Velocidad relativa

Velocidad medida en relación con un observador

Movimiento relativo de un hombre en un tren

La velocidad relativa de un objeto B con respecto a un observador A , denotada (también o ), es el vector de velocidad de B medido en el marco de reposo de A. La rapidez relativa es la norma vectorial de la velocidad relativa. ${\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid A}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{BA}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{B\operatorname {rel} A}}$ ${\displaystyle v_{B\mid A}=\|\mathbf {v} _{B\mid A}\|}$

Mecánica clásica

En una dimensión (no relativista)

Comenzamos con el movimiento relativo en la clásica (o no relativista , o la aproximación newtoniana ) de que todas las velocidades son mucho menores que la velocidad de la luz. Este límite está asociado con la transformación de Galileo . La figura muestra a un hombre en la parte superior de un tren, en el borde trasero. A la 1:00 pm comienza a caminar hacia adelante a una velocidad de 10 km/h (kilómetros por hora). El tren se mueve a 40 km/h. La figura representa al hombre y al tren en dos momentos diferentes: primero, cuando comenzó el viaje, y también una hora después, a las 2:00 pm. La figura sugiere que el hombre está a 50 km del punto de partida después de haber viajado (caminando y en tren) durante una hora. Esto, por definición, es 50 km/h, lo que sugiere que la prescripción para calcular la velocidad relativa de esta manera es sumar las dos velocidades.

El diagrama muestra relojes y reglas para recordar al lector que, si bien la lógica detrás de este cálculo parece impecable, hace suposiciones falsas sobre cómo se comportan los relojes y las reglas. (Véase El experimento mental del tren y la plataforma ). Para reconocer que este modelo clásico de movimiento relativo viola la relatividad especial , generalizamos el ejemplo en una ecuación:

${\displaystyle \underbrace {\mathbf {v} _{M\mid E}} _{\text{50 km/h}}=\underbrace {\mathbf {v} _{M\mid T}} _{\text{10 km/h}}+\underbrace {\mathbf {v} _{T\mid E}} _{\text{40 km/h}},}$

dónde:

${\displaystyle \mathbf {v} _{M\mid E}}$es la velocidad del M con respecto a la Tierra,

${\displaystyle \mathbf {v} _{M\mid T}}$es la velocidad del hombre con respecto al tren ,

${\displaystyle \mathbf {v} _{T\mid E}}$es la velocidad del tren con respecto a la Tierra.

Entre las expresiones plenamente válidas para "la velocidad de A con respecto a B" se encuentran "la velocidad de A con respecto a B" y "la velocidad de A en el sistema de coordenadas donde B está siempre en reposo". La violación de la relatividad especial se produce porque esta ecuación para la velocidad relativa predice falsamente que diferentes observadores medirán diferentes velocidades al observar el movimiento de la luz. ^{[nota 1]}

En dos dimensiones (no relativista)

Velocidades relativas entre dos partículas en la mecánica clásica

La figura muestra dos objetos A y B que se mueven a velocidad constante. Las ecuaciones de movimiento son:

${\displaystyle \mathbf {r} _{A}=\mathbf {r} _{Ai}+\mathbf {v} _{A}t,}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{B}=\mathbf {r} _{Bi}+\mathbf {v} _{B}t,}$

donde el subíndice i se refiere al desplazamiento inicial (en el instante t igual a cero). La diferencia entre los dos vectores de desplazamiento, , representa la posición de B vista desde A. ${\displaystyle \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A}}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A}=\underbrace {\mathbf {r} _{Bi}-\mathbf {r} _{Ai}} _{\text{initial separation}}+\underbrace {(\mathbf {v} _{B}-\mathbf {v} _{A})t} _{\text{relative velocity}}.}$

Por eso:

${\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid A}=\mathbf {v} _{B}-\mathbf {v} _{A}.}$

Después de hacer las sustituciones y , tenemos: ${\displaystyle \mathbf {v} _{A|C}=\mathbf {v} _{A}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{B|C}=\mathbf {v} _{B}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid A}=\mathbf {v} _{B\mid C}-\mathbf {v} _{A\mid C}\Rightarrow }$   ${\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid C}=\mathbf {v} _{B\mid A}+\mathbf {v} _{A\mid C}.}$

Transformación galileana (no relativista)

Para construir una teoría del movimiento relativo que sea coherente con la teoría de la relatividad especial, debemos adoptar una convención diferente. Continuando con el trabajo en el límite newtoniano (no relativista), comenzamos con una transformación galileana en una dimensión: ^{[nota 2]}

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle t'=t}$

donde x' es la posición vista por un marco de referencia que se mueve a velocidad, v, en el marco de referencia "no primado" (x). ^{[nota 3]} Tomando la diferencial de la primera de las dos ecuaciones anteriores, tenemos, , y lo que puede parecer la afirmación obvia ^{[nota 4]} de que , tenemos: ${\displaystyle dx'=dx-v\,dt}$ ${\displaystyle dt'=dt}$

${\displaystyle {\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx}{dt}}-v}$

Para recuperar las expresiones anteriores para la velocidad relativa, suponemos que la partícula A sigue la trayectoria definida por dx/dt en el sistema de referencia no primado (y, por lo tanto, dx ′/ dt ′ en el sistema de referencia primado). Por lo tanto , y , donde y se refieren al movimiento de A visto por un observador en el sistema de referencia no primado y primado, respectivamente. Recordemos que v es el movimiento de un objeto estacionario en el sistema de referencia primado, visto desde el sistema de referencia no primado. Por lo tanto, tenemos , y: ${\displaystyle dx/dt=v_{A\mid O}}$ ${\displaystyle dx'/dt=v_{A\mid O'}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O'}$ ${\displaystyle v=v_{O'\mid O}}$

${\displaystyle v_{A\mid O'}=v_{A\mid O}-v_{O'\mid O}\Rightarrow v_{A\mid O}=v_{A\mid O'}+v_{O'\mid O},}$

donde la última forma tiene la simetría deseada (fácilmente aprendida).

Relatividad especial

Al igual que en la mecánica clásica, en la relatividad especial la velocidad relativa es la velocidad de un objeto u observador B en el sistema de reposo de otro objeto u observador A. Sin embargo, a diferencia del caso de la mecánica clásica, en la relatividad especial, generalmente no es el caso que ${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }=-\mathbf {v} _{\mathrm {A|B} }}$

Esta peculiar falta de simetría está relacionada con la precesión de Thomas y el hecho de que dos transformaciones de Lorentz sucesivas rotan el sistema de coordenadas. Esta rotación no tiene efecto sobre la magnitud de un vector y, por lo tanto, la velocidad relativa es simétrica.

${\displaystyle \|\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }\|=\|\mathbf {v} _{\mathrm {A|B} }\|=v_{\mathrm {B|A} }=v_{\mathrm {A|B} }}$

Velocidades paralelas

En el caso en que dos objetos viajan en direcciones paralelas, la fórmula relativista para la velocidad relativa es similar en forma a la fórmula para la suma de velocidades relativistas.

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }}{1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}$

La velocidad relativa viene dada por la fórmula:

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\left|\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\right|}{1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}$

Velocidades perpendiculares

En el caso en que dos objetos viajan en direcciones perpendiculares, la velocidad relativa relativista viene dada por la fórmula: ${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{\gamma _{\mathrm {A} }}}-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }}$

dónde

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}}$

La velocidad relativa viene dada por la fórmula

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\sqrt {c^{4}-\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right)\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}}{c}}}$

Caso general

La fórmula general para la velocidad relativa de un objeto u observador B en el marco de reposo de otro objeto u observador A viene dada por la fórmula: ^[1] ${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {1}{\gamma _{\mathrm {A} }\left(1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}\right)}}\left[\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }+\mathbf {v} _{\mathrm {A} }(\gamma _{\mathrm {A} }-1)\left({\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{v_{\mathrm {A} }^{2}}}-1\right)\right]}$

dónde

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}}$

La velocidad relativa viene dada por la fórmula

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\sqrt {1-{\frac {\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right)\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}{\left(c^{2}-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {B} }\right)^{2}}}}}\cdot c}$

Véase también

• Efecto Doppler
• Geometría no euclidiana § Geometrías cinemáticas
• Velocidad peculiar
• Movimiento propio
• Velocidad de alcance
• Velocidad radial
• Rapidez
• Velocidad relativista
• Velocidad espacial (astronomía)

Notas

1. Por ejemplo, sustituya "Hombre" por un fotón que viaja a la velocidad de la luz.
2. Este resultado es válido si todo el movimiento está restringido al eje x, pero se puede generalizar fácilmente reemplazando la primera ecuación por ${\displaystyle \mathbf {r} \,'=\mathbf {r} -\mathbf {v} t}$
3. Es fácil confundirse con el signo menos antes de v , o si v está definido en el sistema de referencia principal o no principal. Puede resultar útil visualizar el hecho de que si x  =  vt , entonces x ′ = 0, lo que significa que una partícula que sigue la trayectoria x  =  vt está en reposo en el sistema de referencia principal.
4. Tenga en cuenta que, debido a la dilatación del tiempo , dt  =  dt ′ es válido solo en la aproximación de que la velocidad es mucho menor que la de la luz.

Referencias

1. Fock 1964 La teoría del espacio-tiempo y la gravitación, recuperado de https://archive.org/details/TheTheoryOfSpaceTimeGravitation

Lectura adicional

• Alonso & Finn, Física Universitaria Fundamental ISBN  0-201-56518-8
• Greenwood, Donald T, Principios de dinámica.
• Goodman y Warner, Dinámica.
• Beer y Johnston, Estática y Dinámica.
• Diccionario McGraw Hill de Física y Matemáticas.
• Rindler, W., Relatividad esencial.
• KHURMI RS, Mecánica, Ingeniería mecánica, Estática, Dinámica

Enlaces externos

• Movimiento relativo en HyperPhysics
• Una aplicación Java que ilustra la velocidad relativa, por Andrew Duffy
• Relatív mozgás (1)...(3) Movimiento relativo de dos trenes (1)...(3). Vídeos en el portal FizKapu. (en húngaro)
• Sebességek összegzése Relativa tranquilidad de las truchas en el arroyo. Vídeo en el portal FizKapu. (en húngaro)