Espacio Souček

En matemáticas , los espacios de Souček son generalizaciones de los espacios de Sobolev , llamados así por el matemático checo Jiří Souček. Una de sus principales ventajas es que ofrecen una forma de lidiar con el hecho de que el espacio de Sobolev W ^1,1 no es un espacio reflexivo ; dado que W ^1,1 no es reflexivo, no siempre es cierto que una secuencia acotada tenga una subsecuencia débilmente convergente , lo cual es un desiderátum en muchas aplicaciones.

Definición

Sea Ω un dominio acotado en un espacio euclidiano n -dimensional con borde liso . El espacio de Souček W ^{1, μ} (Ω;  R ^m ) se define como el espacio de todos los pares ordenados ( u ,  v ), donde

• u se encuentra en el espacio de Lebesgue L ¹ (Ω;  R ^m );
• v (considerado como el gradiente de u ) es una medida de Borel regular en el cierre de Ω;
• existe una secuencia de funciones u _k en el espacio de Sobolev W ^1,1 (Ω;  R ^m ) tal que

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }u_{k}=u{\mbox{ in }}L^{1}(\Omega ;\mathbf {R} ^{m})}$

y

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\nabla u_{k}=v}$

débilmente-∗ en el espacio de todas las medidas de Borel regulares con valores R ^{m × n} en el cierre de Ω.

Propiedades

• El espacio de Souček W ^{1, μ} (Ω;  R ^m ) es un espacio de Banach cuando está equipado con la norma dada por

${\displaystyle \|(u,v)\|:=\|u\|_{L^{1}}+\|v\|_{M},}$

es decir, la suma de las normas de variación L ¹ y total de los dos componentes.

Referencias

• Souček, Jiří (1972). "Espacios de funciones en el dominio Ω, cuyas k-ésimas derivadas son medidas definidas en Ω̅". Časopis Pěst. Estera . 97 : 10–46, 94. doi : 10.21136/CPM.1972.117746 . ISSN  0528-2195. Señor 0313798