Subespacio típico

Término en la teoría de la información cuántica

En la teoría de la información cuántica , la idea de un subespacio típico desempeña un papel importante en las demostraciones de muchos teoremas de codificación (el ejemplo más destacado es la compresión de Schumacher). Su papel es análogo al del conjunto típico en la teoría de la información clásica .

Tipicidad cuántica incondicional

Consideremos un operador de densidad con la siguiente descomposición espectral : ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho =\sum _{x}p_{X}(x)\vert x\rangle \langle x\vert .}$

El subespacio débilmente típico se define como el espacio de todos los vectores tales que la entropía de muestra de su etiqueta clásica es cercana a la entropía verdadera de la distribución : ${\displaystyle {\overline {H}}(x^{n})}$ ${\displaystyle H(X)}$ ${\displaystyle p_{X}(x)}$

${\displaystyle T_{\delta }^{X^{n}}\equiv {\text{span}}\left\{\left\vert x^{n}\right\rangle :\left\vert {\overline {H}}(x^{n})-H(X)\right\vert \leq \delta \right\},}$

dónde

${\displaystyle {\overline {H}}(x^{n})\equiv -{\frac {1}{n}}\log(p_{X^{n}}(x^{n})),}$

${\displaystyle H(X)\equiv -\sum _{x}p_{X}(x)\log p_{X}(x).}$

El proyector sobre el subespacio típico de se define como ${\displaystyle \Pi _{\rho ,\delta }^{n}}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\equiv \sum _{x^{n}\in T_{\delta }^{X^{n}}}\vert x^{n}\rangle \langle x^{n}\vert ,}$

donde hemos "sobrecargado" el símbolo para referirnos también al conjunto de secuencias -típicas: ${\displaystyle T_{\delta }^{X^{n}}}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle T_{\delta }^{X^{n}}\equiv \left\{x^{n}:\left\vert {\overline {H}}\left(x^{n}\right)-H(X)\right\vert \leq \delta \right\}.}$

Las tres propiedades importantes del proyector típico son las siguientes:

${\displaystyle {\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho ^{\otimes n}\right\}\geq 1-\epsilon ,}$

${\displaystyle {\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\leq 2^{n\left[H\left(X\right)+\delta \right]},}$

${\displaystyle 2^{-n\left[H(X)+\delta \right]}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\leq \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho ^{\otimes n}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\leq 2^{-n\left[H(X)-\delta \right]}\Pi _{\rho ,\delta }^{n},}$

donde la primera propiedad es válida para valores arbitrarios y suficientemente grandes . ${\displaystyle \epsilon ,\delta >0}$ ${\displaystyle n}$

Tipicidad cuántica condicional

Consideremos un conjunto de estados. Supongamos que cada estado tiene la siguiente descomposición espectral : ${\displaystyle \left\{p_{X}(x),\rho _{x}\right\}_{x\in {\mathcal {X}}}}$ ${\displaystyle \rho _{x}}$

${\displaystyle \rho _{x}=\sum _{y}p_{Y|X}(y|x)\vert y_{x}\rangle \langle y_{x}\vert .}$

Consideremos un operador de densidad que está condicionado a una secuencia clásica : ${\displaystyle \rho _{x^{n}}}$ ${\displaystyle x^{n}\equiv x_{1}\cdots x_{n}}$

${\displaystyle \rho _{x^{n}}\equiv \rho _{x_{1}}\otimes \cdots \otimes \rho _{x_{n}}.}$

Definimos el subespacio condicionalmente típico débil como el espacio de vectores (condicional a la secuencia ) tal que la entropía condicional de muestra de sus etiquetas clásicas es cercana a la entropía condicional verdadera de la distribución : ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle {\overline {H}}(y^{n}|x^{n})}$ ${\displaystyle H(Y|X)}$ ${\displaystyle p_{Y|X}(y|x)p_{X}(x)}$

${\displaystyle T_{\delta }^{Y^{n}|x^{n}}\equiv {\text{span}}\left\{\left\vert y_{x^{n}}^{n}\right\rangle :\left\vert {\overline {H}}(y^{n}|x^{n})-H(Y|X)\right\vert \leq \delta \right\},}$

dónde

${\displaystyle {\overline {H}}(y^{n}|x^{n})\equiv -{\frac {1}{n}}\log \left(p_{Y^{n}|X^{n}}(y^{n}|x^{n})\right),}$

${\displaystyle H(Y|X)\equiv -\sum _{x}p_{X}(x)\sum _{y}p_{Y|X}(y|x)\log p_{Y|X}(y|x).}$

El proyector sobre el subespacio condicionalmente típico débil de es el siguiente: ${\displaystyle \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }}$ ${\displaystyle \rho _{x^{n}}}$

${\displaystyle \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\equiv \sum _{y^{n}\in T_{\delta }^{Y^{n}|x^{n}}}\vert y_{x^{n}}^{n}\rangle \langle y_{x^{n}}^{n}\vert ,}$

donde nuevamente hemos sobrecargado el símbolo para referirnos al conjunto de secuencias condicionalmente típicas débiles: ${\displaystyle T_{\delta }^{Y^{n}|x^{n}}}$

${\displaystyle T_{\delta }^{Y^{n}|x^{n}}\equiv \left\{y^{n}:\left\vert {\overline {H}}\left(y^{n}|x^{n}\right)-H(Y|X)\right\vert \leq \delta \right\}.}$

Las tres propiedades importantes del proyector condicionalmente típico débil son las siguientes:

${\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}},\delta }\rho _{X^{n}}\right\}\right\}\geq 1-\epsilon ,}$

${\displaystyle {\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\right\}\leq 2^{n\left[H(Y|X)+\delta \right]},}$

${\displaystyle 2^{-n\left[H(Y|X)+\delta \right]}\ \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\leq \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\ \rho _{x^{n}}\ \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\leq 2^{-n\left[H(Y|X)-\delta \right]}\ \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta },}$

donde la primera propiedad es válida para arbitrarios y suficientemente grandes , y la expectativa es con respecto a la distribución . ${\displaystyle \epsilon ,\delta >0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{X^{n}}(x^{n})}$

Véase también

• Capacidad clásica
• Teoría de la información cuántica

Referencias

• Wilde, Mark M., 2017, Teoría de la información cuántica, Cambridge University Press, también disponible en eprint arXiv:1106.1145