En matemáticas , un sistema de Euler es una colección de elementos compatibles de grupos de cohomología de Galois indexados por cuerpos . Fueron introducidos por Kolyvagin (1990) en su trabajo sobre puntos de Heegner en curvas elípticas modulares , que fue motivado por su artículo anterior Kolyvagin (1988) y el trabajo de Thaine (1988). Los sistemas de Euler reciben su nombre de Leonhard Euler porque los factores que relacionan diferentes elementos de un sistema de Euler se parecen a los factores de Euler de un producto de Euler .
Los sistemas de Euler pueden utilizarse para construir aniquiladores de grupos de clases ideales o grupos de Selmer , dando así límites a sus órdenes, lo que a su vez ha dado lugar a teoremas profundos como el de finitud de algunos grupos de Tate-Shafarevich . Esto condujo a la nueva prueba de Karl Rubin de la conjetura principal de la teoría de Iwasawa , considerada más sencilla que la prueba original debida a Barry Mazur y Andrew Wiles .
Definición
Aunque existen varias definiciones de tipos especiales de sistemas de Euler, no parece haber ninguna definición publicada de un sistema de Euler que cubra todos los casos conocidos. Pero es posible decir aproximadamente qué es un sistema de Euler, de la siguiente manera:
- Un sistema de Euler está dado por una colección de elementos c F . Estos elementos suelen estar indexados por ciertos campos numéricos F que contienen algún campo numérico fijo K , o por algo estrechamente relacionado como los números enteros sin cuadrados. Los elementos c F son típicamente elementos de algún grupo de cohomología de Galois como H 1 ( F , T ) donde T es una representación p -ádica del grupo de Galois absoluto de K .
- La condición más importante es que los elementos c F y c G para dos campos diferentes F ⊆ G estén relacionados mediante una fórmula simple, tal como
- Aquí el "factor de Euler" P (τ| B ; x ) se define como el elemento det(1-τ x | B ) considerado como un elemento de O[ x ], que cuando x actúa sobre B no es el mismo que det(1-τ x | B ) considerado como un elemento de O.
- Puede haber otras condiciones que la ecuación (c ) deba satisfacer, como por ejemplo condiciones de congruencia.
Kazuya Kato se refiere a los elementos de un sistema de Euler como "encarnaciones aritméticas de zeta" y describe la propiedad de ser un sistema de Euler como "un reflejo aritmético del hecho de que estas encarnaciones están relacionadas con valores especiales de productos de Euler". [1]
Ejemplos
Unidades ciclotómicas
Para cada entero positivo sin cuadrados n, elijamos una raíz n -ésima ζ n de 1, con ζ mn = ζ m ζ n para m , n coprimos. Entonces, el sistema de Euler ciclotómico es el conjunto de números α n = 1 − ζ n . Estos satisfacen las relaciones
- módulo todos los primos por encima de l
donde l es un primo que no divide a n y F l es un automorfismo de Frobenius con F l (ζ n ) = ζyo
Kolyvagin utilizó este sistema de Euler para dar una prueba elemental de la conjetura de Gras .
Sumas de Gauss
Unidades elípticas
Puntos de Heegner
Kolyvagin construyó un sistema de Euler a partir de los puntos de Heegner de una curva elíptica y lo utilizó para demostrar que en algunos casos el grupo de Tate-Shafarevich es finito.
Sistema Euler de Kato
El sistema de Euler de Kato consta de ciertos elementos que aparecen en la teoría K algebraica de curvas modulares . Estos elementos, llamados elementos de Beilinson en honor a Alexander Beilinson , quien los introdujo en Beilinson (1984), fueron utilizados por Kazuya Kato en Kato (2004) para demostrar una divisibilidad en la conjetura principal de Barry Mazur de la teoría de Iwasawa para curvas elípticas . [2]
Notas
- ^ Kato 2007, §2.5.1
- ^ Kato 2007
Referencias
- Banaszak, Grzegorz (2001) [1994], "Sistemas de Euler para cuerpos numéricos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Beilinson, Alexander (1984), "Reguladores superiores y valores de las funciones L", en RV Gamkrelidze (ed.), Problemas actuales en matemáticas (en ruso), vol. 24, págs. 181-238, MR 0760999
- Coates, JH ; Greenberg, R.; Ribet, KA ; Rubin, K. (1999), Teoría aritmética de curvas elípticas , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1716, Springer-Verlag , ISBN 3-540-66546-3
- Coates, J. ; Sujatha, R. (2006), "Sistemas de Euler", Campos ciclotómicos y valores zeta , Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, págs. 71–87, ISBN 3-540-33068-2
- Kato, Kazuya (2004), " teoría p -ádica de Hodge y valores de funciones zeta de formas modulares", en Pierre Berthelot; Jean-Marc Fontaine; Luc Illusie; Kazuya Kato; Michael Rapoport (eds.), Cohomologies p-adiques et apps arithmétiques. III. , Astérisque, vol. 295, París: Société Mathématique de France, págs. 117–290, MR 2104361
- Kato, Kazuya (2007), "Teoría de Iwasawa y generalizaciones", en Marta Sanz-Solé ; Javier Soria; Juan Luis Varona; et al. (eds.), Congreso Internacional de Matemáticos (PDF) , vol. I, Zürich: Sociedad Matemática Europea, págs. 335–357, MR 2334196 , consultado el 12 de agosto de 2010Actas del congreso celebrado en Madrid del 22 al 30 de agosto de 2006
- Kolyvagin, VA (1988), "Los grupos Mordell-Weil y Shafarevich-Tate para curvas elípticas de Weil", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 52 (6): 1154–1180, ISSN 0373-2436, SEÑOR 0984214
- Kolyvagin, VA (1990), "Sistemas Euler", The Grothendieck Festschrift, vol. II , Progr. Matemáticas, vol. 87, Boston, MA: Birkhäuser Boston, págs. 435–483, doi :10.1007/978-0-8176-4575-5_11, ISBN 978-0-8176-3428-5, Sr. 1106906
- Mazur, Barry ; Rubin, Karl (2004), "Sistemas Kolyvagin", Memorias de la Sociedad Matemática Estadounidense , 168 (799): viii+96, doi : 10.1090/memo/0799 , ISBN 978-0-8218-3512-8, ISSN 0065-9266 , MR2031496
- Rubin, Karl (2000), Sistemas de Euler, Anales de estudios matemáticos, vol. 147, Princeton University Press , MR 1749177
- Scholl, AJ (1998), "Una introducción a los sistemas de Euler de Kato", Representaciones de Galois en geometría algebraica aritmética (Durham, 1996), London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 254, Cambridge University Press , pp. 379–460, ISBN 978-0-521-64419-8, Sr. 1696501
- Thaine, Francisco (1988), "Sobre los grupos de clases ideales de cuerpos de números abelianos reales", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 128 (1): 1–18, doi :10.2307/1971460, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971460, MR 0951505
Enlaces externos
- Varios artículos sobre los sistemas de Kolyvagin están disponibles en la página web de Barry Mazur Archivado el 17 de mayo de 2011 en Wayback Machine (a julio de 2005).