La ecuación de convección-difusión describe el flujo de calor, partículas u otras magnitudes físicas en situaciones en las que hay difusión y convección o advección . Para obtener información sobre la ecuación, su derivación y su importancia conceptual y consecuencias, consulte el artículo principal ecuación de convección-difusión . Este artículo describe cómo utilizar una computadora para calcular una solución numérica aproximada de la ecuación discretizada, en una situación dependiente del tiempo.
Para ser más concretos, este artículo se centra en el flujo de calor , un ejemplo importante en el que se aplica la ecuación de convección-difusión. Sin embargo, el mismo análisis matemático funciona igualmente bien en otras situaciones, como el flujo de partículas.
Se necesita una formulación general de elementos finitos discontinuos. [1] Se considera el problema de convección-difusión no estacionaria; primero, la temperatura conocida T se expande en una serie de Taylor con respecto al tiempo, teniendo en cuenta sus tres componentes. A continuación, utilizando la ecuación de convección-difusión, se obtiene una ecuación a partir de la diferenciación de esta ecuación.
Aquí se considera la siguiente ecuación de difusión por convección [2]
En la ecuación anterior, cuatro términos representan transitoriedad , convección , difusión y un término fuente respectivamente, donde
La ecuación anterior se puede escribir en la forma
donde a = la/cρ es el coeficiente de difusión.
Se puede aproximar una solución de la ecuación de convección-difusión transitoria a través de un enfoque de diferencias finitas , conocido como método de diferencias finitas (FDM).
Se ha considerado un esquema explícito de FDM y se han formulado criterios de estabilidad. En este esquema, la temperatura depende totalmente de la temperatura anterior (las condiciones iniciales) y de θ , un parámetro de ponderación entre 0 y 1. La sustitución de θ = 0 da la discretización explícita de la ecuación de transferencia de calor conductiva no estacionaria.
dónde
Estas desigualdades establecen un límite máximo estricto para el tamaño del paso de tiempo y representan una limitación importante para el esquema explícito. Este método no se recomienda para problemas transitorios generales porque el paso de tiempo máximo posible debe reducirse al cuadrado de h .
En el esquema implícito, la temperatura depende del nuevo nivel de tiempo t + Δ t . Después de utilizar el esquema implícito, se encontró que todos los coeficientes son positivos. Esto hace que el esquema implícito sea incondicionalmente estable para cualquier tamaño de paso de tiempo. Este esquema es el preferido para cálculos transitorios de propósito general debido a su robustez y estabilidad incondicional. [3] La desventaja de este método es que se involucran más procedimientos y debido a un Δ t mayor , el error de truncamiento también es mayor.
En el método de Crank-Nicolson , la temperatura depende por igual de t y t + Δ t . Es un método de segundo orden en el tiempo y este método se utiliza generalmente en problemas de difusión .
Esta limitación de paso de tiempo es menos restringida que la del método explícito . El método de Crank-Nicolson se basa en la diferenciación central y, por lo tanto, tiene una precisión de segundo orden en el tiempo. [4]
A diferencia de la ecuación de conducción (se utiliza una solución de elementos finitos), una solución numérica para la ecuación de convección-difusión tiene que lidiar con la parte de convección de la ecuación gobernante además de la difusión. Cuando el número de Péclet (Pe) excede un valor crítico, las oscilaciones espurias resultan en el espacio y este problema no es exclusivo de los elementos finitos ya que todas las demás técnicas de discretización tienen las mismas dificultades. En una formulación de diferencias finitas, las oscilaciones espaciales se reducen mediante una familia de esquemas de discretización como el esquema upwind . [5] En este método, la función de forma básica se modifica para obtener el efecto upwinding. Este método es una extensión del discontinuo de Runge-Kutta para una ecuación de convección-difusión. Para ecuaciones dependientes del tiempo, se sigue un tipo diferente de enfoque. El esquema de diferencias finitas tiene un equivalente en el método de elementos finitos ( método de Galerkin ). Otro método similar es el método característico de Galerkin (que utiliza un algoritmo implícito). Para las variables escalares, los dos métodos anteriores son idénticos.
![{\displaystyle c\rho \left[{\frac {\parcial T(x,t)}{\parcial t}}+\epsilon u{\frac {\parcial T(x,t)}{\parcial x}}\right]=\lambda {\frac {\parcial ^{2}T(x,t)}{\parcial x^{2}}}+Q(x,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5e59b71b566ee05d5c2dcec53f28625a66c1c2)
