Método estocástico euleriano lagrangiano

En dinámica de fluidos computacional , el método lagrangiano euleriano estocástico (SELM) ^[1] es un enfoque para capturar características esenciales de interacciones fluido-estructura sujetas a fluctuaciones térmicas al tiempo que se introducen aproximaciones que facilitan el análisis y el desarrollo de métodos numéricos manejables. SELM es un enfoque híbrido que utiliza una descripción euleriana para los campos hidrodinámicos continuos y una descripción lagrangiana para estructuras elásticas. Las fluctuaciones térmicas se introducen a través de campos impulsores estocásticos. También se introducen enfoques para los campos estocásticos de las SPDE para obtener métodos numéricos que tengan en cuenta los artefactos de discretización numérica para mantener los principios estadísticos, como el equilibrio fluctuación-disipación y otras propiedades en mecánica estadística. ^[1]

Las ecuaciones de estructura de fluido SELM que se utilizan normalmente son

${\displaystyle \rho {\frac {d{u}}{d{t}}}=\mu \,\Delta u-\nabla p+\Lambda [\Upsilon (V-\Gamma {u})]+\lambda +f_{\mathrm {thm} }(x,t)}$

${\displaystyle m{\frac {d{V}}{d{t}}}=-\Upsilon (V-\Gamma {u})-\nabla \Phi [X]+\xi +F_{\mathrm {thm} }}$

${\displaystyle {\frac {d{X}}{d{t}}}=V.}$

La presión p está determinada por la condición de incompresibilidad del fluido.

${\displaystyle \nabla \cdot u=0.\,}$

Los operadores acoplan los grados de libertad eulerianos y lagrangianos. Los denotan los vectores compuestos del conjunto completo de coordenadas lagrangianas para las estructuras. La es la energía potencial para una configuración de las estructuras. Los son campos impulsores estocásticos que tienen en cuenta las fluctuaciones térmicas. Los son multiplicadores de Lagrange que imponen restricciones, como las deformaciones locales del cuerpo rígido . Para garantizar que la disipación se produzca solo a través del acoplamiento y no como consecuencia de la interconversión por parte de los operadores, se imponen las siguientes condiciones adjuntas ${\displaystyle \Gamma ,\Lambda }$ ${\displaystyle X,V}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle f_{\mathrm {thm} },F_{\mathrm {thm} }}$ ${\displaystyle \lambda ,\xi }$ ${\displaystyle \Upsilon }$ ${\displaystyle \Gamma ,\Lambda }$

${\displaystyle \Gamma =\Lambda ^{T}.}$

Las fluctuaciones térmicas se introducen a través de campos aleatorios gaussianos con media cero y la estructura de covarianza.

${\displaystyle \langle f_{\mathrm {thm} }(s)f_{\mathrm {thm} }^{T}(t)\rangle =-\left(2k_{B}{T}\right)\left(\mu \Delta -\Lambda \Upsilon \Gamma \right)\delta (t-s).}$

${\displaystyle \langle F_{\mathrm {thm} }(s)F_{\mathrm {thm} }^{T}(t)\rangle =2k_{B}{T}\Upsilon \delta (t-s).}$

${\displaystyle \langle f_{\mathrm {thm} }(s)F_{\mathrm {thm} }^{T}(t)\rangle =-2k_{B}{T}\Lambda \Upsilon \delta (t-s).}$

Para obtener descripciones simplificadas y métodos numéricos eficientes, se han considerado aproximaciones en varios regímenes físicos limitantes para eliminar dinámicas en escalas de tiempo pequeñas o grados de libertad inerciales. En diferentes regímenes limitantes, el marco SELM puede relacionarse con el método de límite inmerso , la dinámica de Stokes acelerada y el método euleriano de Lagrange arbitrario. Se ha demostrado que el enfoque SELM produce dinámicas fluido-estructurales estocásticas que son consistentes con la mecánica estadística. En particular, se ha demostrado que la dinámica SELM satisface el equilibrio detallado para el conjunto de Gibbs-Boltzmann. También se han introducido diferentes tipos de operadores de acoplamiento que permiten descripciones de estructuras que involucran coordenadas generalizadas y grados de libertad traslacionales o rotacionales adicionales. Para discretizar numéricamente las SPDE SELM, también se introdujeron métodos generales para derivar campos estocásticos numéricos para SPDE que tienen en cuenta los artefactos de discretización para mantener los principios estadísticos, como el equilibrio de fluctuación-disipación y otras propiedades en la mecánica estadística. ^[1]

Los métodos SELM se han utilizado para simulaciones de fluidos viscoelásticos y materiales blandos, ^[2] inclusiones de partículas dentro de interfaces de fluidos curvas ^{[3] [4]} y otros sistemas microscópicos y dispositivos de ingeniería. ^{[5] [6] [7]}

Véase también

• Método de límite inmerso
• Dinámica Stokesiana
• Método del volumen del fluido
• Método de nivelación
• Método de marcadores y células

Referencias

1. Atzberger, Paul (2011). "Métodos lagrangianos eulerianos estocásticos para interacciones fluido-estructurales con fluctuaciones térmicas". Journal of Computational Physics . 230 (8): 2821–2837. arXiv : 1009.5648 . Código Bibliográfico :2011JCoPh.230.2821A. doi :10.1016/j.jcp.2010.12.028. S2CID  6067032.
2. Atzberger, Paul (2013), "Incorporación de la fuerza cortante en métodos lagrangianos eulerianos estocásticos para estudios reológicos de fluidos complejos y materiales blandos", Physica D , 265 : 57–70, arXiv : 2212.10651 , doi :10.1016/j.physd.2013.09.002
3. Rower, David A.; Padidar, Misha; Atzberger, Paul J. (abril de 2022). "Métodos de hidrodinámica de fluctuación de superficie para la dinámica de deriva-difusión de partículas y microestructuras dentro de interfaces de fluidos curvados". Journal of Computational Physics . 455 : 110994. arXiv : 1906.01146 . doi :10.1016/j.jcp.2022.110994.
4. Atzberger, Paul (2016). "Acoplamiento hidrodinámico de inclusiones de partículas incrustadas en membranas de bicapa lipídica curvas". Soft Matter, The Royal Society of Chemistry . 12 : 6685–6707. arXiv : 1601.06461 . doi :10.1039/C6SM00194G.
5. Atzberger, Paul J. (2011). "Métodos lagrangianos eulerianos estocásticos para interacciones fluido-estructurales con fluctuaciones térmicas". Journal of Computational Physics . 230 (8): 2821–2837. arXiv : 1009.5648 . Código Bibliográfico :2011JCoPh.230.2821A. doi :10.1016/j.jcp.2010.12.028. S2CID  6067032.
6. Wang, Y.; Lei, H.; Atzberger, PJ (enero de 2018). "Métodos hidrodinámicos fluctuantes para interacciones fluido-estructura en geometrías de canales confinados". Matemáticas Aplicadas y Mecánica . 39 (1): 125–152. doi :10.1007/s10483-018-2253-8.
7. Wang, Y.; Sigurdsson, JK; Atzberger, PJ (enero de 2016). "Métodos de hidrodinámica fluctuante para simulaciones dinámicas de solventes implícitos de grano grueso en LAMMPS". Revista SIAM de computación científica . 38 (5): S62–S77. doi :10.1137/15M1026390.

1. Atzberger, PJ; Kramer, PR; Peskin, CS (2007). "Un método estocástico de límites inmersos para dinámica de fluidos y estructuras a escalas de longitud microscópicas". Journal of Computational Physics . 224 (2): 1255–92. arXiv : 0910.5748 . Código Bibliográfico :2007JCoPh.224.1255A. doi :10.1016/j.jcp.2006.11.015. S2CID  17977915.
2. Peskin, CS (2002). "El método de límite inmerso". Acta Numerica . 11 : 479–517. doi : 10.1017/S0962492902000077 . S2CID  53517954.

Software: Códigos numéricos y paquetes de simulación

• Mango-Selm: métodos eulerianos lagrangianos estocásticos y de límites inmersos, paquete de simulación 3D (interfaz Python, integración LAMMPS MD), P. Atzberger, UCSB