Luz de luna monstruosa

Conexión inesperada en la teoría de grupos.

En matemáticas , el monstruoso alcohol ilegal , o teoría del alcohol ilegal , es la conexión inesperada entre el grupo de monstruos M y las funciones modulares , en particular, la función j . La observación numérica inicial fue realizada por John McKay en 1978, y la frase fue acuñada por John Conway y Simon P. Norton en 1979. ^{[1] [2] [3]}

Ahora se sabe que el monstruoso brillo lunar está sustentado en un álgebra de operador de vértices llamado módulo de brillo lunar (o álgebra de vértices de monstruos) construido por Igor Frenkel , James Lepowsky y Arne Meurman en 1988, que tiene el grupo de monstruos como su grupo de simetrías . Este álgebra de operadores de vértices se interpreta comúnmente como una estructura subyacente a una teoría de campos conforme bidimensional , lo que permite a la física formar un puente entre dos áreas matemáticas. Las conjeturas hechas por Conway y Norton fueron probadas por Richard Borcherds para el módulo de luz de luna en 1992 utilizando el teorema del no fantasma de la teoría de cuerdas y la teoría de las álgebras de operadores de vértices y las álgebras generalizadas de Kac-Moody .

Historia

En 1978, John McKay descubrió que los primeros términos de la expansión de Fourier del invariante J normalizado (secuencia A014708 en la OEIS ) podían expresarse en términos de combinaciones lineales de las dimensiones de las representaciones irreducibles del grupo de monstruos M (secuencia A001379 en la OEIS ) con pequeños coeficientes no negativos. El J-invariante es ${\displaystyle r_{n}}$

$${\displaystyle J(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196884{q}[phone]{q}^{2}[phone]{q}^{3}[phone]{q}^{4}+\cdots }$$

τrelación de medio períodoM ${\displaystyle {q}=e^{2\pi i\tau }}$ ${\displaystyle r_{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}1&=r_{1}\\196884&=r_{1}+r_{2}\\21493760&=r_{1}+r_{2}+r_{3}\\864299970&=2r_{1}+2r_{2}+r_{3}+r_{4}\\20245856256&=3r_{1}+3r_{2}+r_{3}+2r_{4}+r_{5}=2r_{1}+3r_{2}+2r_{3}+r_{4}+r_{6}\\333202640600&=5r_{1}+5r_{2}+2r_{3}+3r_{4}+2r_{5}+r_{7}=4r_{1}+5r_{2}+3r_{3}+2r_{4}+r_{5}+r_{6}+r_{7}\\\end{aligned}}}$$

M ${\displaystyle j(\tau )}$ ${\displaystyle r_{n}}$ ${\displaystyle r_{n}}$ ${\displaystyle r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0}$

McKay vio esto como evidencia de que existe una representación graduada de dimensión infinita de M que ocurre naturalmente , cuya dimensión graduada está dada por los coeficientes de J , y cuyas piezas de menor peso se descomponen en representaciones irreductibles como se indicó anteriormente. Después de informar a John G. Thompson de esta observación, Thompson sugirió que debido a que la dimensión graduada es sólo la traza graduada del elemento de identidad , las trazas graduadas de los elementos no triviales g de M en tal representación también pueden ser interesantes.

Conway y Norton calcularon los términos de orden inferior de tales trazas graduadas, ahora conocidas como series T _g de McKay-Thompson , y descubrieron que todas ellas parecían ser expansiones de Hauptmoduln . En otras palabras, si G _g es el subgrupo de SL ₂ ( R ) que fija T _g , entonces el cociente de la mitad superior del plano complejo por G _g es una esfera con un número finito de puntos eliminados y, además, T _g genera el campo de funciones meromórficas en esta esfera.

Basándose en sus cálculos, Conway y Norton produjeron una lista de Hauptmoduln y conjeturaron la existencia de una representación graduada de dimensión infinita de M , cuyas trazas graduadas T _g son las expansiones precisamente de las funciones de su lista.

En 1980, A. Oliver L. Atkin , Paul Fong y Stephen D. Smith produjeron pruebas computacionales sólidas de que existe tal representación graduada, descomponiendo un gran número de coeficientes de J en representaciones de M. Igor Frenkel , James Lepowsky y Arne Meurman construyeron explícitamente una representación graduada cuya dimensión graduada es J , llamada módulo de luz de luna , dando una solución efectiva a la conjetura de McKay-Thompson, y también determinaron las trazas graduadas para todos los elementos en el centralizador de una involución de M , resolviendo parcialmente la conjetura de Conway-Norton. Además, demostraron que el espacio vectorial que construyeron, llamado Módulo Moonshine , tiene la estructura adicional de un álgebra de operadores de vértices , cuyo grupo de automorfismos es precisamente M. ${\displaystyle V^{\natural }}$

En 1985, un grupo de matemáticos, entre ellos John Conway , publicó el Atlas de grupos finitos . El Atlas, que enumera todos los grupos esporádicos , incluyó "Moonshine" como una sección en su lista de propiedades notables del grupo de monstruos . ^[4]

Borcherds demostró la conjetura de Conway-Norton para el módulo Moonshine en 1992. Ganó la medalla Fields en 1998 en parte por su solución de la conjetura.

El módulo de luz de luna

La construcción Frenkel-Lepowsky-Meurman comienza con dos herramientas principales:

1. La construcción de un álgebra de operador de vértice de red V _L para una red par L de rango n . En términos físicos, esta es el álgebra quiral para una cuerda bosónica compactada sobre un toro R ⁿ / L . Puede describirse aproximadamente como el producto tensorial del anillo de grupo de L con la representación del oscilador en n dimensiones (que en sí mismo es isomorfo a un anillo polinómico en una cantidad infinitamente numerable de generadores ). Para el caso en cuestión, se establece que L sea la red Leech , que tiene rango 24.
2. La construcción orbital . En términos físicos, esto describe una cuerda bosónica que se propaga en un cociente orbital . La construcción de Frenkel-Lepowsky-Meurman fue la primera vez que aparecieron orbifolds en la teoría de campos conforme . Adjunto a la involución –1 de la red Leech , hay una involución h de V _L y un módulo V _L irreducible torcido en h , que hereda una involución que levanta h . Para obtener el módulo Moonshine, se toma el subespacio de punto fijo de h en la suma directa de V _L y su módulo retorcido .

Frenkel, Lepowsky y Meurman demostraron luego que el grupo de automorfismos del módulo de luz de luna, como álgebra de operadores de vértices, es M. Además, determinaron que las trazas graduadas de elementos del subgrupo 2 ¹⁺²⁴ . Co ₁ coincide con las funciones predichas por Conway y Norton (Frenkel, Lepowsky & Meurman (1988)).

La prueba de Borcherd

La prueba de Richard Borcherds de la conjetura de Conway y Norton se puede dividir en los siguientes pasos principales:

1. Se comienza con un álgebra de operador de vértice V con una forma bilineal invariante, una acción de M por automorfismos y con una descomposición conocida de los espacios homogéneos de siete grados inferiores en M -representaciones irreducibles. Esto fue proporcionado por la construcción y el análisis del módulo Moonshine de Frenkel-Lepowsky-Meurman.
2. Un álgebra de Lie , llamada álgebra de Lie monstruosa , se construye a partir de V utilizando un funtor de cuantificación. Es un álgebra generalizada de Kac-Moody Lie con una acción monstruosa por automorfismos. Utilizando el teorema "sin fantasma" de Goddard-Thorn de la teoría de cuerdas , se encuentra que las multiplicidades de raíces son coeficientes de J. ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
3. Se utiliza la identidad del producto infinito de Koike-Norton-Zagier para construir un álgebra de Kac-Moody Lie generalizada mediante generadores y relaciones. La identidad se prueba utilizando el hecho de que los operadores de Hecke aplicados a J producen polinomios en J.
4. Al comparar multiplicidades de raíces, se encuentra que las dos álgebras de Lie son isomorfas y, en particular, la fórmula del denominador de Weyl es precisamente la identidad de Koike-Norton-Zagier. ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
5. Utilizando la homología del álgebra de Lie y las operaciones de Adams , se proporciona una identidad de denominador retorcido para cada elemento. Estas identidades están relacionadas con la serie T _g de McKay-Thompson de la misma manera que la identidad Koike-Norton-Zagier está relacionada con J.
6. Las identidades retorcidas del denominador implican relaciones de recursividad en los coeficientes de _Tg , y un trabajo inédito de Koike demostró que las funciones candidatas de Conway y Norton satisfacían estas relaciones de recursividad. Estas relaciones son lo suficientemente fuertes como para que sólo sea necesario comprobar que los primeros siete términos concuerdan con las funciones dadas por Conway y Norton. Los términos más bajos vienen dados por la descomposición de los siete espacios homogéneos de grado más bajo dados en el primer paso.

Así, la prueba está completa (Borcherds (1992)). Más tarde se citó a Borcherds diciendo: "Me sentí encantado cuando probé la conjetura del alcohol ilegal" y "A veces me pregunto si esta es la sensación que se tiene cuando se toman ciertas drogas. En realidad, no lo sé, ya que no he probado esta teoría mía." (Roberts 2009, pág. 361)

Un trabajo más reciente ha simplificado y clarificado los últimos pasos de la prueba. Jurisich (Jurisich (1998), Jurisich, Lepowsky & Wilson (1995)) encontró que el cálculo de homología podría acortarse sustancialmente reemplazando la descomposición triangular habitual del álgebra de Monster Lie con una descomposición en una suma de gl ₂ y dos álgebras de Lie libres. . Cummins y Gannon demostraron que las relaciones de recursividad implican automáticamente que las series de McKay Thompson son Hauptmoduln o terminan después de como máximo 3 términos, eliminando así la necesidad de cálculo en el último paso.

Alcohol ilegal generalizado

Conway y Norton sugirieron en su artículo de 1979 que tal vez el alcohol ilegal no se limite al monstruo, sino que se puedan encontrar fenómenos similares en otros grupos. ^[a] Si bien las afirmaciones de Conway y Norton no eran muy específicas, los cálculos de Larissa Queen en 1980 sugirieron fuertemente que se pueden construir las expansiones de muchos Hauptmoduln a partir de combinaciones simples de dimensiones de representaciones irreductibles de grupos esporádicos . En particular, descompuso los coeficientes de la serie de McKay-Thompson en representaciones de subcocientes del Monstruo en los siguientes casos:

• T _2B y T _4A en representaciones del grupo Conway Co ₀
• T _3B y T _6B en representaciones del grupo Suzuki 3.2. Suz
• T _3C en representaciones del grupo Thompson Th = F ₃
• T _5A en representaciones del grupo Harada-Norton HN = F ₅
• T _5B y T _10D en representaciones del grupo 2 de Hall-Janko. HJ
• T _7A en representaciones del grupo Held He = F ₇
• T _7B y T _14C en representaciones de 2. A ₇
• T _11A en representaciones del grupo 2 de Mathieu. M ₁₂

Queen descubrió que los rastros de elementos sin identidad también producían q -expansiones de Hauptmoduln, algunas de las cuales no eran series de McKay-Thompson del Monstruo. En 1987, Norton combinó los resultados de Queen con sus propios cálculos para formular la conjetura generalizada de Moonshine. Esta conjetura afirma que existe una regla que asigna a cada elemento g del monstruo, un espacio vectorial graduado V ( g ), y a cada par de elementos conmutantes ( g , h ) una función holomorfa f ( g , h , τ) en el semiplano superior , tal que:

1. Cada V ( g ) es una representación proyectiva graduada del centralizador de g en M.
2. Cada f ( g , h , τ) es una función constante o un Hauptmodul.
3. Cada f ( g , h , τ) es invariante bajo conjugación simultánea de g y h en M , hasta una ambigüedad escalar.
4. Para cada ( g , h ), hay una elevación de h a una transformación lineal en V ( g ), de modo que la expansión de f ( g , h , τ) viene dada por la traza graduada.
5. Para cualquiera , es proporcional a . ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {Z} )}$ ${\displaystyle f\left(g,h,{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)}$ ${\displaystyle f\left(g^{a}h^{c},g^{b}h^{d},\tau \right)}$
6. f ( g , h , τ ) es proporcional a J si y solo si g = h = 1.

Ésta es una generalización de la conjetura de Conway-Norton, porque el teorema de Borcherds se refiere al caso en el que g se establece en la identidad.

Al igual que la conjetura de Conway-Norton, el alcohol ilegal generalizado también tiene una interpretación en física, propuesta por Dixon-Ginsparg-Harvey en 1988 (Dixon, Ginsparg y Harvey (1989)). Interpretaron los espacios vectoriales V ( g ) como sectores retorcidos de una teoría de campos conforme con simetría monstruosa, e interpretaron las funciones f ( g , h , τ) como funciones de partición de género uno , donde se forma un toro pegando condiciones de contorno retorcidas. . En lenguaje matemático, los sectores retorcidos son módulos retorcidos irreducibles, y las funciones de partición se asignan a curvas elípticas con paquetes monstruosos principales, cuyo tipo de isomorfismo se describe por monodromía a lo largo de una base de 1 ciclos , es decir, un par de elementos conmutantes.

Luz de luna modular

A principios de la década de 1990, el teórico de grupos AJE Ryba descubrió notables similitudes entre partes de la tabla de caracteres del monstruo y los caracteres de Brauer de ciertos subgrupos. En particular, para un elemento g de orden primo p en el monstruo, muchos caracteres irreducibles de un elemento de orden kp cuya k -ésima potencia es g son combinaciones simples de caracteres de Brauer para un elemento de orden k en el centralizador de g . Esta fue una evidencia numérica de un fenómeno similar a la monstruosa luz de la luna, pero para representaciones en características positivas. En particular, Ryba conjeturó en 1994 que para cada factor primo p en el orden del monstruo, existe un álgebra de vértice graduada sobre el campo finito F _p con una acción del centralizador de un elemento g de orden p , tal que el Brauer graduado El carácter de cualquier p -automorfismo regular h es igual a la serie de McKay-Thompson para gh (Ryba (1996)).

En 1996, Borcherds y Ryba reinterpretaron la conjetura como una declaración sobre la cohomología de Tate de una forma integral autodual de . No se sabía que existiera esta forma integral, pero construyeron una forma autodual sobre Z [1/2], lo que les permitió trabajar con números primos impares p . La cohomología de Tate para un elemento de orden primo naturalmente tiene la estructura de un álgebra de supervértice sobre F _p , y dividieron el problema en un paso fácil que equipara la supertraza de Brauer graduada con la serie de McKay-Thompson, y un paso difícil que muestra esa cohomología de Tate desaparece en un grado extraño. Probaron la afirmación evanescente para números primos impares pequeños transfiriendo un resultado evanescente de la red Leech (Borcherds y Ryba (1996)). En 1998, Borcherds demostró que la desaparición es válida para los primos impares restantes, utilizando una combinación de la teoría de Hodge y un refinamiento integral del teorema del no fantasma (Borcherds (1998), Borcherds (1999)). ${\displaystyle V^{\natural }}$

El caso de orden 2 requiere la existencia de una forma de sobre un anillo de 2 ádicos, es decir, una construcción que no se divide por 2, y no se sabía que esto existiera en ese momento. Quedan muchas preguntas adicionales sin respuesta, como cómo la conjetura de Ryba debería generalizarse a la cohomología de Tate de elementos de orden compuesto, y la naturaleza de cualquier conexión con el alcohol ilegal generalizado y otros fenómenos del alcohol ilegal. ${\displaystyle V^{\natural }}$

Relación conjeturada con la gravedad cuántica

En 2007, E. Witten sugirió que la correspondencia AdS/CFT produce una dualidad entre la gravedad cuántica pura en el espacio anti de Sitter (2 + 1) dimensional y las CFT holomorfas extremas. La gravedad pura en 2 + 1 dimensiones no tiene grados de libertad locales, pero cuando la constante cosmológica es negativa, hay contenido no trivial en la teoría, debido a la existencia de soluciones de agujeros negros BTZ . Los CFT extremos, presentados por G. Höhn, se caracterizan por la falta de campos primarios de Virasoro en baja energía, y el módulo de luz de luna es un ejemplo.

Según la propuesta de Witten (Witten (2007)), la gravedad en el espacio AdS con constante cosmológica negativa máxima es AdS/CFT dual a una CFT holomorfa con carga central c=24 , y la función de partición de la CFT es precisamente j -744, es decir, el carácter graduado del módulo de luz de luna. Al asumir la conjetura de Frenkel-Lepowsky-Meurman de que el módulo de luz ilegal es el único VOA holomórfico con carga central 24 y carácter j -744, Witten concluyó que la gravedad pura con una constante cosmológica negativa máxima es dual al monstruo CFT. Parte de la propuesta de Witten es que los campos primarios de Virasoro son duales a los operadores creadores de agujeros negros y, como comprobación de coherencia, encontró que en el límite de masa grande, la estimación de entropía semiclásica de Bekenstein-Hawking para una masa de agujero negro determinada concuerda con el logaritmo de la multiplicidad primaria de Virasoro correspondiente en el módulo de luz de luna. En el régimen de baja masa, hay una pequeña corrección cuántica de la entropía; por ejemplo, los campos primarios de menor energía producen ln(196883) ~ 12,19, mientras que la estimación de Bekenstein-Hawking da 4 π  ~ 12,57.

Trabajos posteriores han ido perfeccionando la propuesta de Witten. Witten había especulado que las CFT extremas con una constante cosmológica mayor pueden tener una simetría monstruosa muy parecida al caso mínimo, pero esto fue rápidamente descartado por el trabajo independiente de Gaiotto y Höhn. El trabajo de Witten y Maloney (Maloney & Witten (2007)) sugirió que la gravedad cuántica pura puede no satisfacer algunas comprobaciones de consistencia relacionadas con su función de partición, a menos que algunas propiedades sutiles de las sillas complejas funcionen favorablemente. Sin embargo, Li-Song-Strominger (Li, Song y Strominger (2008)) han sugerido que una teoría de la gravedad cuántica quiral propuesta por Manschot en 2007 puede tener mejores propiedades de estabilidad, al tiempo que es dual con respecto a la parte quiral del monstruo CFT, es decir, El álgebra del vértice del monstruo. Duncan-Frenkel (Duncan & Frenkel (2009)) produjo evidencia adicional de esta dualidad mediante el uso de sumas de Rademacher para producir la serie de McKay-Thompson como funciones de partición de gravedad (2 + 1) dimensionales mediante una suma regularizada sobre geometrías de isogenia de toro global. Además, conjeturaron la existencia de una familia de teorías retorcidas de la gravedad quiral parametrizadas por elementos del monstruo, lo que sugiere una conexión con la luz de la luna generalizada y las sumas instantáneas gravitacionales. En la actualidad, todas estas ideas son todavía bastante especulativas, en parte porque la gravedad cuántica tridimensional no tiene una base matemática rigurosa.

luz de luna Mathieu

En 2010, Tohru Eguchi , Hirosi Ooguri y Yuji Tachikawa observaron que el género elíptico de una superficie K3 se puede descomponer en caracteres del álgebra superconformal N = (4,4) , de modo que las multiplicidades de estados masivos parecen ser combinaciones simples. de representaciones irreductibles del grupo Mathieu M24 . ^[5] Esto sugiere que existe una teoría de campo conforme del modelo sigma con un objetivo K3 que lleva simetría M24. Sin embargo, según la clasificación de Mukai-Kondo, no existe una acción fiel de este grupo en ninguna superficie K3 por automorfismos simplécticos , y según el trabajo de Gaberdiel-Hohenegger-Volpato, ^[6] no hay una acción fiel en ningún modelo sigma conforme de K3. teoría de campos, por lo que la aparición de una acción en el espacio de Hilbert subyacente sigue siendo un misterio.

Por analogía con la serie de McKay-Thompson, Cheng sugirió que tanto las funciones de multiplicidad como las trazas graduadas de elementos no triviales de M24 forman formas modulares simuladas . En 2012, Gannon demostró que todas las multiplicidades, excepto la primera, son combinaciones integrales no negativas de representaciones de M24, y Gaberdiel-Persson-Ronellenfitsch-Volpato calcularon todos los análogos de funciones ilegales generalizadas, ^[7] sugiriendo fuertemente que algún análogo de una La teoría holomorfa del campo conforme se esconde detrás del alcohol ilegal de Mathieu. También en 2012, Cheng, Duncan y Harvey acumularon evidencia numérica de un fenómeno umbral de luz de luna en el que familias de formas modulares simuladas parecen estar unidas a celosías de Niemeier . El caso especial de la A.²⁴
₁La celosía produce Mathieu Moonshine, pero en general el fenómeno aún no tiene una interpretación en términos de geometría.

Origen del término

El término "luz de luna monstruosa" fue acuñado por Conway, quien, cuando John McKay le dijo a finales de la década de 1970 que el coeficiente de (es decir, 196884) era precisamente uno más que el grado de la representación compleja más pequeña y fiel del grupo de monstruos (es decir, 196883). ), respondió que esto era "alcohol ilegal" (en el sentido de ser una idea loca o tonta). ^[b] Así, el término no sólo se refiere al grupo de monstruos M ; también se refiere a la locura percibida de la intrincada relación entre M y la teoría de funciones modulares. ${\displaystyle {q}}$

Observaciones relacionadas

El grupo de monstruos fue investigado en la década de 1970 por los matemáticos Jean-Pierre Serre , Andrew Ogg y John G. Thompson ; estudiaron el cociente del plano hiperbólico por subgrupos de SL ₂ ( R ), particularmente, el normalizador Γ ₀ ( p ) ⁺ del subgrupo de congruencia de Hecke Γ ₀ ( p ) en SL(2, R ). Encontraron que la superficie de Riemann resultante de tomar el cociente del plano hiperbólico por Γ ₀ ( p ) ⁺ tiene género cero si y sólo si p es 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. , 31, 41, 47, 59 o 71. Cuando Ogg se enteró más tarde del grupo de monstruos y notó que éstos eran precisamente los factores primos del tamaño de M , publicó un artículo ofreciendo una botella de whisky Jack Daniel's a cualquiera que podría explicar este hecho (Ogg (1974)).

Notas

1. Conway, J. y Norton, S. "Monstrous Moonshine", Tabla 2a, p. 330, http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.3704&rep=rep1&type=pdf
2. Palabras mundiales: alcohol ilegal

Referencias

1. Una breve introducción a Monstrous Moonshine Valdo Tatitscheff 24 de enero de 2019
2. J. Conway y S. Norton. Luz de luna monstruosa. Toro. Londres. Matemáticas. Soc., 11:308–339, 1979
3. Los matemáticos persiguen la sombra de Moonshine Erica Klarreich 12 de marzo de 2015 https://www.quantamagazine.org/mathematicians-chase-moonshine-string-theory-connections-20150312/
4. Atlas de grupos finitos: subgrupos máximos y caracteres ordinarios para grupos simples. John H. Conway. Oxford [Oxfordshire]: Clarendon Press. 1985.ISBN​ 0-19-853199-0. OCLC  12106933.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: otros ( enlace )
5. T. Eguchi, H. Ooguri, Y. Tachikawa: Notas sobre la superficie K3 y el grupo Mathieu M24. Experto. Matemáticas. 20 91–96 (2011)
6. Gaberdiel, Matías R.; Hohenegger, Stefan; Volpato, Roberto (2012). "Simetrías de modelos K3 sigma". Comunicaciones en Teoría de Números y Física . 6 (1): 1–50. arXiv : 1106.4315 . doi :10.4310/CNTP.2012.v6.n1.a1.
7. Gaberdiel, Matías R.; Persona, Daniel; Ronellenfitsch, Henrik; Volpato, Roberto (2013). "Mathieu Moonshine generalizado". Comunicaciones en Teoría de Números y Física . 7 (1): 145–223. doi : 10.4310/CNTP.2013.v7.n1.a5 . hdl : 11858/00-001M-0000-0010-2478-A .

Fuentes

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• Borcherds, RE (1999), "The Fake Monster Formal Group", Duke Mathematical Journal , 100 (1): 139–165, arXiv : math/9805123 , doi :10.1215/S0012-7094-99-10005-6, S2CID  14404234.
• Borcherds, RE; Ryba, AJE (1996), "Modular Moonshine II", Duke Mathematical Journal , 83 (2): 435–459, doi :10.1215/S0012-7094-96-08315-5, S2CID  119593942.
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enlaces externos

• Bibliografía Moonshine en Wayback Machine (archivada el 5 de diciembre de 2006)