En combinatoria aditiva , una sucesión de Šindel es una sucesión periódica de números enteros con la propiedad de que sus sumas parciales incluyen todos los números triangulares . Por ejemplo, la sucesión que comienza con 1, 2, 3, 4, 3, 2 es una sucesión de Šindel, con las sumas parciales triangulares
etc. [1] Otra forma de describir dicha secuencia es que se puede dividir en subsecuencias contiguas cuyas sumas son los números enteros consecutivos: [2]
Este ejemplo en particular se utiliza en el engranaje del reloj astronómico de Praga , como parte de un mecanismo para hacer sonar las campanas del reloj el número correcto de veces en cada hora. Las secuencias de Šindel reciben su nombre de Jan Šindel , un científico checo de los siglos XIV y XV cuyos cálculos se utilizaron en el diseño del reloj de Praga. [3] [4] La definición y el nombre de estas secuencias fueron dados por Michal Křížek, Alena Šolcová y Lawrence Somer, en su trabajo de análisis de las matemáticas del reloj de Praga. [5]
Si denota la suma de los números dentro de un único período de una secuencia periódica, y es impar, entonces solo se deben verificar los números triangulares hasta , para determinar si se trata de una secuencia de Šindel. Si todos estos números triangulares son sumas parciales de la secuencia, entonces todos los números triangulares mayores también lo serán. [6] Para valores pares de , se debe verificar un conjunto mayor de números triangulares, hasta . [7]
En el reloj de Praga, un engranaje auxiliar con ranuras espaciadas a intervalos de 1, 2, 3, 4, 3 y 2 unidades (repitiéndose en el ejemplo la secuencia de Šindel en cada una de sus rotaciones) está sincronizado con y regula el movimiento de otro engranaje más grande cuyas ranuras están espaciadas a intervalos de 1, 2, 3, 4, 5, ..., 24 unidades, girando una vez al día y su espaciamiento controlando el número de campanadas en cada hora. Para mantener sincronizados estos dos engranajes, es importante que, por cada revolución del engranaje grande, el engranaje pequeño también gire un número entero de veces. Matemáticamente, esto significa que la suma del período de la secuencia de Šindel debe dividir de manera uniforme a , la suma de los intervalos de espaciamiento del engranaje grande. [3] Por esta razón, es interesante encontrar secuencias de Šindel con una suma de período dada . En relación con este problema, una secuencia primitiva de Šindel , es una secuencia de Šindel cuyos dos números no pueden reemplazarse por su suma, formando una secuencia de Šindel más corta. Para cada existe una única secuencia primitiva de Šindel que tiene una suma de períodos igual a . Sin embargo, tenga en cuenta que esta secuencia puede formarse repitiendo una secuencia de Šindel más corta más de una vez. [8]
Una secuencia que simplemente repite el número 1, con cualquier período, es una secuencia de Šindel, y se llama secuencia trivial de Šindel . Si es una potencia de dos , entonces la secuencia trivial de Šindel con período es primitiva, y es la única secuencia primitiva de Šindel con suma de períodos . Para cualquier otra elección de , la única secuencia primitiva de Šindel con suma de períodos no es trivial. [9]
