Grupo de Steinberg (teoría K)

En la teoría K algebraica , un campo de las matemáticas , el grupo de Steinberg de un anillo es la extensión central universal del subgrupo conmutador del grupo lineal general estable de . ${\displaystyle \operatorname {St} (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Lleva el nombre de Robert Steinberg y está relacionado con grupos inferiores ${\displaystyle K}$ , en particular con y . ${\displaystyle K_{2}}$ ${\displaystyle K_{3}}$

Definición

De manera abstracta, dado un anillo , el grupo de Steinberg es la extensión central universal del subgrupo conmutador del grupo lineal general estable (el subgrupo conmutador es perfecto y por lo tanto tiene una extensión central universal). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {St} (A)}$

Presentación utilizando generadores y relaciones

Una presentación concreta utilizando generadores y relaciones es la siguiente. Las matrices elementales —es decir, matrices de la forma , donde es la matriz identidad, es la matriz con en la entrada y ceros en el resto, y — satisfacen las siguientes relaciones, llamadas relaciones de Steinberg : ${\displaystyle {e_{pq}}(\lambda ):=\mathbf {1} +{a_{pq}}(\lambda )}$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle {a_{pq}}(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle p\neq q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{ij}(\lambda )e_{ij}(\mu )&=e_{ij}(\lambda +\mu );&&\\\left[e_{ij}(\lambda ),e_{jk}(\mu )\right]&=e_{ik}(\lambda \mu ),&&{\text{for }}i\neq k;\\\left[e_{ij}(\lambda ),e_{kl}(\mu )\right]&=\mathbf {1} ,&&{\text{for }}i\neq l{\text{ and }}j\neq k.\end{aligned}}}$

El grupo de Steinberg inestable de orden sobre , denotado por , se define por los generadores , donde y , estando estos generadores sujetos a las relaciones de Steinberg. El grupo de Steinberg estable , denotado por , es el límite directo del sistema . También puede considerarse como el grupo de Steinberg de orden infinito. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\operatorname {St} _{r}}(A)}$ ${\displaystyle {x_{ij}}(\lambda )}$ ${\displaystyle 1\leq i\neq j\leq r}$ ${\displaystyle \lambda \in A}$ ${\displaystyle \operatorname {St} (A)}$ ${\displaystyle {\operatorname {St} _{r}}(A)\to {\operatorname {St} _{r+1}}(A)}$

La aplicación produce un homomorfismo de grupo . Como las matrices elementales generan el subgrupo de conmutadores , esta aplicación es sobreyectiva sobre el subgrupo de conmutadores. ${\displaystyle {x_{ij}}(\lambda )\mapsto {e_{ij}}(\lambda )}$ ${\displaystyle \varphi :\operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)}$

La interpretación como grupo fundamental

El grupo de Steinberg es el grupo fundamental del espacio de Volodin , que es la unión de los espacios clasificadores de los subgrupos unipotentes de . ${\displaystyle \operatorname {GL} (A)}$

Relación conK-teoría

K1

${\displaystyle {K_{1}}(A)}$es el co-núcleo del mapa , como lo es la abelianización de y el mapeo es sobreyectivo sobre el subgrupo conmutador. ${\displaystyle \varphi :\operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)}$ ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)}$ ${\displaystyle \varphi }$

K2

${\displaystyle {K_{2}}(A)}$es el centro del grupo de Steinberg. Ésta fue la definición de Milnor y también se desprende de definiciones más generales de grupos superiores. ${\displaystyle K}$

También es el núcleo del mapeo . De hecho, existe una secuencia exacta ${\displaystyle \varphi :\operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)}$

${\displaystyle 1\to {K_{2}}(A)\to \operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)\to {K_{1}}(A)\to 1.}$

Equivalentemente, es el multiplicador de Schur del grupo de matrices elementales , por lo que también es un grupo de homología : . ${\displaystyle {K_{2}}(A)={H_{2}}(E(A);\mathbb {Z} )}$

K3

Gersten (1973) demostró que . ${\displaystyle {K_{3}}(A)={H_{3}}(\operatorname {St} (A);\mathbb {Z} )}$

Referencias

• Gersten, SM (1973), " de un anillo es del grupo Steinberg", Actas de la American Mathematical Society , 37 (2), American Mathematical Society: 366–368, doi :10.2307/2039440, JSTOR  2039440 ${\displaystyle K_{3}}$ ${\displaystyle H_{3}}$
• Milnor, John Willard (1971), Introducción a la teoría ${\displaystyle K}$ algebraica , Anales de estudios matemáticos, vol. 72, Princeton University Press , MR  0349811
• Steinberg, Robert (1968), Lectures on Chevalley Groups, Universidad de Yale, New Haven, Connecticut, MR  0466335, archivado desde el original el 10 de septiembre de 2012