Cuerpo Sears-Haack

La forma más aerodinámica para vehículos supersónicos y de aapo hintikka

Cuerpo Sears-Haack

El cuerpo de Sears-Haack es la forma con la menor resistencia teórica de onda en el flujo supersónico, para un cuerpo sólido delgado de revolución con una longitud y un volumen dados. La derivación matemática supone un flujo supersónico de pequeña perturbación (linealizado), que se rige por la ecuación de Prandtl-Glauert . La derivación y la forma fueron publicadas de forma independiente por dos investigadores distintos: Wolfgang Haack en 1941 y, posteriormente, por William Sears en 1947. ^{[1] [2] [3]}

La teoría de Kármán-Moore indica que la resistencia de las olas aumenta de acuerdo con el cuadrado de la segunda derivada de la distribución del área (véase la expresión completa a continuación), por lo que para una resistencia de las olas baja es necesario que sea suave . Por lo tanto, el cuerpo de Sears-Haack es puntiagudo en cada extremo y crece suavemente hasta un máximo y luego disminuye suavemente hacia el segundo punto. ${\displaystyle D_{\text{wave}}\sim [S''(x)]^{2}}$ ${\displaystyle S(x)}$

Fórmulas útiles

El área de la sección transversal de un cuerpo de Sears-Haack es

${\displaystyle S(x)={\frac {16V}{3L\pi }}[4x(1-x)]^{3/2}=\pi R_{\text{max}}^{2}[4x(1-x)]^{3/2},}$

Su volumen es

${\displaystyle V={\frac {3\pi ^{2}}{16}}R_{\text{max}}^{2}L,}$

Su radio es

${\displaystyle r(x)=R_{\text{max}}[4x(1-x)]^{3/4},}$

La derivada (pendiente) es

${\displaystyle r'(x)=3R_{\text{max}}[4x(1-x)]^{-1/4}(1-2x),}$

La segunda derivada es

${\displaystyle r''(x)=-3R_{\text{max}}\{[4x(1-x)]^{-5/4}(1-2x)^{2}+2[4x(1-x)]^{-1/4}\},}$

dónde:

• x es la relación entre la distancia desde la nariz y la longitud total del cuerpo (siempre está entre 0 y 1),
• r es el radio local,
• ${\displaystyle R_{\text{max}}}$es el radio en su máximo (ocurre en x = 0,5, centro de la forma),
• V es el volumen,
• L es la longitud.

De la teoría de Kármán-Moore se desprende que:

${\displaystyle D_{\text{wave}}=-{\frac {1}{4\pi }}\rho U^{2}\int _{0}^{\ell }\int _{0}^{\ell }S''(x_{1})S''(x_{2})\ln |x_{1}-x_{2}|\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2},}$

alternativamente:

${\displaystyle D_{\text{wave}}=-{\frac {1}{2\pi }}\rho U^{2}\int _{0}^{\ell }S''(x)\mathrm {d} x\int _{0}^{x}S''(x_{1})\ln(x-x_{1})\mathrm {d} x_{1}.}$

Estas fórmulas se pueden combinar para obtener lo siguiente:

${\displaystyle D_{\text{wave}}={\frac {64V^{2}}{\pi L^{4}}}\rho U^{2}={\frac {9\pi ^{3}R_{max}^{4}}{4L^{2}}}\rho U^{2},}$

${\displaystyle C_{D_{\text{wave}}}={\frac {24V}{L^{3}}}={\frac {9\pi ^{2}R_{max}^{2}}{2L^{2}}},}$

dónde:

• ${\displaystyle D_{\text{wave}}}$es la fuerza de arrastre de las olas ,
• ${\displaystyle C_{D_{\text{wave}}}}$es el coeficiente de arrastre (normalizado por la presión dinámica y el área frontal),
• ${\displaystyle \rho }$es la densidad del fluido,
• U es la velocidad.

Derivación

Según la teoría de Kármán-Moore , la fuerza de arrastre de las olas viene dada por

${\displaystyle F=-{\frac {\rho U^{2}}{2\pi }}\int _{0}^{l}\int _{0}^{l}S''(\xi _{1})S''(\xi _{2})\ln |\xi _{2}-\xi _{1}|d\xi _{1}d\xi _{2}}$

donde es el área de la sección transversal del cuerpo perpendicular al eje del cuerpo; aquí representa el borde de ataque y es el borde de salida, aunque la teoría de Kármán-Moore no distingue estos extremos porque el coeficiente de arrastre es independiente de la dirección del movimiento en la teoría lineal. En lugar de , podemos definir la función y desarrollarla en serie ${\displaystyle S(x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=l}$ ${\displaystyle S(x)}$ ${\displaystyle f(x)=S'(x)}$

${\displaystyle f=-l\sum _{n=2}^{\infty }A_{n}\sin n\theta ,\quad x={\frac {l}{2}}(1-\cos \theta )}$

donde . La serie comienza desde debido a la condición . Tenemos ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle S(0)=S(l)=0}$

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}f(x)dx,\quad V=\int _{0}^{l}S(x)dx={\frac {\pi }{16}}l^{3}A_{2}.}$

Nótese que el volumen del cuerpo depende únicamente del coeficiente . ${\displaystyle A_{2}}$

Para calcular la fuerza de arrastre, primero reescribiremos la fórmula de fuerza de arrastre, integrando por partes una vez,

${\displaystyle F=\mathrm {p.v.} {\frac {\rho U^{2}}{2\pi }}\int _{0}^{l}\int _{0}^{l}f(\xi _{1})f'(\xi _{2}){\frac {d\xi _{1}d\xi _{2}}{\xi _{1}-\xi _{2}}}}$

donde representa el valor principal de Cauchy . Ahora podemos sustituir la expansión por e integrar la expresión utilizando las dos identidades siguientes ${\displaystyle \mathrm {p.v.} }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathrm {p.v.} \int _{0}^{\pi }{\frac {\cos n\theta _{2}}{\cos \theta _{2}-\cos \theta _{1}}}d\theta _{2}={\frac {\pi \sin n\theta _{1}}{\sin \theta _{1}}},\quad \int _{0}^{\pi }\sin n\theta _{1}\sin m\theta _{1}d\theta _{1}={\frac {\pi }{2}}{\begin{cases}1\,\,(m=n),\\0,\,\,(m\neq n).\end{cases}}}$

El resultado final, expresado en términos del coeficiente de arrastre , se da simplemente por ^[4] ${\displaystyle C_{d}=F/\rho U^{2}l^{2}/2}$

${\displaystyle C_{d}={\frac {\pi }{4}}\sum _{n=2}^{\infty }nA_{n}^{2}.}$

Dado que depende únicamente de , el valor mínimo de se alcanza cuando para . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A_{n}=0}$ ${\displaystyle n\geq 3}$

Así, fijando para , obtenemos , ${\displaystyle A_{n}=0}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle S=(1/3)l^{3}A_{2}\sin ^{3}\theta }$

${\displaystyle C_{d}={\frac {128}{\pi }}\left({\frac {V}{l^{3}}}\right)^{2}={\frac {9\pi }{2}}\left({\frac {S_{\mathrm {max} }}{l^{2}}}\right)^{2},\quad R(x)={\frac {8{\sqrt {2}}}{\pi }}\left({\frac {V}{3l^{4}}}\right)^{1/2}[x(l-x)]^{3/4},}$

donde es el radio en función de . ${\displaystyle R(x)}$ ${\displaystyle x}$

Generalización de RT Jones

La derivación de la forma del cuerpo de Sears-Haack es correcta solo en el límite de un cuerpo delgado. Robert T. Jones ha generalizado la teoría a formas delgadas pero no axisimétricas en el Informe 1284 de la NACA . ^[5] En esta extensión, el área se define en el cono de Mach cuyo vértice está en la ubicación , en lugar de en el plano como asumieron Sears y Haack. Por lo tanto, la teoría de Jones la hace aplicable a formas más complejas como aviones supersónicos completos. ${\displaystyle S(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x={\text{constant}}}$

Regla de área

Un concepto superficialmente relacionado es la regla del área de Whitcomb , que establece que la resistencia de las olas debido al volumen en el flujo transónico depende principalmente de la distribución del área transversal total, y para una resistencia de las olas baja, esta distribución debe ser uniforme. Un error común es pensar que el cuerpo de Sears-Haack tiene la distribución de área ideal según la regla del área, pero esto no es correcto. La ecuación de Prandtl-Glauert , que es el punto de partida en la derivación de la forma del cuerpo de Sears-Haack, no es válida en el flujo transónico, que es donde se aplica la regla del área .

Véase también

• Transformación de Prandtl-Glauert
• Aerodinámica
• Cuerpo antichoque
• Cono de nariz de la serie Haack
• Regla de área
• Limón (geometría)

Referencias

1. Haack, W. (1941). Geschossformen kleinsten wellenwiderstandes. Bericht der Lilienthal-Gesellschaft, 136(1), 14-28.
2. Sears, WR (1947). Sobre proyectiles de mínima resistencia de onda. Quarterly of Applied Mathematics, 4(4), 361-366.
3. Palaniappan, Karthik (2004). Cuerpos con arrastre de presión mínimo en flujo supersónico: investigación de efectos no lineales (PDF) . 22.ª Conferencia y exposición sobre aerodinámica aplicada. Antony Jameson . Consultado el 16 de septiembre de 2010 .
4. Landau, LD y Lifshitz, EM (2013). Mecánica de fluidos: Landau y Lifshitz: curso de física teórica, volumen 6 (Vol. 6). Elsevier. página 473-474.
5. Informe 1284 de la NACA, Teoría de la resistencia aerodinámica del cuerpo del ala a velocidades supersónicas, por Robert T. Jones, 8 de julio de 1953

Enlaces externos

• El sitio web de Haack Minimum Drag Rifle Bullet está inactivo: https://web.archive.org/web/20160306044740/http://www.lima-wiederladetechnik.de/englisch/haack_minimum_drag_bullet.htm
• Geschoßformen kleinsten Wellenwiderstandes de W. Haack, Bericht 139 der Lilienthal-Gesellschaft (1941)
• Calculadora corporal Sears-Haack