Soporte de Rankin-Cohen

En matemáticas, el corchete de Rankin-Cohen de dos formas modulares es otra forma modular que generaliza el producto de dos formas modulares. Rankin  (1956, 1957) dio algunas condiciones generales para que los polinomios en derivadas de formas modulares sean formas modulares, y Cohen  (1975) encontró los ejemplos explícitos de tales polinomios que dan corchetes de Rankin-Cohen. Fueron nombrados por Zagier (1994), quien introdujo las álgebras de Rankin-Cohen como un contexto abstracto para los corchetes de Rankin-Cohen.

Definición

Si y son formas modulares de peso k y h respectivamente, entonces su n- ésimo corchete de Rankin-Cohen [ f , g ] _n está dado por ${\displaystyle f(\tau )}$ ${\displaystyle g(\tau )}$

${\displaystyle [f,g]_{n}={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{r+s=n}(-1)^{r}{\binom {k+n-1}{s}}{\binom {h+n-1}{r}}{\frac {\mathrm {d} ^{r}f}{\mathrm {d} \tau ^{r}}}{\frac {\mathrm {d} ^{s}g}{\mathrm {d} \tau ^{s}}}\ .}$

Es una forma modular del peso  k  +  h  + 2 n . Nótese que el factor de está incluido de modo que los coeficientes de expansión q de son racionales si los de y son. y son las derivadas estándar , a diferencia de la derivada con respecto al cuadrado del nomo que a veces también se utiliza. ${\displaystyle (2\pi i)^{n}}$ ${\displaystyle [f,g]_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d^{r}f/d\tau ^{r}}$ ${\displaystyle d^{s}g/d\tau ^{s}}$

Teoría de la representación

La misteriosa fórmula para el corchete de Rankin-Cohen se puede explicar en términos de la teoría de la representación . Las formas modulares se pueden considerar como vectores de menor peso para representaciones de series discretas de SL ₂ ( R ) en un espacio de funciones en SL ₂ ( R )/SL ₂ ( Z ). El producto tensorial de dos representaciones de menor peso correspondientes a las formas modulares f y g se divide como una suma directa de representaciones de menor peso indexadas por números enteros no negativos n , y un cálculo breve muestra que los vectores de menor peso correspondientes son los corchetes de Rankin-Cohen [ f , g ] _n .

Anillos de formas modulares

El primer corchete de Rankin-Cohen es el corchete de Lie cuando se considera un anillo de formas modulares como un álgebra de Lie .

Referencias

• Cohen, Henri (1975), "Sumas que involucran los valores de números enteros negativos de funciones L de caracteres cuadráticos", Math. Ann. , 217 (3): 271–285, doi :10.1007/BF01436180, MR  0382192, Zbl  0311.10030
• Rankin, RA (1956), "La construcción de formas automorfas a partir de las derivadas de una forma dada", J. Indian Math. Soc. , New Series, 20 : 103–116, MR  0082563, Zbl  0072.08601
• Rankin, RA (1957), "La construcción de formas automorfas a partir de las derivadas de formas dadas", Michigan Math. J. , 4 : 181–186, doi : 10.1307/mmj/1028989013 , MR  0092870
• Zagier, Don (1994), "Formas modulares y operadores diferenciales", Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci. , número conmemorativo de KG Ramanathan, 104 (1): 57–75, doi : 10.1007/BF02830874 , MR  1280058, Zbl  0806.11022