Función Spt

La función spt (función de partes más pequeñas) es una función de la teoría de números que cuenta la suma del número de partes más pequeñas en cada partición entera de un entero positivo. Está relacionada con la función de partición . ^[1]

Los primeros valores de spt( n ) son:

1, 3, 5, 10, 14, 26, 35, 57, 80, 119, 161, 238, 315, 440, 589 ... (secuencia A092269 en la OEIS )

Ejemplo

Por ejemplo, hay cinco particiones de 4 (con las partes más pequeñas subrayadas):

4

3 + 1

2 + 2

2 + 1 + 1

1 + 1 + 1 + 1

Estas particiones tienen 1, 1, 2, 2 y 4 partes más pequeñas, respectivamente. Por lo tanto, spt(4) = 1 + 1 + 2 + 2 + 4 = 10.

Propiedades

Al igual que la función de partición, spt( n ) tiene una función generadora . Está dada por

${\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {spt} (n)q^{n}={\frac {1}{(q)_{\infty }}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}\prod _{m=1}^{n-1}(1-q^{m})}{1-q^{n}}}}$

dónde . ${\displaystyle (q)_{\infty }=\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})}$

La función está relacionada con una forma modular simulada . Sea la serie de Eisenstein cuasimodular de peso 2 y sea la función eta de Dedekind . Entonces, para , la función ${\displaystyle S(q)}$ ${\displaystyle E_{2}(z)}$ ${\displaystyle \eta (z)}$ ${\displaystyle q=e^{2\pi iz}}$

${\displaystyle {\tilde {S}}(z):=q^{-1/24}S(q)-{\frac {1}{12}}{\frac {E_{2}(z)}{\eta (z)}}}$

es una forma modular simulada de peso 3/2 en el grupo modular completo con sistema multiplicador , donde es el sistema multiplicador para . ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \chi _{\eta }^{-1}}$ ${\displaystyle \chi _{\eta }}$ ${\displaystyle \eta (z)}$

Si bien no se conoce una fórmula cerrada para spt( n ), existen congruencias similares a las de Ramanujan , entre ellas

${\displaystyle \mathrm {spt} (5n+4)\equiv 0\mod (5)}$

${\displaystyle \mathrm {spt} (7n+5)\equiv 0\mod (7)}$

${\displaystyle \mathrm {spt} (13n+6)\equiv 0\mod (13).}$

Referencias

1. Andrews, George E. (1 de noviembre de 2008). "El número de partes más pequeñas en las particiones de n". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 2008 (624): 133–142. doi :10.1515/CRELLE.2008.083. ISSN  1435-5345. S2CID  123142859.