Teoría del cuerpo esbelto

En dinámica de fluidos y electrostática , la teoría de cuerpos esbeltos es una metodología que se puede utilizar para aprovechar la esbeltez de un cuerpo para obtener una aproximación al campo que lo rodea y/o el efecto neto del campo sobre el cuerpo. Las principales aplicaciones son en el flujo de Stokes (a números de Reynolds muy bajos ) y en electrostática .

Teoría del flujo de Stokes

Consideremos un cuerpo delgado de longitud y diámetro típico con , rodeado por un fluido de viscosidad cuyo movimiento está regido por las ecuaciones de Stokes . Nótese que la paradoja de Stokes implica que el límite de la relación de aspecto infinita es singular, ya que no puede existir flujo de Stokes alrededor de un cilindro infinito. ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle \ell \gg a}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \ell /a\rightarrow \infty }$

La teoría del cuerpo delgado nos permite derivar una relación aproximada entre la velocidad del cuerpo en cada punto a lo largo de su longitud y la fuerza por unidad de longitud experimentada por el cuerpo en ese punto.

Sea el eje del cuerpo descrito por , donde es una coordenada de longitud de arco y es el tiempo. En virtud de la esbeltez del cuerpo, la fuerza ejercida sobre el fluido en la superficie del cuerpo puede aproximarse mediante una distribución de Stokeslets a lo largo del eje con densidad de fuerza por unidad de longitud. se supone que varía solo en longitudes mucho mayores que , y la velocidad del fluido en la superficie adyacente a se aproxima bien mediante . ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}(s,t)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}(s)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}(s,t)}$ ${\displaystyle \partial {\boldsymbol {X}}/\partial t}$

La velocidad del fluido en un punto general debido a dicha distribución se puede escribir en términos de una integral del tensor de Oseen (llamado así por Carl Wilhelm Oseen ), que actúa como una función de Greens para un solo Stokeslet. Tenemos ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=\int _{0}^{\ell }{\frac {{\boldsymbol {f}}(s)}{8\pi \mu }}\cdot \left({\frac {\mathbf {I} }{|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}}|}}+{\frac {({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}})}{|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}}|^{3}}}\right)\,\mathrm {d} s}$

¿Dónde está el tensor identidad? ${\displaystyle \mathbf {I} }$

El análisis asintótico puede entonces utilizarse para demostrar que la contribución de orden principal a la integral para un punto en la superficie del cuerpo adyacente a la posición proviene de la distribución de fuerza en . Como , aproximamos . Entonces obtenemos ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle |s-s_{0}|=O(a)}$ ${\displaystyle a\ll \ell }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}(s)\approx {\boldsymbol {f}}(s_{0})}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {X}}}{\partial t}}\sim {\frac {\ln(\ell /a)}{4\pi \mu }}{\boldsymbol {f}}(s)\cdot {\Bigl (}\mathbf {I} +{\boldsymbol {X}}'{\boldsymbol {X}}'{\Bigr )}}$

dónde . ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}'=\partial {\boldsymbol {X}}/\partial s}$

La expresión puede invertirse para dar la densidad de fuerza en términos del movimiento del cuerpo:

${\displaystyle {\boldsymbol {f}}(s)\sim {\frac {4\pi \mu }{\ln(\ell /a)}}{\frac {\partial {\boldsymbol {X}}}{\partial t}}\cdot {\Bigl (}\mathbf {I} -\textstyle {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {X}}'{\boldsymbol {X}}'{\Bigr )}}$

Dos resultados canónicos que se deducen inmediatamente son para la fuerza de arrastre sobre un cilindro rígido (longitud , radio ) que se mueve a una velocidad paralela a su eje o perpendicular a él. El caso paralelo da ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle F\sim {\frac {2\pi \mu \ell u}{\ln(\ell /a)}}}$

mientras que el caso perpendicular da

${\displaystyle F\sim {\frac {4\pi \mu \ell u}{\ln(\ell /a)}}}$

con solo un factor de dos de diferencia.

Obsérvese que la escala de longitud dominante en las expresiones anteriores es la longitud más larga ; la longitud más corta tiene solo un efecto débil a través del logaritmo de la relación de aspecto. En los resultados de la teoría de cuerpos esbeltos, hay correcciones al logaritmo, por lo que incluso para valores relativamente grandes, los términos de error no serán tan pequeños. ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle O(1)}$ ${\displaystyle \ell /a}$

Referencias

• Batchelor, GK (1970), "Teoría de cuerpos esbeltos para partículas de sección transversal arbitraria en flujo de Stokes", J. Fluid Mech. , 44 (3): 419–440, Bibcode :1970JFM....44..419B, doi :10.1017/S002211207000191X, S2CID  121986116
• Cox, RG (1970), "El movimiento de cuerpos largos y delgados en un fluido viscoso. Parte 1. Teoría general", J. Fluid Mech. , 44 (4): 791–810, Bibcode :1970JFM....44..791C, doi :10.1017/S002211207000215X, S2CID  118908560
• Hinch, EJ (1991), Métodos de perturbación , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-37897-0