Flujo de Taylor-Maccoll

Flujo detrás de una onda de choque cónica

El flujo de Taylor-Maccoll se refiere al flujo constante detrás de una onda de choque cónica que está unida a un cono sólido. El flujo recibe su nombre de GI Taylor y JW Maccoll, quienes lo describieron en 1933, guiados por un trabajo anterior de Theodore von Kármán . ^{[1] [2] [3]}

Descripción matemática

Sistema de coordenadas, donde la línea de puntos representa el choque cónico.

Consideremos un flujo supersónico constante que pasa por un cono sólido que tiene un ángulo semivertical . En esta situación, se puede formar una onda de choque cónica, con el vértice de la onda de choque en el vértice del cono sólido. Si fuera un problema bidimensional, es decir, para un flujo supersónico que pasa por una cuña, entonces la corriente entrante se habría desviado a través de un ángulo al cruzar la onda de choque, de modo que las líneas de corriente detrás de la onda de choque serían paralelas a los lados de la cuña. Una rotación tan simple de las líneas de corriente no es posible para el caso tridimensional. Después de pasar por la onda de choque, las líneas de corriente se curvan y solo asintóticamente se aproximan a los generadores del cono. La curvatura de las líneas de corriente va acompañada de un aumento gradual de la densidad y una disminución de la velocidad, además de los incrementos/decrementos efectuados en la onda de choque. ^[4] ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi }$

La dirección y magnitud de la velocidad inmediatamente detrás de la onda de choque oblicua está dada por la rama débil de la polar de choque . Esto sugiere en particular que para cada valor del número de Mach entrante , existe un valor máximo de más allá del cual la polar de choque no proporciona solución bajo en cuyo caso la onda de choque cónica se habrá separado de la superficie sólida (ver reflexión de Mach ). Estos casos separados no se consideran aquí. El flujo inmediatamente detrás de la onda de choque cónica oblicua es típicamente supersónico, aunque sin embargo cuando está cerca de , puede ser subsónico. El flujo supersónico detrás de la onda de choque se volverá subsónico a medida que evolucione corriente abajo. ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle \chi _{\mathrm {max} }}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi _{\mathrm {max} }}$

Como todas las líneas de corriente incidentes intersecan la onda de choque cónica en el mismo ángulo, la intensidad de la onda de choque es constante. Esto significa en particular que el salto de entropía a través de la onda de choque también es constante en todo momento. En este caso, el flujo detrás de la onda de choque es un flujo potencial . ^[4] Por lo tanto, podemos introducir el potencial de velocidad de manera que . Como el problema no tiene ninguna escala de longitud y es claramente axisimétrico, el campo de velocidad y el campo de presión se convertirán en funciones del ángulo polar únicamente (el origen de las coordenadas esféricas se considera ubicado en el vértice). Esto significa que tenemos ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$

${\displaystyle \varphi =rf(\theta ),\quad v_{r}=f(\theta ),\quad v_{\theta }=f'(\theta ),\quad v_{\phi }=0,\quad p=g(\theta ).}$

El flujo potencial constante está regido por la ecuación ^[4]

${\displaystyle c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =0,}$

donde la velocidad del sonido se expresa únicamente como función de la magnitud de la velocidad . Sustituyendo la forma supuesta anteriormente para el campo de velocidad en la ecuación que rige, obtenemos la ecuación general de Taylor-Maccoll ${\displaystyle c=c(v)}$ ${\displaystyle v^{2}=(\nabla \phi )^{2}}$

${\displaystyle (c^{2}-f'^{2})f''+c^{2}\cot \theta f'+(2c^{2}-f'^{2})f=0,\quad c=c(f^{2}+f'^{2}).}$

La ecuación se simplifica enormemente para un gas politrópico para el cual , ^[4] es decir, ${\displaystyle c^{2}=(\gamma -1)(h_{0}-v^{2}/2)}$

${\displaystyle c^{2}=(\gamma -1)h_{0}\left(1-{\frac {f^{2}+f'^{2}}{2h_{0}}}\right),}$

donde es la razón de calor específico y es la entalpía de estancamiento . Introduciendo esta fórmula en la ecuación general de Taylor-Maccoll e introduciendo una función adimensional , donde (la velocidad del flujo potencial cuando fluye hacia el vacío), obtenemos, para el gas politrópico, la ecuación de Taylor-Maccoll , ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle F(\theta )=f(\theta )/v_{\mathrm {max} }}$ ${\displaystyle v_{\mathrm {max} }={\sqrt {2h_{0}}}}$

${\displaystyle \left[{\frac {\gamma +1}{2}}F'^{2}-{\frac {\gamma -1}{2}}(1-F^{2})\right]F''=(\gamma -1)(1-F^{2})F+{\frac {\gamma -1}{2}}\cot \theta (1-F^{2})F'-\gamma FF'^{2}-{\frac {\gamma -1}{2}}\cot \theta F'^{3}.}$

La ecuación debe satisfacer la condición de que (no hay penetración en la superficie sólida) y también debe corresponder a las condiciones detrás de la onda de choque en , donde es el semiángulo del cono de choque, que debe determinarse como parte de la solución para un número de Mach de flujo entrante dado y . La ecuación de Taylor-Maccoll no tiene una solución explícita conocida y está integrada numéricamente. ${\displaystyle F'(\chi )=0}$ ${\displaystyle \chi =\psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma }$

Solución de Kármán-Moore

Cuando el ángulo del cono es muy pequeño, el flujo es casi paralelo en todas partes, en cuyo caso se puede encontrar una solución exacta, como lo demostraron Theodore von Kármán y Norton B. Moore en 1932. ^[2] La solución es más evidente en las coordenadas cilíndricas ( aquí es la distancia radial desde el eje y no la densidad). Si es la velocidad del flujo entrante, entonces escribimos , donde es una pequeña corrección y satisface ${\displaystyle (\rho ,\varpi ,z)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \varphi =Uz+\phi }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial \phi }{\partial \rho }}\right)-\beta ^{2}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0,\quad \beta ^{2}=M^{2}-1}$

donde es el número de Mach del flujo entrante. Esperamos que los componentes de velocidad dependan solo de , es decir, en coordenadas cilíndricas, lo que significa que debemos tener , donde es una coordenada autosimilar. La ecuación gobernante se reduce a ${\displaystyle M=U/c_{\infty }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \rho /z=\tan \theta }$ ${\displaystyle \phi =zg(\xi )}$ ${\displaystyle \xi =\rho /z}$

${\displaystyle \xi (1-\beta ^{2}\xi ^{2})g''+g'=0.}$

En la superficie del cono , debemos tener y en consecuencia . ${\displaystyle \xi =\tan \chi \approx \chi }$ ${\displaystyle v_{\rho }/v_{z}=(\partial \phi /\partial \rho )/(U+\partial \phi /\partial z)\approx (1/U)\partial \phi /\partial \rho =\chi }$ ${\displaystyle g'=U\chi }$

En la aproximación de ángulo pequeño, el cono de choque débil está dado por . La solución trivial para describe el flujo uniforme aguas arriba del cono de choque, mientras que la solución no trivial que satisface la condición de contorno en la superficie sólida detrás de la onda de choque está dada por ${\displaystyle z=\beta \rho }$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(\xi )=U\chi ^{2}\left({\sqrt {1-\beta ^{2}\xi ^{2}}}-\cosh ^{-1}{\frac {1}{\beta \xi }}\right).}$

Por lo tanto tenemos ^[4]

${\displaystyle \varphi =Uz+U\chi ^{2}\left({\sqrt {z^{2}-\beta ^{2}\rho ^{2}}}-z\cosh ^{-1}{\frac {z}{\beta \rho }}\right)}$

exhibiendo una singularidad logarítmica como Los componentes de velocidad están dados por ${\displaystyle \rho \to 0.}$

${\displaystyle v_{z}=U-U\chi ^{2}\cosh ^{-1}{\frac {z}{\beta \rho }},\quad v_{\rho }={\frac {U\chi ^{2}}{\rho }}{\sqrt {z^{2}-\beta ^{2}\rho ^{2}}}.}$

Se descubre que la presión sobre la superficie del cono es (en esta fórmula, es la densidad del gas entrante). ${\displaystyle p_{s}}$ ${\displaystyle p_{s}-p_{\infty }=\rho _{\infty }U^{2}\chi ^{2}[\ln(2/\beta \chi )-1/2]}$ ${\displaystyle \rho _{\infty }}$

Véase también

• Teoría de Kármán-Moore

Referencias

1. Taylor, GI y Maccoll, JW (1933). Presión del aire sobre un cono que se mueve a gran velocidad.—I. Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático y físico, 139(838), 278-297.
2. Von Karman, T., y Moore, NB (1932). Resistencia de cuerpos delgados que se mueven a velocidades supersónicas, con especial referencia a los proyectiles. Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, 54(2), 303-310.
3. Maccoll, JW (1937). Onda de choque cónica formada por un cono que se mueve a gran velocidad. Actas de la Royal Society de Londres. Serie A-Ciencias matemáticas y físicas, 159(898), 459-472.
4. Landau, LD y Lifshitz, EM (2013). Mecánica de fluidos: Landau y Lifshitz: curso de física teórica, volumen 6 (Vol. 6). Elsevier. Sección 123. Páginas 432-434.