Operador de compresión

En física cuántica , el operador de compresión para un solo modo del campo electromagnético es ^[1]

${\displaystyle {\hat {S}}(z)=\exp \left({1 \over 2}(z^{*}{\hat {a}}^{2}-z{\hat {a}}^{\dagger 2})\right),\qquad z=r\,e^{i\theta }}$

donde los operadores dentro de la exponencial son los operadores de escalera . Es un operador unitario y por lo tanto obedece a , donde es el operador identidad. ${\displaystyle S(\zeta )S^{\dagger }(\zeta )=S^{\dagger }(\zeta )S(\zeta )={\hat {1}}}$ ${\displaystyle {\hat {1}}}$

Su acción sobre los operadores de aniquilación y creación produce

${\displaystyle {\hat {S}}^{\dagger }(z){\hat {a}}{\hat {S}}(z)={\hat {a}}\cosh r-e^{i\theta }{\hat {a}}^{\dagger }\sinh r\qquad {\text{and}}\qquad {\hat {S}}^{\dagger }(z){\hat {a}}^{\dagger }{\hat {S}}(z)={\hat {a}}^{\dagger }\cosh r-e^{-i\theta }{\hat {a}}\sinh r}$

El operador de compresión es omnipresente en la óptica cuántica y puede operar en cualquier estado. Por ejemplo, al actuar sobre el vacío, el operador de compresión produce el estado de vacío comprimido.

El operador de compresión también puede actuar sobre estados coherentes y producir estados coherentes comprimidos . El operador de compresión no conmuta con el operador de desplazamiento :

${\displaystyle {\hat {S}}(z){\hat {D}}(\alpha )\neq {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(z),}$

Tampoco conmuta con los operadores de escalera, por lo que hay que prestar mucha atención a cómo se utilizan los operadores. Sin embargo, existe una relación de trenzado simple, ^[2] ${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(z)={\hat {S}}(z){\hat {S}}^{\dagger }(z){\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(z)={\hat {S}}(z){\hat {D}}(\gamma ),\qquad {\text{where}}\qquad \gamma =\alpha \cosh r+\alpha ^{*}e^{i\theta }\sinh r}$

La aplicación de ambos operadores anteriores en el vacío produce un estado comprimido desplazado:

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(r)|0\rangle =|r,\alpha \rangle }$.

O Estado coherente comprimido :

${\displaystyle {\hat {S}}(r){\hat {D}}(\alpha )|0\rangle =|\alpha ,r\rangle }$.

Derivación de la acción sobre el operador de creación

Como se mencionó anteriormente, la acción del operador de compresión sobre el operador de aniquilación se puede escribir como Para derivar esta igualdad, definamos el operador (heterohermítico) , de modo que . ${\displaystyle S(z)}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle S^{\dagger }(z)aS(z)=\cosh(|z|)a-{\frac {z}{|z|}}\sinh(|z|)a^{\dagger }.}$$ ${\displaystyle A\equiv (za^{\dagger 2}-z^{*}a^{2})/2}$ ${\displaystyle S^{\dagger }=e^{A}}$

El lado izquierdo de la igualdad es entonces . Ahora podemos hacer uso de la igualdad general que es válida para cualquier par de operadores y . Calcular así se reduce al problema de calcular los conmutadores repetidos entre y . Como se puede verificar fácilmente, tenemos Usando estas igualdades, obtenemos ${\displaystyle e^{A}ae^{-A}}$ $${\displaystyle e^{A}Be^{-A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}[\underbrace {A,[A,\dots ,[A} _{k\,{\text{times}}},B]\dots ]],}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle e^{A}ae^{-A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle [A,a]={\frac {1}{2}}[za^{\dagger 2}-z^{*}a^{2},a]={\frac {z}{2}}[a^{\dagger 2},a]=-za^{\dagger },}$$ $${\displaystyle [A,a^{\dagger }]={\frac {1}{2}}[za^{\dagger 2}-z^{*}a^{2},a^{\dagger }]=-{\frac {z^{*}}{2}}[a^{2},a^{\dagger }]=-z^{*}a.}$$

${\displaystyle [\underbrace {A,[A,\dots ,[A} _{k},a]\dots ]]={\begin{cases}|z|^{k}a,&{\text{ for }}k{\text{ even}},\\-z|z|^{k-1}a^{\dagger },&{\text{ for }}k{\text{ odd}}.\end{cases}}}$

para que finalmente consigamos

${\displaystyle e^{A}ae^{-A}=a\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|z|^{2k}}{(2k)!}}-a^{\dagger }{\frac {z}{|z|}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|z|^{2k+1}}{(2k+1)!}}=a\cosh |z|-a^{\dagger }e^{i\theta }\sinh |z|.}$

Véase también

• Estado coherente comprimido

Referencias

1. Gerry, CC y Knight, PL (2005). Introducción a la óptica cuántica. Cambridge University Press. pág. 182. ISBN 978-0-521-52735-4.
2. MM Nieto y D. Truax (1995), Nieto, Michael Martin; Truax, D. Rodney (1997). "Transformaciones de Holstein-Primakoff/Bogoliubov y el sistema multibosónico". Fortschritte der Physik/Progress of Physics . 45 (2): 145–156. arXiv : quant-ph/9506025 . doi :10.1002/prop.2190450204. S2CID  14213781.Ecuación (15). Nótese que en esta referencia, la definición del operador de compresión (ecuación 12) difiere por un signo menos dentro de la exponencial, por lo tanto, la expresión de se modifica en consecuencia ( ). ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \theta \rightarrow \theta +\pi }$