Principio de división

En matemáticas , el principio de división es una técnica utilizada para reducir las cuestiones sobre fibrados vectoriales al caso de fibrados lineales .

En la teoría de fibrados vectoriales, a menudo se desea simplificar los cálculos, por ejemplo, de las clases de Chern . A menudo, los cálculos se entienden bien para fibrados lineales y para sumas directas de fibrados lineales. En este caso, el principio de división puede ser bastante útil.

Teorema  —  Sea un fibrado vectorial de rango sobre un espacio paracompacto . Existe un espacio , llamado fibrado bandera asociado a , y una función tal que ${\displaystyle \xi \colon E\rightarrow X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y=Fl(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p\colon Y\rightarrow X}$

1. El homomorfismo de cohomología inducida es inyectivo, y ${\displaystyle p^{*}\colon H^{*}(X)\rightarrow H^{*}(Y)}$
2. El paquete de retroceso se descompone como una suma directa de paquetes de líneas: ${\displaystyle p^{*}\xi \colon p^{*}E\rightarrow Y}$ ${\displaystyle p^{*}(E)=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{n}.}$

El teorema anterior es válido para fibrados vectoriales complejos y coeficientes enteros o para fibrados vectoriales reales con coeficientes. En el caso complejo, los fibrados lineales o sus primeras clases características se denominan raíces de Chern. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle L_{i}}$

El hecho de que sea inyectiva significa que cualquier ecuación que se cumpla en (digamos entre varias clases de Chern) también se cumple en . ${\displaystyle p^{*}\colon H^{*}(X)\rightarrow H^{*}(Y)}$ ${\displaystyle H^{*}(Y)}$ ${\displaystyle H^{*}(X)}$

La cuestión es que estas ecuaciones son más fáciles de entender para sumas directas de fibrados de líneas que para fibrados de vectores arbitrarios, por lo que las ecuaciones deben entenderse en y luego llevarse a . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Dado que los fibrados vectoriales se utilizan para definir el grupo de la teoría K , es importante tener en cuenta que también es inyectivo para el mapa en el teorema anterior. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle p^{*}\colon K(X)\rightarrow K(Y)}$ ${\displaystyle p}$

El principio de desdoblamiento admite muchas variantes. Las siguientes se refieren en particular a los fibrados vectoriales reales y a sus complejizaciones : ^[2]

Teorema  —  Sea un fibrado vectorial real de rango sobre un espacio paracompacto . Existe un espacio y una función tales que ${\displaystyle \xi \colon E\rightarrow X}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p\colon Y\rightarrow X}$

1. El homomorfismo de cohomología inducida es inyectivo, y ${\displaystyle p^{*}\colon H^{*}(X)\rightarrow H^{*}(Y)}$
2. El fibrado de retroceso se descompone como una suma directa de fibrados de líneas y sus conjugados: ${\displaystyle p^{*}\xi \colon p^{*}E\rightarrow Y}$ ${\displaystyle p^{*}(E\otimes \mathbb {C} )=L_{1}\oplus {\overline {L_{1}}}\oplus \cdots \oplus L_{n}\oplus {\overline {L_{n}}}.}$

Polinomio simétrico

Según el principio de división, las clases características de los fibrados vectoriales complejos corresponden a polinomios simétricos en las primeras clases de Chern de los fibrados lineales complejos; estas son las clases de Chern .

Véase también

• Teoría K
• Principio de división de Grothendieck para fibrados vectoriales holomorfos en la línea proyectiva compleja

Referencias

1. Oscar Randal-Williams, Clases características y teoría K, Corolario 4.3.4, https://www.dpmms.cam.ac.uk/~or257/teaching/notes/Kthy.pdf
2. H. Blane Lawson y Marie-Louise Michelsohn, Spin Geometry , Proposición 11.2.

• Hatcher, Allen (2003), Paquetes vectoriales y teoría K (2.0 ed.)Sección 3.1
• Raoul Bott y Loring Tu. Formas diferenciales en topología algebraica , sección 21.