Sedenión

Sistema de numeración hipercomplejo

En álgebra abstracta , los sedeniones forman un álgebra no conmutativa y no asociativa de 16 dimensiones sobre los números reales , usualmente representados por la letra mayúscula S, S en negrita o negrita de pizarra . Se obtienen aplicando la construcción de Cayley-Dickson a los octoniones , y como tales, los octoniones son isomorfos a un subálgebra de los sedeniones. A diferencia de los octoniones, los sedeniones no son un álgebra alternativa . La aplicación de la construcción de Cayley-Dickson a los sedeniones produce un álgebra de 32 dimensiones, a veces llamada 32-iones o trigintaduoniones . ^[1] Es posible continuar aplicando la construcción de Cayley-Dickson arbitrariamente muchas veces. ${\displaystyle \mathbb {S} }$

El término sedenión también se utiliza para otras estructuras algebraicas de 16 dimensiones, como un producto tensorial de dos copias de los biquaternions , o el álgebra de matrices de 4 × 4 sobre los números reales, o la estudiada por Smith (1995).

Aritmética

Una visualización de una extensión 4D del octonión cúbico , ^[2] mostrando las 35 tríadas como hiperplanos a través del vértice real del sedenión dado en el ejemplo. ${\displaystyle (e_{0})}$

Al igual que los octoniones , la multiplicación de sedeniones no es conmutativa ni asociativa . Pero a diferencia de los octoniones, los sedeniones ni siquiera tienen la propiedad de ser alternativos . Sin embargo, sí tienen la propiedad de asociatividad de potencias , que puede enunciarse como que, para cualquier elemento x de , la potencia está bien definida. También son flexibles . ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle x^{n}}$

Cada sedenión es una combinación lineal de los sedeniones unitarios , , , , ..., , que forman una base del espacio vectorial de sedeniones. Cada sedenión se puede representar en la forma ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle e_{15}}$

${\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{14}e_{14}+x_{15}e_{15}.}$

La suma y la resta se definen mediante la suma y resta de los coeficientes correspondientes y la multiplicación es distributiva sobre la suma.

Al igual que otras álgebras basadas en la construcción de Cayley-Dickson , los sedeniones contienen el álgebra a partir de la cual se construyeron. Por lo tanto, contienen los octoniones (generados por a en la tabla siguiente) y, por lo tanto, también los cuaterniones (generados por a ), los números complejos (generados por y ) y los números reales (generados por ). ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{7}}$ ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{0}}$

Los sedeniones tienen un elemento de identidad multiplicativo e inversos multiplicativos, pero no son un álgebra de división porque tienen divisores de cero . Esto significa que dos sedeniones distintos de cero se pueden multiplicar para obtener cero: un ejemplo es . Todos los sistemas de números hipercomplejos posteriores a los sedeniones que se basan en la construcción de Cayley-Dickson también contienen divisores de cero. ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle (e_{3}+e_{10})(e_{6}-e_{15})}$

A continuación se muestra una tabla de multiplicación de sedeniones:

Propiedades de Sedenion

De la tabla anterior podemos ver que:

${\displaystyle e_{0}e_{i}=e_{i}e_{0}=e_{i}\,{\text{for all}}\,i,}$

${\displaystyle e_{i}e_{i}=-e_{0}\,\,{\text{for}}\,\,i\neq 0,}$y

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}\,\,{\text{for}}\,\,i\neq j\,\,{\text{with}}\,\,i,j\neq 0.}$

Antiasociativo

Los sedeniones no son completamente antiasociativos. Elija cuatro generadores cualesquiera y . El siguiente ciclo de 5 muestra que estas cinco relaciones no pueden ser todas antiasociativas. ${\displaystyle i,j,k}$ ${\displaystyle l}$

$${\displaystyle (ij)(kl)=-((ij)k)l=(i(jk))l=-i((jk)l)=i(j(kl))=-(ij)(kl)=0}$$

En particular, en la tabla anterior, utilizando y se asocia la última expresión. ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{4}}$ ${\displaystyle e_{8}}$ ${\displaystyle (e_{1}e_{2})e_{12}=e_{1}(e_{2}e_{12})=-e_{15}}$

Subálgebras cuaterniónicas

Las 35 tríadas que componen esta tabla de multiplicación de sedeniones específica con las 7 tríadas de los octoniones utilizados para crear el sedenión a través de la construcción de Cayley-Dickson que se muestran en negrita:

Las representaciones binarias de los índices de estos triples se transforman bit a bit en XOR a 0.

{ {1, 2, 3} , {1, 4, 5} , {1, 7, 6} , {1, 8, 9}, {1, 11, 10}, {1, 13, 12}, { 1, 14, 15},
{2, 4, 6} , {2, 5, 7}, {2, 8, 10}, {2, 9, 11}, {2, 14, 12}, {2, 15, 13}, {3, 4, 7} ,
{3, 6, 5} , {3, 8, 11}, {3, 10, 9}, {3, 13, 14}, {3, 15, 12}, {4, 8, 12}, {4, 9, 13},
{4, 10, 14}, {4, 11, 15}, {5, 8, 13}, {5, 10, 15}, {5, 12, 9}, {5, 14, 11}, {6, 8, 14},
{6, 11, 13}, {6, 12, 10}, {6, 15, 9}, {7, 8, 15}, {7, 9, 14}, {7, 12, 11} , {7, 13, 10} }

Divisores de cero

La lista de 84 conjuntos de divisores de cero , donde : ${\displaystyle \{e_{a},e_{b},e_{c},e_{d}\}}$ ${\displaystyle (e_{a}+e_{b})\circ (e_{c}+e_{d})=0}$

$${\displaystyle {\begin{array}{c}{\text{Sedenion Zero Divisors}}\quad \{e_{a},e_{b},e_{c},e_{d}\}\\{\text{where}}~(e_{a}+e_{b})\circ (e_{c}+e_{d})=0\\{\begin{array}{ccc}1\leq a\leq 6,&c>a,&9\leq b\leq 15\\9\leq c\leq 15&&-9\geq d\geq -15\end{array}}\\\\{\begin{array}{llll}\{e_{1},e_{10},e_{5},e_{14}\}&\{e_{1},e_{10},e_{4},-e_{15}\}&\{e_{1},e_{10},e_{7},e_{12}\}&\{e_{1},e_{10},e_{6},-e_{13}\}\\\{e_{1},e_{11},e_{4},e_{14}\}&\{e_{1},e_{11},e_{6},-e_{12}\}&\{e_{1},e_{11},e_{5},e_{15}\}&\{e_{1},e_{11},e_{7},-e_{13}\}\\\{e_{1},e_{12},e_{2},e_{15}\}&\{e_{1},e_{12},e_{3},-e_{14}\}&\{e_{1},e_{12},e_{6},e_{11}\}&\{e_{1},e_{12},e_{7},-e_{10}\}\\\{e_{1},e_{13},e_{6},e_{10}\}&\{e_{1},e_{13},e_{2},-e_{14}\}&\{e_{1},e_{13},e_{7},e_{11}\}&\{e_{1},e_{13},e_{3},-e_{15}\}\\\{e_{1},e_{14},e_{2},e_{13}\}&\{e_{1},e_{14},e_{4},-e_{11}\}&\{e_{1},e_{14},e_{3},e_{12}\}&\{e_{1},e_{14},e_{5},-e_{10}\}\\\{e_{1},e_{15},e_{3},e_{13}\}&\{e_{1},e_{15},e_{2},-e_{12}\}&\{e_{1},e_{15},e_{4},e_{10}\}&\{e_{1},e_{15},e_{5},-e_{11}\}\\\\\{e_{2},e_{9},e_{4},e_{15}\}&\{e_{2},e_{9},e_{5},-e_{14}\}&\{e_{2},e_{9},e_{6},e_{13}\}&\{e_{2},e_{9},e_{7},-e_{12}\}\\\{e_{2},e_{11},e_{5},e_{12}\}&\{e_{2},e_{11},e_{4},-e_{13}\}&\{e_{2},e_{11},e_{6},e_{15}\}&\{e_{2},e_{11},e_{7},-e_{14}\}\\\{e_{2},e_{12},e_{3},e_{13}\}&\{e_{2},e_{12},e_{5},-e_{11}\}&\{e_{2},e_{12},e_{7},e_{9}\}&\{e_{2},e_{13},e_{3},-e_{12}\}\\\{e_{2},e_{13},e_{4},e_{11}\}&\{e_{2},e_{13},e_{6},-e_{9}\}&\{e_{2},e_{14},e_{5},e_{9}\}&\{e_{2},e_{14},e_{3},-e_{15}\}\\\{e_{2},e_{14},e_{3},e_{14}\}&\{e_{2},e_{15},e_{4},-e_{9}\}&\{e_{2},e_{15},e_{3},e_{14}\}&\{e_{2},e_{15},e_{6},-e_{11}\}\\\\\{e_{3},e_{9},e_{6},e_{12}\}&\{e_{3},e_{9},e_{4},-e_{14}\}&\{e_{3},e_{9},e_{7},e_{13}\}&\{e_{3},e_{9},e_{5},-e_{15}\}\\\{e_{3},e_{10},e_{4},e_{13}\}&\{e_{3},e_{10},e_{5},-e_{12}\}&\{e_{3},e_{10},e_{7},e_{14}\}&\{e_{3},e_{10},e_{6},-e_{15}\}\\\{e_{3},e_{12},e_{5},e_{10}\}&\{e_{3},e_{12},e_{6},-e_{9}\}&\{e_{3},e_{14},e_{4},e_{9}\}&\{e_{3},e_{13},e_{4},-e_{10}\}\\\{e_{3},e_{15},e_{5},e_{9}\}&\{e_{3},e_{13},e_{7},-e_{9}\}&\{e_{3},e_{15},e_{6},e_{10}\}&\{e_{3},e_{14},e_{7},-e_{10}\}\\\\\{e_{4},e_{9},e_{7},e_{10}\}&\{e_{4},e_{9},e_{6},-e_{11}\}&\{e_{4},e_{10},e_{5},e_{11}\}&\{e_{4},e_{10},e_{7},-e_{9}\}\\\{e_{4},e_{11},e_{6},e_{9}\}&\{e_{4},e_{11},e_{5},-e_{10}\}&\{e_{4},e_{13},e_{6},e_{15}\}&\{e_{4},e_{13},e_{7},-e_{14}\}\\\{e_{4},e_{14},e_{7},e_{13}\}&\{e_{4},e_{14},e_{5},-e_{15}\}&\{e_{4},e_{15},e_{5},e_{14}\}&\{e_{4},e_{15},e_{6},-e_{13}\}\\\\\{e_{5},e_{10},e_{6},e_{9}\}&\{e_{5},e_{9},e_{6},-e_{10}\}&\{e_{5},e_{11},e_{7},e_{9}\}&\{e_{5},e_{9},e_{7},-e_{11}\}\\\{e_{5},e_{12},e_{7},e_{14}\}&\{e_{5},e_{12},e_{6},-e_{15}\}&\{e_{5},e_{15},e_{6},e_{12}\}&\{e_{5},e_{14},e_{7},-e_{12}\}\\\\\{e_{6},e_{11},e_{7},e_{10}\}&\{e_{6},e_{10},e_{7},-e_{11}\}&\{e_{6},e_{13},e_{7},e_{12}\}&\{e_{6},e_{12},e_{7},-e_{13}\}\end{array}}\end{array}}}$$

Aplicaciones

Moreno (1998) demostró que el espacio de pares de sedeniones de norma uno que se multiplican a cero es homeomorfo a la forma compacta del grupo de Lie excepcional G 2 . (Nótese que en su artículo, un "divisor de cero" significa un par de elementos que se multiplican a cero.)

Guillard y Gresnigt (2019) demostraron que las tres generaciones de leptones y quarks que están asociadas con una simetría de calibre ininterrumpida se pueden representar utilizando el álgebra de los sedeniones complejizados . Su razonamiento sigue que un proyector idempotente primitivo —donde se elige como una unidad imaginaria similar a para en el plano de Fano— que actúa sobre la base estándar de los sedeniones divide de manera única el álgebra en tres conjuntos de elementos de base divididos para , cuyas acciones izquierdas adjuntas sobre sí mismas generan tres copias del álgebra de Clifford que a su vez contienen ideales izquierdos mínimos que describen una sola generación de fermiones con simetría de calibre ininterrumpida . En particular, señalan que los productos tensoriales entre álgebras de división normadas generan divisores de cero similares a los del interior de , donde la falta de alternatividad y asociatividad no afecta a la construcción de ideales mínimos de izquierda ya que su base dividida subyacente requiere solo que se multipliquen juntos dos elementos de base, en los que la asociatividad o la alternatividad no están involucradas. Aún así, estos ideales construidos a partir de un álgebra adjunta de acciones de izquierda del álgebra sobre sí misma siguen siendo asociativos, alternativos e isomorfos a un álgebra de Clifford. En conjunto, esto permite que existan tres copias de dentro de . Además, estas tres subálgebras de octoniones complejizadas no son independientes; comparten una subálgebra común, que los autores señalan que podría formar una base teórica para las matrices CKM y PMNS que, respectivamente, describen la mezcla de quarks y las oscilaciones de neutrinos . ${\displaystyle \mathrm {SU(3)_{c}\times U(1)_{em}} }$ ${\displaystyle \mathbb {C\otimes S} }$ ${\displaystyle \rho _{+}=1/2(1+ie_{15})}$ ${\displaystyle e_{15}}$ ${\displaystyle e_{7}}$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$ ${\displaystyle \mathbb {C\otimes O} }$ ${\displaystyle \mathrm {C} l(6)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU(3)_{c}\times U(1)_{em}} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {C\otimes O} }$ ${\displaystyle (\mathbb {C\otimes O} )_{L}\cong \mathrm {Cl(6)} }$ ${\displaystyle \mathbb {(C\otimes S)} _{L}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} l(2)}$

Las redes neuronales de Sedenion proporcionan ^{[ se necesita más explicación ]} un medio de expresión eficiente y compacto en aplicaciones de aprendizaje automático y se han utilizado para resolver múltiples problemas de series temporales y pronóstico de tráfico. ^{[3] [4]}

Véase también

• La identidad de dieciséis cuadrados de Pfister
• Número complejo dividido

Notas

1. Raoul E. Cawagas, et al. (2009). "LA ESTRUCTURA BÁSICA DEL SUBÁLGEBRA DEL ÁLGEBRA DE CAYLEY-DICKSON DE DIMENSIÓN 32 (TRIGINTADUONIONES)".
2. (Baez 2002, pág. 6)
3. Saoud, Lyes Saad; Al-Marzouqi, Hasan (2020). "Red neuronal metacognitiva basada en valores de sedeniones y su algoritmo de aprendizaje". IEEE Access . 8 : 144823–144838. doi : 10.1109/ACCESS.2020.3014690 . ISSN  2169-3536.
4. Kopp, Michael; Kreil, David; Neun, Moritz; Jonietz, David; Martin, Henry; Herruzo, Pedro; Gruca, Aleksandra; Soleymani, Ali; Wu, Fanyou; Liu, Yang; Xu, Jingwei (7 de agosto de 2021). "Traffic4cast en NeurIPS 2020: más información sobre la eficacia irrazonable de los procesos geoespaciales en cuadrícula". NeurIPS 2020 Competition and Demonstration Track . PMLR: 325–343.

Referencias

• Imaeda, K.; Imaeda, M. (2000), "Sedenions: álgebra y análisis", Applied Mathematics and Computation , 115 (2): 77–88, doi :10.1016/S0096-3003(99)00140-X, MR  1786945
• Baez, John C. (2002). "Los octoniones". Boletín de la American Mathematical Society . Nueva serie. 39 (2): 145–205. arXiv : math/0105155 . doi :10.1090/S0273-0979-01-00934-X. MR  1886087. S2CID  586512.
• Biss, Daniel K.; Christensen, J. Daniel; Dugger, Daniel; Isaksen, Daniel C. (2007). "Grandes aniquiladores en las álgebras de Cayley-Dickson II". Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana . 3 : 269–292. arXiv : math/0702075 . Código Bibliográfico :2007math......2075B.
• Guillard, Adam B.; Gresnigt, Niels G. (2019). "Tres generaciones de fermiones con dos simetrías de calibración ininterrumpidas a partir de los sedeniones complejos". The European Physical Journal C . 79 (5). Springer : 1–11 (446). arXiv : 1904.03186 . Código Bibliográfico :2019EPJC...79..446G. doi :10.1140/epjc/s10052-019-6967-1. S2CID  102351250.
• Kinyon, MK; Phillips, JD; Vojtěchovský, P. (2007). "C-bucles: extensiones y construcciones". Revista de álgebra y sus aplicaciones . 6 (1): 1–20. arXiv : math/0412390 . CiteSeerX  10.1.1.240.6208 . doi :10.1142/S0219498807001990. S2CID  48162304.
• Kivunge, Benard M.; Smith, Jonathan D. H (2004). "Subbucles de sedeniones" (PDF) . Comentario. Math. Univ. Carolinae . 45 (2): 295–302.
• Moreno, Guillermo (1998), "Los divisores de cero de las álgebras de Cayley–Dickson sobre los números reales", Bol. Soc. Mat. Mexicana , Serie 3, 4 (1): 13–28, arXiv : q-alg/9710013 , Bibcode :1997q.alg....10013G, MR  1625585
• Smith, Jonathan DH (1995), "Un bucle izquierdo en la esfera 15", Journal of Algebra , 176 (1): 128–138, doi : 10.1006/jabr.1995.1237 , MR  1345298
• LS Saoud y H. Al-Marzouqi, "Red neuronal metacognitiva con valores de sedimentación y su algoritmo de aprendizaje", en IEEE Access, vol. 8, págs. 144823-144838, 2020, doi:10.1109/ACCESS.2020.3014690.