En geometría , las simedianas son tres líneas particulares asociadas con cada triángulo . Se construyen tomando una mediana del triángulo (una línea que conecta un vértice con el punto medio del lado opuesto), y reflejando la línea sobre la bisectriz del ángulo correspondiente (la línea que pasa por el mismo vértice y divide el ángulo allí por la mitad). El ángulo formado por la simediana y la bisectriz del ángulo tiene la misma medida que el ángulo entre la mediana y la bisectriz del ángulo, pero está en el otro lado de la bisectriz del ángulo.
Los tres simedianos se encuentran en el centro de un triángulo llamado punto Lemoine . Ross Honsberger ha calificado su existencia como "una de las joyas de la corona de la geometría moderna". [1]
Muchas veces en geometría, si tomamos tres líneas especiales a través de los vértices de un triángulo, o cevianas , entonces sus reflexiones sobre las bisectrices de los ángulos correspondientes, llamadas líneas isogonales , también tendrán propiedades interesantes. Por ejemplo, si tres cevianas de un triángulo se intersecan en un punto P , entonces sus líneas isogonales también se intersecan en un punto, llamado conjugado isogonal de P.
Los simmedianos ilustran este hecho.
Este punto se llama punto simediano del triángulo o, alternativamente, punto Lemoine o punto Grebe .
Las líneas punteadas son las bisectrices de los ángulos; las simedianas y las medianas son simétricas respecto de las bisectrices de los ángulos (de ahí el nombre "simediana").
Sea △ ABC un triángulo. Construya un punto D intersectando las tangentes de B y C con la circunferencia circunscrita . Entonces AD es el simediano de △ ABC . [2]
Primera prueba. Sea la reflexión de AD a través de la bisectriz del ángulo ∠ BAC la que se encuentra con BC en M' . Entonces:
Segunda prueba. Definamos D' como el conjugado isogonal de D . Es fácil ver que la reflexión de CD respecto de la bisectriz es la línea que pasa por C paralela a AB . Lo mismo es cierto para BD , y por lo tanto, ABD'C es un paralelogramo. AD' es claramente la mediana, porque las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí, y AD es su reflexión respecto de la bisectriz.
Tercera prueba. Sea ω el círculo con centro D que pasa por B y C , y sea O el circuncentro de △ ABC . Digamos que las rectas AB, AC intersecan a ω en P, Q , respectivamente. Como ∠ ABC = ∠ AQP , los triángulos △ ABC y △ AQP son semejantes. Como
vemos que PQ es un diámetro de ω y por lo tanto pasa por D . Sea M el punto medio de BC . Como D es el punto medio de PQ , la similitud implica que ∠ BAM = ∠ QAD , de donde se sigue el resultado.
Cuarta prueba. Sea S el punto medio del arco BC . | BS | = | SC | , por lo que AS es la bisectriz del ángulo ∠ BAC . Sea M el punto medio de BC , y se deduce que D es la inversa de M con respecto al círculo circunscrito. De esto, sabemos que el círculo circunscrito es un círculo apolíneo con focos M, D . Por lo tanto , AS es la bisectriz del ángulo ∠ DAM , y hemos alcanzado el resultado deseado.
El concepto de punto simediano se extiende a los tetraedros (irregulares). Dado un tetraedro ABCD, dos planos P, Q a través de AB son conjugados isogonales si forman ángulos iguales con los planos ABC y ABD . Sea M el punto medio del lado CD . El plano que contiene el lado AB que es isogonal al plano ABM se llama plano simediano del tetraedro. Se puede demostrar que los planos simedianos se intersecan en un punto, el punto simediano. Este es también el punto que minimiza la distancia al cuadrado de las caras del tetraedro. [3]
