Separatriz (matemáticas)

En matemáticas , una separatriz es el límite que separa dos modos de comportamiento en una ecuación diferencial . ^[1]

Ejemplos

Péndulo simple

Consideremos la ecuación diferencial que describe el movimiento de un péndulo simple :

${\displaystyle {d^{2}\theta \over dt^{2}}+{g \over \ell }\sin \theta =0.}$

donde denota la longitud del péndulo, la aceleración gravitacional y el ángulo que forma el péndulo con la vertical hacia abajo. En este sistema hay una cantidad conservada H (el hamiltoniano ), que viene dada por ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle H={\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}-{\frac {g}{\ell }}\cos \theta .}$

Una vez definido esto, se puede trazar una curva de la constante H en el espacio de fases del sistema. El espacio de fases es un gráfico con θ en el eje horizontal y θ en el eje vertical ( véase la miniatura a la derecha). El tipo de curva resultante depende del valor de H. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$

El espacio de fases para el péndulo simple

Si entonces no existe curva (porque debe ser imaginaria ). ${\displaystyle H<-{\frac {g}{\ell }}}$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$

Si , entonces, la curva será una curva cerrada simple que es casi circular para H pequeña y adquiere forma de "ojo" cuando H se acerca al límite superior. Estas curvas corresponden al péndulo que oscila periódicamente de un lado a otro. ${\displaystyle -{\frac {g}{\ell }}<H<{\frac {g}{\ell }}}$

Si entonces la curva está abierta, y esto corresponde al péndulo que oscila eternamente en círculos completos. ${\displaystyle {\frac {g}{\ell }}<H}$

En este sistema, la separatriz es la curva que corresponde a . Separa —de ahí el nombre— el espacio de fases en dos áreas distintas, cada una con un tipo distinto de movimiento. La región dentro de la separatriz tiene todas las curvas del espacio de fases que corresponden al péndulo oscilando hacia adelante y hacia atrás, mientras que la región fuera de la separatriz tiene todas las curvas del espacio de fases que corresponden al péndulo girando continuamente a través de círculos planos verticales. ${\displaystyle H={\frac {g}{\ell }}}$

Modelo FitzHugh-Nagumo

Cuando , podemos ver fácilmente la separatriz y las dos cuencas de atracción resolviendo las trayectorias hacia atrás en el tiempo. ${\displaystyle b=2,I_{ext}=3.5}$

En el modelo de FitzHugh–Nagumo , cuando la nulclina lineal perfora la nulclina cúbica en las ramas izquierda, media y derecha una vez cada una, el sistema tiene una separatriz. Las trayectorias a la izquierda de la separatriz convergen al equilibrio estable izquierdo, y lo mismo ocurre con las de la derecha. La propia separatriz es la variedad estable para el punto de silla en el medio. Los detalles se encuentran en la página.

La separatriz se puede ver claramente al resolver numéricamente las trayectorias hacia atrás en el tiempo . Dado que al resolver las trayectorias hacia adelante en el tiempo, las trayectorias divergen de la separatriz, al resolverlas hacia atrás en el tiempo, las trayectorias convergen hacia la separatriz.

Referencias

1. Blanchard, Paul, Ecuaciones diferenciales , 4.ª ed., 2012, Brooks/Cole, Boston, MA, pág. 469.

• Logan, J. David, Matemáticas Aplicadas , 3.ª Ed., 2006, John Wiley and Sons, Hoboken, NJ, pág. 65.

Enlaces externos

• Separatriz de MathWorld .