Carácter finito

En matemáticas , una familia de conjuntos es de carácter finito si para cada , pertenece a si y sólo si todo subconjunto finito de pertenece a . Es decir, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. Para cada , cada subconjunto finito de pertenece a . ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
2. Si cada subconjunto finito de un conjunto dado pertenece a , entonces pertenece a . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Propiedades

Una familia de conjuntos de carácter finito disfruta de las siguientes propiedades: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. Para cada , cada subconjunto (finito o infinito) de pertenece a . ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
2. Si tomamos como verdadero el axioma de elección entonces toda familia no vacía de carácter finito tiene un elemento maximal con respecto a la inclusión ( lema de Tukey ): En , parcialmente ordenada por inclusión, la unión de cada cadena de elementos de también pertenece a , por lo tanto, por el lema de Zorn , contiene al menos un elemento maximal. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Ejemplo

Sea un espacio vectorial , y sea la familia de subconjuntos linealmente independientes de . Entonces es una familia de carácter finito (porque un subconjunto es linealmente dependiente si y solo si tiene un subconjunto finito que es linealmente dependiente). Por lo tanto, en todo espacio vectorial existe una familia máxima de elementos linealmente independientes. Como una familia máxima es una base vectorial , todo espacio vectorial tiene una base vectorial (posiblemente infinita). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X\subseteq V}$ ${\displaystyle X}$

Véase también

• Conjunto finito hereditario

Referencias

• Jech, Thomas J. (2008) [1973]. El axioma de la elección . Publicaciones Dover . ISBN 978-0-486-46624-8.
• Smullyan, Raymond M. ; Fitting, Melvin (2010) [1996]. Teoría de conjuntos y el problema del continuo . Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-47484-7.

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