Carácter finito

En matemáticas , una familia de conjuntos es de carácter finito si para cada uno de ellos , pertenece a si y sólo si cada subconjunto finito de pertenece a . Eso es, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. Para cada uno , cada subconjunto finito de pertenece a . ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
2. Si todo subconjunto finito de un conjunto dado pertenece a , entonces pertenece a . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Propiedades

Una familia de conjuntos de carácter finito goza de las siguientes propiedades: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. Para cada uno , cada subconjunto (finito o infinito) de pertenece a . ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
2. Toda familia no vacía de carácter finito tiene un elemento máximo con respecto a la inclusión ( lema de Tukey ): en , parcialmente ordenada por inclusión, la unión de toda cadena de elementos de también pertenece a , por lo tanto, según el lema de Zorn , contiene al menos un elemento máximo. . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Ejemplo

Sea un espacio vectorial y sea la familia de subconjuntos linealmente independientes de . Entonces es una familia de carácter finito (porque un subconjunto es linealmente dependiente si y sólo si tiene un subconjunto finito que es linealmente dependiente). Por tanto, en todo espacio vectorial existe una familia máxima de elementos linealmente independientes. Como una familia maximal es una base vectorial , cada espacio vectorial tiene una base vectorial (posiblemente infinita). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X\subseteq V}$ ${\displaystyle X}$

Ver también

• Conjunto hereditariamente finito

Referencias

• Jech, Thomas J. (2008) [1973]. El axioma de elección . Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-46624-8.
• Smullyan, Raymond M .; Adecuado, Melvin (2010) [1996]. Teoría de conjuntos y el problema del continuo . Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-47484-7.

Este artículo incorpora material de carácter finito en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .