Partición sólida

En matemáticas, las particiones sólidas son generalizaciones naturales de las particiones enteras y las particiones planas definidas por Percy Alexander MacMahon . ^[1] Una partición sólida de es una matriz tridimensional de números enteros no negativos (con índices ) tales que ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n_{i,j,k}}$ ${\displaystyle i,j,k\geq 1}$

${\displaystyle \sum _{i,j,k}n_{i,j,k}=n}$

y

${\displaystyle n_{i+1,j,k}\leq n_{i,j,k},\quad n_{i,j+1,k}\leq n_{i,j,k}\quad {\text{and}}\quad n_{i,j,k+1}\leq n_{i,j,k}}$a pesar de ${\displaystyle i,j{\text{ and }}k.}$

Sea α el número de particiones sólidas de . Como la definición de particiones sólidas implica matrices tridimensionales de números, también se las llama particiones tridimensionales en la notación, donde las particiones planas son particiones bidimensionales y las particiones son particiones unidimensionales. Las particiones sólidas y sus generalizaciones de dimensiones superiores se analizan en el libro de Andrews . ^[2] ${\displaystyle p_{3}(n)}$ ${\displaystyle n}$

Diagramas de Ferrers para particiones sólidas

Otra representación de particiones sólidas es en forma de diagramas de Ferrers . El diagrama de Ferrers de una partición sólida de es una colección de puntos o nodos , , con que satisface la condición: ^[3] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda =(\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\ldots ,\mathbf {y} _{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {y} _{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}^{4}}$

Condición FD: Si el nodo , entonces también lo hacen todos los nodos con para todos los . ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})\in \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})}$ ${\displaystyle 0\leq y_{i}\leq a_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2,3,4}$

Por ejemplo, el diagrama de Ferrers

${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0\\0\\0\\0\end{smallmatrix}}{\begin{smallmatrix}0\\0\\1\\0\end{smallmatrix}}{\begin{smallmatrix}0\\1\\0\\0\end{smallmatrix}}{\begin{smallmatrix}1\\0\\0\\0\end{smallmatrix}}{\begin{smallmatrix}1\\1\\0\\0\end{smallmatrix}}\right)\ ,}$

donde cada columna es un nodo, representa una partición sólida de . Existe una acción natural del grupo de permutación en un diagrama de Ferrers: esto corresponde a permutar las cuatro coordenadas de todos los nodos. Esto generaliza la operación denotada por conjugación en particiones habituales. ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle S_{4}}$

Equivalencia de las dos representaciones

Dado un diagrama de Ferrers, se construye la partición sólida (como en la definición principal) de la siguiente manera.

Sea el número de nodos en el diagrama de Ferrers con coordenadas de la forma donde denota un valor arbitrario. La colección forma una partición sólida. Se puede verificar que la condición FD implica que se satisfacen las condiciones para una partición sólida. ${\displaystyle n_{i,j,k}}$ ${\displaystyle (i-1,j-1,k-1,*)}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle n_{i,j,k}}$

Dado un conjunto de que forman una partición sólida, se obtiene el diagrama de Ferrers correspondiente como sigue. ${\displaystyle n_{i,j,k}}$

Comience con el diagrama de Ferrers sin nodos. Para cada valor distinto de cero , agregue nodos para al diagrama de Ferrers. Por construcción, es fácil ver que se cumple la condición FD. ${\displaystyle n_{i,j,k}}$ ${\displaystyle n_{i,j,k}}$ ${\displaystyle (i-1,j-1,k-1,y_{4})}$ ${\displaystyle 0\leq y_{4}<n_{i,j,k}}$

Por ejemplo, el diagrama de Ferrers con nodos dado anteriormente corresponde a la partición sólida con ${\displaystyle 5}$

${\displaystyle n_{1,1,1}=n_{2,1,1}=n_{1,2,1}=n_{1,1,2}=n_{2,2,1}=1}$

con todo lo demás desapareciendo. ${\displaystyle n_{i,j,k}}$

Función generadora

Sea . Definamos la función generadora de particiones sólidas, , por ${\displaystyle p_{3}(0)\equiv 1}$ ${\displaystyle P_{3}(q)}$

${\displaystyle P_{3}(q):=\sum _{n=0}^{\infty }p_{3}(n)q^{n}=1+q+4q^{2}+10q^{3}+26q^{4}+59q^{5}+140q^{6}+\cdots .}$

Las funciones generadoras de particiones enteras y particiones planas tienen fórmulas de producto simples, debido a Euler y MacMahon , respectivamente. Sin embargo, una suposición de MacMahon no reproduce correctamente las particiones sólidas de 6. ^[3] Parece que no hay una fórmula simple para la función generadora de particiones sólidas; en particular, no puede haber ninguna fórmula análoga a las fórmulas de producto de Euler y MacMahon. ^[4]

Enumeración exacta mediante ordenadores

Dada la falta de una función generadora explícitamente conocida, las enumeraciones de los números de particiones sólidas para números enteros mayores se han llevado a cabo numéricamente. Hay dos algoritmos que se utilizan para enumerar particiones sólidas y sus generalizaciones de dimensiones superiores. El trabajo de Atkin et al. utilizó un algoritmo debido a Bratley y McKay. ^[5] En 1970, Knuth propuso un algoritmo diferente para enumerar secuencias topológicas que utilizó para evaluar números de particiones sólidas de todos los números enteros . ^[6] Mustonen y Rajesh extendieron la enumeración para todos los números enteros . ^[7] En 2010, S. Balakrishnan propuso una versión paralela del algoritmo de Knuth que se ha utilizado para extender la enumeración a todos los números enteros . ^[8] Se encuentra ${\displaystyle n\leq 28}$ ${\displaystyle n\leq 50}$ ${\displaystyle n\leq 72}$

${\displaystyle p_{3}(72)=3464274974065172792\ ,}$

que es un número de 19 dígitos que ilustra la dificultad de realizar enumeraciones tan exactas.

Comportamiento asintótico

Se conjetura que existe una constante tal que ^{[9] [7] [10]} ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\log p_{3}(n)}{n^{3/4}}}=c.}$$

Referencias

1. PA MacMahon, Combinatory Analysis. Cambridge Univ. Press, Londres y Nueva York, vol. 1, 1915 y vol. 2, 1916; véase vol. 2, pág. 332.
2. GE Andrews, La teoría de particiones , Cambridge University Press, 1998.
3. AOL Atkin, P. Bratley, IG McDonald y JKS McKay, Algunos cálculos para particiones m-dimensionales, Proc. Camb. Phil. Soc., 63 (1967), 1097–1100.
4. Stanley, Richard P. (1999). Combinatoria enumerativa, volumen 2. Cambridge University Press. pág. 402.
5. P. Bratley y JKS McKay, "Algoritmo 313: generador de particiones multidimensionales", Comm. ACM, 10 (número 10, 1967), pág. 666.
6. DE Knuth, "Una nota sobre particiones sólidas", Math. Comp., 24 (1970), 955–961.
7. Ville Mustonen y R. Rajesh, "Estimación numérica del comportamiento asintótico de particiones sólidas de un entero", J. Phys. A: Math. Gen. 36 (2003), n.º 24, 6651.cond-mat/0303607
8. Srivatsan Balakrishnan, Suresh Govindarajan y Naveen S. Prabhakar, "Sobre la asintótica de particiones de dimensiones superiores", J.Phys. A: Math. Gen. 45 (2012) 055001 arXiv:1105.6231.
9. Destainville, N., y Govindarajan, S. (2015). Estimación de la asintótica de particiones sólidas. Journal of Statistical Physics , 158, 950-967
10. DP Bhatia, MA Prasad y D Arora, "Resultados asintóticos para el número de particiones multidimensionales de un animal de red compacto dirigido y entero", J. Phys. A: Math. Gen. 30 (1997) 2281

Enlaces externos

• Secuencia OEIS A000293 (Particiones sólidas (es decir, tridimensionales))
• Proyecto de particiones sólidas del IIT Madrás
• La entrada de Mathworld para particiones sólidas