En matemáticas , el problema de Shephard es la siguiente pregunta geométrica planteada por Geoffrey Colin Shephard en 1964: si K y L son cuerpos convexos simétricos centralmente en un espacio euclidiano n - dimensional tales que siempre que K y L se proyectan sobre un hiperplano , el volumen de la proyección de K es menor que el volumen de la proyección de L , entonces ¿se deduce que el volumen de K es menor que el de L ? [1]
En este caso, "centralmente simétrico" significa que la reflexión de K en el origen, −K , es una traslación de K , y lo mismo ocurre con L . Si π k : R n → Π k es una proyección de R n sobre algún hiperplano k -dimensional Π k (no necesariamente un hiperplano de coordenadas) y V k denota un volumen k -dimensional, el problema de Shephard es determinar la verdad o falsedad de la implicación.
V k ( π k ( K )) a veces se conoce como el brillo de K y la función V k o π k como una función de brillo ( k -dimensional) .
En las dimensiones n = 1 y 2, la respuesta al problema de Shephard es "sí". Sin embargo, en 1967, Petty y Schneider demostraron que la respuesta es "no" para todo n ≥ 3. [2] [3] La solución del problema de Shephard requiere la primera desigualdad de Minkowski para cuerpos convexos y la noción de cuerpos de proyección de cuerpos convexos.
