Desigualdad estocástica de Gronwall

La desigualdad estocástica de Gronwall es una generalización de la desigualdad de Gronwall y se ha utilizado para demostrar la correcta formulación de ecuaciones diferenciales estocásticas dependientes de la trayectoria con suposición de monotonía local y coercitividad con respecto a la norma suprema. ^{[1] [2]}

Declaración

Sea un proceso adaptado continuo por la derecha no negativo . Supóngase que es una función càdlàg determinista no decreciente con y sea un proceso no decreciente y adaptado a càdlàg que comienza en . Además, sea una martingala local con y caminos càdlàg . ${\displaystyle X(t),\,t\geq 0}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle A:[0,\infty )\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle A(0)=0}$ ${\displaystyle H(t),\,t\geq 0}$ ${\displaystyle H(0)\geq 0}$ ${\displaystyle M(t),\,t\geq 0}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle M(0)=0}$

Supongamos que para todos , ${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle X(t)\leq \int _{0}^{t}X^{*}(u^{-})\,dA(u)+M(t)+H(t),}$dónde . ${\displaystyle X^{*}(u):=\sup _{r\in [0,u]}X(r)}$

y defina . Entonces las siguientes estimaciones son válidas para y : ^{[1] [2]} ${\displaystyle c_{p}={\frac {p^{-p}}{1-p}}}$ ${\displaystyle p\in (0,1)}$ ${\displaystyle T>0}$

• Si y es predecible, entonces ; ${\displaystyle \mathbb {E} {\big (}H(T)^{p}{\big )}<\infty }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {E} \left[\left(X^{*}(T)\right)^{p}{\Big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right]\leq {\frac {c_{p}}{p}}\mathbb {E} \left[(H(T))^{p}{\big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right]\exp \left\lbrace c_{p}^{1/p}A(T)\right\rbrace }$
• Si y no tiene saltos negativos, entonces ; ${\displaystyle \mathbb {E} {\big (}H(T)^{p}{\big )}<\infty }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {E} \left[\left(X^{*}(T)\right)^{p}{\Big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right]\leq {\frac {c_{p}+1}{p}}\mathbb {E} \left[(H(T))^{p}{\big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right]\exp \left\lbrace (c_{p}+1)^{1/p}A(T)\right\rbrace }$
• Si entonces ; ${\displaystyle \mathbb {E} H(T)<\infty ,}$ ${\displaystyle \displaystyle {\mathbb {E} \left[\left(X^{*}(T)\right)^{p}{\Big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right]\leq {\frac {c_{p}}{p}}\left(\mathbb {E} \left[H(T){\big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right]\right)^{p}\exp \left\lbrace c_{p}^{1/p}A(T)\right\rbrace }}$

Prueba

Esto ha sido demostrado por la desigualdad de Lenglart . ^[1]

Referencias

1. Mehri, Sima; Scheutzow, Michael (2021). "Un lema de Gronwall estocástico y la correcta formulación de ecuaciones diferenciales de probabilidad dependientes de la trayectoria impulsadas por ruido de martingala". Revista Latinoamericana de Probabilidad y Estadística Matemática . 18 : 193–209. arXiv : 1908.10646 . doi : 10.30757/ALEA.v18-09 . S2CID  201660248.
2. von Renesse, Max; Scheutzow, Michael (2010). "Existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales funcionales estocásticas". Random Oper. Stoch. Equ . 18 (3): 267–284. arXiv : 0812.1726 . doi :10.1515/rose.2010.015. S2CID  18595968.