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Sistema de Euler

En matemáticas , un sistema de Euler es una colección de elementos compatibles de grupos de cohomología de Galois indexados por cuerpos . Fueron introducidos por Kolyvagin  (1990) en su trabajo sobre puntos de Heegner en curvas elípticas modulares , que fue motivado por su artículo anterior Kolyvagin (1988) y el trabajo de Thaine (1988). Los sistemas de Euler reciben su nombre de Leonhard Euler porque los factores que relacionan diferentes elementos de un sistema de Euler se parecen a los factores de Euler de un producto de Euler .

Los sistemas de Euler pueden utilizarse para construir aniquiladores de grupos de clases ideales o grupos de Selmer , dando así límites a sus órdenes, lo que a su vez ha dado lugar a teoremas profundos como el de finitud de algunos grupos de Tate-Shafarevich . Esto condujo a la nueva prueba de Karl Rubin de la conjetura principal de la teoría de Iwasawa , considerada más sencilla que la prueba original debida a Barry Mazur y Andrew Wiles .

Definición

Aunque existen varias definiciones de tipos especiales de sistemas de Euler, no parece haber ninguna definición publicada de un sistema de Euler que cubra todos los casos conocidos. Pero es posible decir aproximadamente qué es un sistema de Euler, de la siguiente manera:

Aquí el "factor de Euler" P (τ| B ; x ) se define como el elemento det(1-τ x | B ) considerado como un elemento de O[ x ], que cuando x actúa sobre B no es el mismo que det(1-τ x | B ) considerado como un elemento de O.

Kazuya Kato se refiere a los elementos de un sistema de Euler como "encarnaciones aritméticas de zeta" y describe la propiedad de ser un sistema de Euler como "un reflejo aritmético del hecho de que estas encarnaciones están relacionadas con valores especiales de productos de Euler". [1]

Ejemplos

Unidades ciclotómicas

Para cada entero positivo sin cuadrados n, elijamos una raíz n -ésima ζ n de 1, con ζ mn = ζ m ζ n para m , n coprimos. Entonces, el sistema de Euler ciclotómico es el conjunto de números α n = 1 − ζ n . Estos satisfacen las relaciones

módulo todos los primos por encima de l

donde l es un primo que no divide a n y F l es un automorfismo de Frobenius con F ln ) = ζyo
Kolyvagin utilizó este sistema de Euler para dar una prueba elemental de la conjetura de Gras .

Sumas de Gauss

Unidades elípticas

Puntos de Heegner

Kolyvagin construyó un sistema de Euler a partir de los puntos de Heegner de una curva elíptica y lo utilizó para demostrar que en algunos casos el grupo de Tate-Shafarevich es finito.

Sistema Euler de Kato

El sistema de Euler de Kato consta de ciertos elementos que aparecen en la teoría K algebraica de curvas modulares . Estos elementos, llamados elementos de Beilinson en honor a Alexander Beilinson , quien los introdujo en Beilinson (1984), fueron utilizados por Kazuya Kato en Kato (2004) para demostrar una divisibilidad en la conjetura principal de Barry Mazur de la teoría de Iwasawa para curvas elípticas . [2]

Notas

  1. ^ Kato 2007, §2.5.1
  2. ^ Kato 2007

Referencias

Enlaces externos