski de una curva sobre un campo algebraicamente cerrado k con campo funcional K es el mismo que su modelo proyectivo no singular. Tiene un punto genérico no cerrado correspondiente a la valoración trivial con anillo de valoración K , y sus otros puntos son los anillos de valoración de rango 1 en K que contienen k . A diferencia de los casos de dimensiones superiores, el espacio de Zariski-Riemann de una curva es un esquema.
Los anillos de valoración de una superficie S sobre k con campo funcional K se pueden clasificar por la dimensión (el grado de trascendencia del campo residual) y el rango (el número de subgrupos convexos distintos de cero del grupo de valoración). Zariski (1939) dio la siguiente clasificación: