Medida de riesgo espectral

Una medida de riesgo espectral es una medida de riesgo dada como un promedio ponderado de resultados donde los malos resultados se incluyen, típicamente, con pesos mayores. Una medida de riesgo espectral es una función de los retornos de la cartera y da como resultado la cantidad del numerario (típicamente una moneda ) que se debe mantener en reserva. Una medida de riesgo espectral es siempre una medida de riesgo coherente , pero lo inverso no siempre se cumple. Una ventaja de las medidas espectrales es la forma en que pueden relacionarse con la aversión al riesgo , y particularmente con una función de utilidad , a través de los pesos dados a los posibles retornos de la cartera. ^[1]

Definición

Consideremos una cartera (que denota el resultado de la cartera). Luego, una medida de riesgo espectral donde es una función integrable, continua hacia la derecha , no negativa y no creciente definida en tal que se define por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{\phi }:{\mathcal {L}}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}\phi (p)dp=1}$

${\displaystyle M_{\phi }(X)=-\int _{0}^{1}\phi (p)F_{X}^{-1}(p)dp}$

donde es la función de distribución acumulativa para X . ^{[2] [3]} ${\displaystyle F_{X}}$

Si hay resultados equiprobables con los pagos correspondientes dados por las estadísticas de orden . Sea . La medida definida por es una medida espectral del riesgo si satisface las condiciones ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X_{1:S},...X_{S:S}}$ ${\displaystyle \phi \in \mathbb {R} ^{S}}$ ${\displaystyle M_{\phi }:\mathbb {R} ^{S}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M_{\phi }(X)=-\delta \sum _{s=1}^{S}\phi _{s}X_{s:S}}$ ${\displaystyle \phi \in \mathbb {R} ^{S}}$

1. No negatividad: para todos , ${\displaystyle \phi _{s}\geq 0}$ ${\displaystyle s=1,\dots ,S}$
2. Normalización: , ${\displaystyle \sum _{s=1}^{S}\phi _{s}=1}$
3. Monotonía: no es creciente, es decir si y . ^[4] ${\displaystyle \phi _{s}}$ ${\displaystyle \phi _{s_{1}}\geq \phi _{s_{2}}}$ ${\displaystyle {s_{1}}<{s_{2}}}$ ${\displaystyle {s_{1}},{s_{2}}\in \{1,\dots ,S\}}$

Propiedades

Las medidas de riesgo espectral también son coherentes . Toda medida de riesgo espectral satisface: ${\displaystyle \rho :{\mathcal {L}}\to \mathbb {R} }$

1. Homogeneidad positiva: para cada cartera X y valor positivo , ; ${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \rho (\lambda X)=\lambda \rho (X)}$
2. Invariancia de traducción: para cada cartera X y , ; ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \rho (X+a)=\rho (X)-a}$
3. Monotonía: para todas las carteras X e Y tales que , ; ${\displaystyle X\geq Y}$ ${\displaystyle \rho (X)\leq \rho (Y)}$
4. Subaditividad: para todas las carteras X e Y , ; ${\displaystyle \rho (X+Y)\leq \rho (X)+\rho (Y)}$
5. Invariancia de ley: para todas las carteras X e Y con funciones de distribución acumulativa y respectivamente, si entonces ; ${\displaystyle F_{X}}$ ${\displaystyle F_{Y}}$ ${\displaystyle F_{X}=F_{Y}}$ ${\displaystyle \rho (X)=\rho (Y)}$
6. Aditividad comonotónica: para cada variable aleatoria comonotónica X e Y , . Nótese que X e Y son comonotónicas si para cada . ^[2] ${\displaystyle \rho (X+Y)=\rho (X)+\rho (Y)}$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \Omega :\;(X(\omega _{2})-X(\omega _{1}))(Y(\omega _{2})-Y(\omega _{1}))\geq 0}$

En algunos textos ^{[ ¿cuáles? ]} la entrada X se interpreta como pérdidas en lugar de como ganancias de una cartera. En este caso, la propiedad de invariancia de la traducción vendría dada por , y la propiedad de monotonía por en lugar de lo anterior. ${\displaystyle \rho (X+a)=\rho (X)+a}$ ${\displaystyle X\geq Y\implies \rho (X)\geq \rho (Y)}$

Ejemplos

• El déficit esperado es una medida espectral del riesgo.
• El valor esperado es trivialmente una medida espectral del riesgo.

Véase también

• Medida del riesgo de distorsión

Referencias

1. Cotter, John; Dowd, Kevin (diciembre de 2006). "Medidas de riesgo espectral extremo: una aplicación a los requisitos de margen de las cámaras de compensación de futuros". Journal of Banking & Finance . 30 (12): 3469–3485. arXiv : 1103.5653 . doi :10.1016/j.jbankfin.2006.01.008.
2. Adam, Alexandre; Houkari, Mohamed; Laurent, Jean-Paul (2007). "Medidas de riesgo espectral y selección de cartera" (PDF) . Consultado el 11 de octubre de 2011 . {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
3. Dowd, Kevin; Cotter, John; Sorwar, Ghulam (2008). "Medidas de riesgo espectral: propiedades y limitaciones" (PDF) . Serie de documentos de debate de CRIS (2) . Consultado el 13 de octubre de 2011 .
4. Acerbi, Carlo (2002), "Medidas espectrales del riesgo: una representación coherente de la aversión subjetiva al riesgo", Journal of Banking and Finance , vol. 26, núm. 7, Elsevier , pp. 1505–1518, CiteSeerX 10.1.1.458.6645 , doi :10.1016/S0378-4266(02)00281-9