Sistema dinámico de Liouville

En mecánica clásica , un sistema dinámico de Liouville es un sistema dinámico exactamente solucionable en el que la energía cinética T y la energía potencial V se pueden expresar en términos de las coordenadas generalizadas q de la siguiente manera: ^[1]

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\left\{u_{1}(q_{1})+u_{2}(q_{2})+\cdots +u_{s}(q_{s})\right\}\left\{v_{1}(q_{1}){\dot {q}}_{1}^{2}+v_{2}(q_{2}){\dot {q}}_{2}^{2}+\cdots +v_{s}(q_{s}){\dot {q}}_{s}^{2}\right\}}$

${\displaystyle V={\frac {w_{1}(q_{1})+w_{2}(q_{2})+\cdots +w_{s}(q_{s})}{u_{1}(q_{1})+u_{2}(q_{2})+\cdots +u_{s}(q_{s})}}}$

La solución de este sistema consiste en un conjunto de ecuaciones integrables separablemente.

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{Y}}\,dt={\frac {d\varphi _{1}}{\sqrt {E\chi _{1}-\omega _{1}+\gamma _{1}}}}={\frac {d\varphi _{2}}{\sqrt {E\chi _{2}-\omega _{2}+\gamma _{2}}}}=\cdots ={\frac {d\varphi _{s}}{\sqrt {E\chi _{s}-\omega _{s}+\gamma _{s}}}}}$

donde E = T + V es la energía conservada y las son constantes. Como se describe a continuación, las variables se han cambiado de q _s a φ _s , y las funciones u _s y w _s se han sustituido por sus contrapartes χ _s y ω _s . Esta solución tiene numerosas aplicaciones, como la órbita de un pequeño planeta alrededor de dos estrellas fijas bajo la influencia de la gravedad newtoniana . El sistema dinámico de Liouville es una de las varias cosas que llevan el nombre de Joseph Liouville , un eminente matemático francés. ${\displaystyle \gamma _{s}}$

Ejemplo de órbitas bicéntricas

En mecánica clásica , el problema de los tres cuerpos de Euler describe el movimiento de una partícula en un plano bajo la influencia de dos centros fijos, cada uno de los cuales atrae a la partícula con una fuerza inversa del cuadrado, como la gravedad newtoniana o la ley de Coulomb . Los ejemplos del problema del bicentro incluyen un planeta que se mueve alrededor de dos estrellas que se mueven lentamente , o un electrón que se mueve en el campo eléctrico de dos núcleos cargados positivamente , como el primer ion de la molécula de hidrógeno H ₂ , es decir, el ion molecular de hidrógeno o H ₂ ⁺ . La fuerza de las dos atracciones no necesita ser igual; por lo tanto, las dos estrellas pueden tener diferentes masas o los núcleos dos cargas diferentes.

Solución

Sean los centros de atracción fijos ubicados a lo largo del eje x en ± a . La energía potencial de la partícula en movimiento está dada por

${\displaystyle V(x,y)={\frac {-\mu _{1}}{\sqrt {\left(x-a\right)^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\mu _{2}}{\sqrt {\left(x+a\right)^{2}+y^{2}}}}.}$

Los dos centros de atracción pueden considerarse como los focos de un conjunto de elipses. Si alguno de los dos centros estuviera ausente, la partícula se movería sobre una de estas elipses, como solución del problema de Kepler . Por lo tanto, según el teorema de Bonnet , las mismas elipses son las soluciones del problema del bicentro.

Introducción de coordenadas elípticas ,

${\displaystyle x=a\cosh \xi \cos \eta ,}$

${\displaystyle y=a\sinh \xi \sin \eta ,}$

La energía potencial se puede escribir como

${\displaystyle V(\xi ,\eta )={\frac {-\mu _{1}}{a\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}}-{\frac {\mu _{2}}{a\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)}}={\frac {-\mu _{1}\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)-\mu _{2}\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}{a\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)}},}$

y la energía cinética como

${\displaystyle T={\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)\left({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}\right).}$

Este es un sistema dinámico de Liouville si ξ y η se toman como φ ₁ y φ ₂ , respectivamente; por lo tanto, la función Y es igual a

${\displaystyle Y=\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta }$

y la función W es igual

${\displaystyle W=-\mu _{1}\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)-\mu _{2}\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}$

Utilizando la solución general para un sistema dinámico de Liouville que se muestra a continuación, se obtiene

${\displaystyle {\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)^{2}{\dot {\xi }}^{2}=E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }$

${\displaystyle {\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)^{2}{\dot {\eta }}^{2}=-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }$

Introduciendo un parámetro u mediante la fórmula

${\displaystyle du={\frac {d\xi }{\sqrt {E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }}}={\frac {d\eta }{\sqrt {-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }}},}$

da la solución paramétrica

${\displaystyle u=\int {\frac {d\xi }{\sqrt {E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }}}=\int {\frac {d\eta }{\sqrt {-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }}}.}$

Dado que se trata de integrales elípticas , las coordenadas ξ ​​y η pueden expresarse como funciones elípticas de u .

Constante de movimiento

El problema bicéntrico tiene una constante de movimiento, es decir,

${\displaystyle r_{1}^{2}\,r_{2}^{2}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}{\frac {d\theta _{2}}{dt}}+2\,c\left(\mu _{1}\cos \theta _{1}-\mu _{2}\cos \theta _{2}\right),}$

de donde se puede resolver el problema utilizando el método del último multiplicador.

Derivación

Nuevas variables

Para eliminar las funciones v , las variables se cambian a un conjunto equivalente

${\displaystyle \varphi _{r}=\int dq_{r}{\sqrt {v_{r}(q_{r})}},}$

dando la relación

${\displaystyle v_{1}(q_{1}){\dot {q}}_{1}^{2}+v_{2}(q_{2}){\dot {q}}_{2}^{2}+\cdots +v_{s}(q_{s}){\dot {q}}_{s}^{2}={\dot {\varphi }}_{1}^{2}+{\dot {\varphi }}_{2}^{2}+\cdots +{\dot {\varphi }}_{s}^{2}=F,}$

que define una nueva variable F . Utilizando las nuevas variables, las funciones u y w pueden expresarse mediante funciones equivalentes χ y ω. Denotando la suma de las funciones χ por Y ,

${\displaystyle Y=\chi _{1}(\varphi _{1})+\chi _{2}(\varphi _{2})+\cdots +\chi _{s}(\varphi _{s}),}$

La energía cinética se puede escribir como

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}YF.}$

De manera similar, denotamos la suma de las funciones ω por W

${\displaystyle W=\omega _{1}(\varphi _{1})+\omega _{2}(\varphi _{2})+\cdots +\omega _{s}(\varphi _{s}),}$

La energía potencial V se puede escribir como

${\displaystyle V={\frac {W}{Y}}.}$

Ecuación de Lagrange

La ecuación de Lagrange para la variable r ^-ésima es ${\displaystyle \varphi _{r}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {\varphi }}_{r}}}\right)={\frac {d}{dt}}\left(Y{\dot {\varphi }}_{r}\right)={\frac {1}{2}}F{\frac {\partial Y}{\partial \varphi _{r}}}-{\frac {\partial V}{\partial \varphi _{r}}}.}$

Al multiplicar ambos lados por , reorganizar y explotar la relación 2 T = YF se obtiene la ecuación ${\displaystyle 2Y{\dot {\varphi }}_{r}}$

${\displaystyle 2Y{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {d}{dt}}\left(Y{\dot {\varphi }}_{r}\right)=2T{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {\partial Y}{\partial \varphi _{r}}}-2Y{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {\partial V}{\partial \varphi _{r}}}=2{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {\partial }{\partial \varphi _{r}}}\left[(E-V)Y\right],}$

que puede escribirse como

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(Y^{2}{\dot {\varphi }}_{r}^{2}\right)=2E{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {\partial Y}{\partial \varphi _{r}}}-2{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {\partial W}{\partial \varphi _{r}}}=2E{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {d\chi _{r}}{d\varphi _{r}}}-2{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {d\omega _{r}}{d\varphi _{r}}},}$

donde E = T + V es la energía total (conservada). De ello se deduce que

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(Y^{2}{\dot {\varphi }}_{r}^{2}\right)=2{\frac {d}{dt}}\left(E\chi _{r}-\omega _{r}\right),}$

que puede integrarse una vez para producir

${\displaystyle {\frac {1}{2}}Y^{2}{\dot {\varphi }}_{r}^{2}=E\chi _{r}-\omega _{r}+\gamma _{r},}$

donde son constantes de integración sujetas a la conservación de energía ${\displaystyle \gamma _{r}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{s}\gamma _{r}=0.}$

Invirtiendo, sacando la raíz cuadrada y separando las variables se obtiene un conjunto de ecuaciones integrables separablemente:

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{Y}}dt={\frac {d\varphi _{1}}{\sqrt {E\chi _{1}-\omega _{1}+\gamma _{1}}}}={\frac {d\varphi _{2}}{\sqrt {E\chi _{2}-\omega _{2}+\gamma _{2}}}}=\cdots ={\frac {d\varphi _{s}}{\sqrt {E\chi _{s}-\omega _{s}+\gamma _{s}}}}.}$

Referencias

1. Liouville (1849). "Mémoire sur l'intégration des équations différentielles du mouvement d'un nombre quelconque de point matériels". Revista de Mathématiques Pures et Appliquées . 14 : 257–299.

Lectura adicional

• Whittaker, ET (1937). Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos, con una introducción al problema de los tres cuerpos (4.ª ed.). Nueva York: Dover Publications. ISBN.