Rutas de la sección de la Tierra

Plano curvado por la intersección de un elipsoide terrestre y un plano

Sección plana de un elipsoide

Las trayectorias de secciones terrestres son curvas planas definidas por la intersección de un elipsoide terrestre y un plano ( secciones planas de elipsoide ). Los ejemplos comunes incluyen la gran elipse (que contiene el centro del elipsoide) y las secciones normales (que contienen una dirección normal del elipsoide ). Las trayectorias de secciones terrestres son útiles como soluciones aproximadas para problemas geodésicos , el cálculo directo e inverso de distancias geográficas . La solución rigurosa de problemas geodésicos implica curvas oblicuas conocidas como geodésicas .

Problema inverso

El problema inverso para las secciones terrestres es: dados dos puntos, y en la superficie del elipsoide de referencia, encuentre la longitud, , del arco corto de una sección esferoide desde hasta y encuentre también los acimutes de salida y llegada (ángulo desde el norte verdadero) de esa curva, y . La figura de la derecha ilustra la notación utilizada aquí. Sea latitud y longitud geodésicas ( k = 1,2). Este problema se resuelve mejor utilizando geometría analítica en coordenadas cartesianas centradas en la Tierra, fijas en la Tierra (ECEF). Sea y las coordenadas ECEF de los dos puntos, calculadas utilizando la transformación geodésica a ECEF analizada aquí . ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle s_{12}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle P_{k}}$ ${\displaystyle \phi _{k}}$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$ ${\displaystyle R_{1}=\mathrm {ECEF} (P_{1})}$ ${\displaystyle R_{2}=\mathrm {ECEF} (P_{2})}$

Esto ilustra la notación utilizada para los problemas geodésicos analizados aquí.

Plano de sección

Para definir el plano de sección, seleccione cualquier tercer punto que no esté en la línea de a . Si elige estar en la normal de la superficie en , se definirá la sección normal en . Si es el origen, entonces la sección de la Tierra es la gran elipse. (El origen sería colineal con 2 puntos antípodas, por lo que se debe usar un punto diferente en ese caso). Dado que hay infinitas opciones para , el problema anterior es realmente una clase de problemas (uno para cada plano). Sea dado. Para poner la ecuación del plano en la forma estándar, , donde , requiere los componentes de un vector unitario , , normal al plano de sección. Estos componentes se pueden calcular de la siguiente manera: El vector de a es , y el vector de a es . Por lo tanto, ), donde es el vector unitario en la dirección de . La convención de orientación utilizada aquí es que apunta a la izquierda de la trayectoria. Si este no es el caso, redefina . Finalmente, el parámetro d para el plano se puede calcular utilizando el producto escalar de con un vector desde el origen hasta cualquier punto en el plano, como , es decir . La ecuación del plano (en forma vectorial) es entonces , donde es el vector de posición de . ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle lx+my+nz=d}$ ${\displaystyle l^{2}+m^{2}+n^{2}=1}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} =(l,m,n)}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =\mathbf {R_{1}} -\mathbf {R_{0}} }$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {V_{1}} =\mathbf {R_{2}} -\mathbf {R_{1}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} =\mathrm {unit} (\mathbf {V_{0}} \times \mathbf {V_{1}} )}$ ${\displaystyle \mathrm {unit} (\mathbf {V} )}$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} }$ ${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =-\mathbf {V_{0}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} }$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle d=\mathbf {\hat {N}} \cdot \mathbf {R_{1}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} \cdot \mathbf {R} =d}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

Azimut

El examen de la transformación de ENU a ECEF revela que las coordenadas ECEF de un vector unitario que apunta al este en cualquier punto del elipsoide son: , un vector unitario que apunta al norte es , y un vector unitario que apunta hacia arriba es . Un vector tangente a la trayectoria es: por lo que el componente este de es , y el componente norte es . Por lo tanto, el acimut se puede obtener a partir de una función arcotangente de dos argumentos , . Utilice este método tanto en como para obtener y . ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} =(-\sin \lambda ,\cos \lambda ,0)}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =(-\sin \phi \cos \lambda ,-\sin \phi \sin \lambda ,\cos \phi )}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} =(\cos \phi \cos \lambda ,\cos \phi \sin \lambda ,\sin \phi )}$ ${\displaystyle \mathbf {t} =\mathbf {\hat {N}} \times \mathbf {\hat {u}} }$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {e}} }$ ${\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \alpha =\operatorname {atan2} (\mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {e}} ,\mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {n}} )}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$

Sección elipse

La intersección (no trivial) de un plano y un elipsoide es una elipse. Por lo tanto, la longitud del arco, , en la trayectoria de la sección desde hasta es una integral elíptica que se puede calcular con cualquier precisión deseada utilizando una serie truncada o una integración numérica. Antes de que esto se pueda hacer, se debe definir la elipsoide y calcular los límites de integración. Sea el elipsoide dado por , y sea . Si entonces la sección es un círculo horizontal de radio , que no tiene solución si . ${\displaystyle s_{12}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle p={\sqrt {l^{2}+m^{2}}}}$ ${\displaystyle p=0}$ ${\textstyle a{\sqrt {1-{\frac {d^{2}}{b^{2}}}}}}$ ${\displaystyle |d|>b}$

Si entonces Gilbertson ^[1] demostró que las coordenadas ECEF del centro de la elipse son , donde , ${\displaystyle p>0}$ ${\textstyle {R_{c}}={\frac {d}{C}}(la^{2},ma^{2},nb^{2})}$ ${\displaystyle C=a^{2}p^{2}+b^{2}n^{2}}$

el semieje mayor es , en la dirección , y el semieje menor es , en la dirección , que no tiene solución si . ${\textstyle a^{*}=a{\sqrt {1-{\frac {d^{2}}{C}}}}}$ ${\textstyle \mathbf {{\hat {i}}^{*}} =\left({\frac {m}{p}},{\frac {-l}{p}},0\right)}$ ${\textstyle b^{*}={\frac {b}{\sqrt {C}}}a^{*}}$ ${\textstyle \mathbf {{\hat {j}}^{*}} =\left({\frac {ln}{p}},{\frac {mn}{p}},-p\right)}$ ${\displaystyle |d|>{\sqrt {C}}}$

Longitud del arco

El documento mencionado anteriormente proporciona una derivación para una fórmula de longitud de arco que involucra el ángulo central y las potencias de para calcular la longitud de arco con precisión milimétrica, donde . Esa fórmula de longitud de arco se puede reorganizar y poner en la forma: , donde y los coeficientes son ${\displaystyle e^{2}}$ ${\textstyle e^{2}=1-\left({\frac {b^{*}}{a^{*}}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle s_{12}=s(\theta _{2})-s(\theta _{1})}$ ${\displaystyle s(\theta )=b^{*}({C_{0}}\theta +{C_{2}}\sin(2\theta )+{C_{4}}\sin(4\theta )+{C_{6}}\sin(6\theta ))}$

${\displaystyle C_{0}=1.0+e^{2}(1/4+13e^{2}/64+45e^{4}/256+2577e^{6}/16384)}$

${\displaystyle C_{2}=e^{2}(1/8+3e^{2}/32+95e^{4}/1024+385e^{6}/4096)}$

${\displaystyle C_{4}=-e^{4}(1/256+5e^{2}/1024+19e^{4}/16384)}$

${\displaystyle C_{6}=-e^{6}(15/3072+35e^{2}/4096)}$

Para calcular el ángulo central, sea cualquier punto de la sección de la elipse y . Entonces es un vector desde el centro de la elipse hasta el punto . El ángulo central es el ángulo desde el semieje mayor hasta . Si , tenemos . De esta manera obtenemos y . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R=\mathrm {ECEF} (P)}$ ${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} -\mathbf {R_{c}} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {V}} =\mathrm {unit} (\mathbf {V} )}$ ${\displaystyle \theta =\operatorname {atan2} (\mathbf {\hat {V}} \cdot \mathbf {{\hat {j}}^{*}} ,\mathbf {\hat {V}} \cdot \mathbf {{\hat {i}}^{*}} )}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$

Por otra parte, es posible utilizar fórmulas de arco meridiano en el caso más general, siempre que se utilicen los parámetros de la elipse de sección en lugar de los parámetros del esferoide. Una de esas series rápidamente convergentes se da en Series en términos de la latitud paramétrica . Si usamos para denotar la excentricidad del esferoide, es decir , entonces ≤ ≅ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\textstyle \varepsilon ^{2}=1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle e^{8}}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{8}}$1,8 × 10 ⁻⁹ . De manera similar, el tercer aplanamiento de la elipse de sección está limitado por el valor correspondiente para el esferoide, y para el esferoide tenemos ≅ ${\displaystyle n^{3}}$4,4 × 10 ⁻⁹ , y ≅ ${\displaystyle n^{4}}$7,3 × 10 ⁻¹² . Por lo tanto, puede ser suficiente ignorar los términos que se encuentran más allá de la serie de latitud paramétrica. Para aplicarlo en el contexto actual, se requiere convertir el ángulo central al ángulo paramétrico usando , y usar el tercer aplanamiento de la elipse de sección. Cualquiera sea el método que se use, se debe tener cuidado al usar & o & para asegurarse de que se use el arco más corto que conecta los 2 puntos. ${\displaystyle B_{6}}$ ${\textstyle s(\beta )={\frac {a^{*}+b^{*}}{2}}(B_{0}\beta +B_{2}\sin 2\beta +B_{4}\sin 4\beta +B_{6}\sin 6\beta )}$ ${\displaystyle \beta =\tan ^{-1}\left(\tan \theta /((1-f)\right)}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle \beta _{1}}$ ${\displaystyle \beta _{2}}$

Problema directo

Se da el problema directo , la distancia y el acimut de salida , y se encuentra el acimut de llegada . ${\displaystyle {P_{1}}}$ ${\displaystyle s_{12}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle {P_{2}}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$

Plano de sección

La respuesta a este problema depende de la elección de . es decir, del tipo de sección. Observe que no debe estar en span{ } (de lo contrario, el plano sería tangente a la Tierra en , por lo que no se obtendría ningún camino). Habiendo hecho tal elección y considerando la orientación, proceda de la siguiente manera. Construya el vector tangente en , , donde y son vectores unitarios que apuntan al norte y al este (respectivamente) en . El vector normal ), junto con define el plano. En otras palabras, la tangente toma el lugar de la cuerda ya que se desconoce el destino. ${\displaystyle \mathbf {V_{0}} }$ ${\displaystyle \mathbf {V_{0}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{1},\mathbf {{\hat {e}}_{1}} }$ ${\displaystyle {P_{1}}}$ ${\displaystyle {P_{1}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{1}=\mathbf {\hat {n}} _{1}\cos {\alpha _{1}}+\mathbf {{\hat {e}}_{1}} \sin {\alpha _{1}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {{\hat {e}}_{1}} }$ ${\displaystyle {P_{1}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} =\mathrm {unit} (\mathbf {V_{0}} \times \mathbf {\hat {t}} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P_{1}} }$

Localizar punto de llegada

Este es un problema 2-d en span{ }, que se resolverá con la ayuda de la fórmula de longitud de arco anterior. Si se da la longitud de arco, entonces el problema es encontrar el cambio correspondiente en el ángulo central , de modo que y se pueda calcular la posición. Suponiendo que tenemos una serie que da entonces lo que buscamos ahora es . La inversa de la serie de longitud de arco del ángulo central anterior se puede encontrar en la página 8a de Rapp, Vol. 1, ^[2] que acredita a Ganshin. ^[3] Una alternativa al uso de la serie inversa es usar el método de aproximaciones sucesivas de Newton para . El problema del meridiano inverso para el elipsoide proporciona la inversa de la serie de longitud de arco de Bessel en términos del ángulo paramétrico. Antes de que se pueda usar la serie inversa, se debe usar la serie de ángulos paramétricos para calcular la longitud de arco desde el semieje mayor hasta , . Una vez que se conoce, aplique la fórmula inversa para obtener , donde . Las coordenadas rectangulares en el plano de sección son . Por lo tanto, un vector ECEF se puede calcular utilizando . Finalmente, calcule las coordenadas geográficas mediante el algoritmo de Bowring de 1985, ^[4] o el algoritmo aquí . ${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ^{*},\mathbf {\hat {j}} ^{*}}$ ${\displaystyle s_{12}}$ ${\displaystyle \theta _{12}}$ ${\displaystyle \theta _{2}=\theta _{1}+\theta _{12}}$ ${\displaystyle s=s(\theta )}$ ${\displaystyle \theta _{2}=s^{-1}(s_{1}+s_{12})}$ ${\displaystyle \theta _{12}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\textstyle s_{1}=s(\beta _{1})={\frac {a^{*}+b^{*}}{2}}(B_{0}\beta _{1}+B_{2}\sin 2\beta _{1}+B_{4}\sin 4\beta _{1}+B_{6}\sin 6\beta _{1})}$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle \beta _{2}=\beta (s_{1}+s_{12})=\mu _{2}+B'_{2}\sin 2\mu _{2}+B'_{4}\sin 4\mu _{2}+B'_{6}\sin 6\mu _{2}}$ ${\displaystyle \mu _{2}=2(s_{1}+s_{12})/(B_{0}(a^{*}+b^{*}))}$ ${\displaystyle x_{2}=a^{*}\cos \beta _{2},y_{2}=b^{*}\sin \beta _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {V_{2}} =\mathbf {R_{c}} +(x_{2}\mathbf {{\hat {i}}^{*}} +y_{2}\mathbf {{\hat {j}}^{*}} )}$ ${\displaystyle P_{2}=\mathrm {Geo} (V_{2})}$

Azimut

El azimut se puede obtener mediante el mismo método que el problema indirecto: y . ${\displaystyle \mathbf {t_{2}} =\mathbf {\hat {N}} \times \mathbf {{\hat {u}}_{2}} }$ ${\displaystyle {\alpha _{2}}=\operatorname {atan2} (\mathbf {t_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {e}}_{2}} ,\mathbf {t_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {n}}_{2}} )}$

Ejemplos

Muestra la desviación geodésica de varias secciones que conectan Nueva York con París.

La gran elipse

La gran elipse es la curva que se forma al intersecar el elipsoide con un plano que pasa por su centro. Por lo tanto, para utilizar el método anterior, simplemente sea el origen, de modo que (el vector de posición de ). Este método evita las fórmulas esotéricas y a veces ambiguas de la trigonometría esférica, y proporciona una alternativa a las fórmulas de Bowring. ^[5] El camino más corto entre dos puntos de un esferoide se conoce como geodésica. Tales caminos se desarrollan utilizando geometría diferencial. El ecuador y los meridianos son grandes elipses que también son geodésicas ^[a] . La diferencia máxima de longitud entre una gran elipse y la geodésica correspondiente de longitud 5.000 millas náuticas es de unos 10,5 metros. La desviación lateral entre ellas puede ser de hasta 3,7 millas náuticas. Una sección normal que conecte los dos puntos estará más cerca de la geodésica que la gran elipse, a menos que el camino toque el ecuador. ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =\mathbf {R_{1}} }$ ${\displaystyle R_{1}}$

En el elipsoide WGS84 , los resultados para el gran arco elíptico desde Nueva York, = 40,64130°, = -73,77810° hasta París, = 49,00970°, = 2,54800° son: ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53,596810°, = 111,537138° y = 5849159,753 (m) = 3158,293603 (nm). Los números correspondientes a la geodésica son: ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle s_{12}}$

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53,511007°, = 111,626714° y = 5849157,543 (m) = 3158,292410 (nm). ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle s_{12}}$

Para ilustrar la dependencia del tipo de sección para el problema directo, supongamos que el acimut de salida y la distancia de viaje son los de la geodésica anterior y utilicemos la elipse mayor para definir el problema directo. En este caso, el punto de llegada es = 49,073057°, = 2,586154°, que está a aproximadamente 4,1 millas náuticas del punto de llegada en París definido anteriormente. Por supuesto, si se utiliza el acimut de salida y la distancia desde la elipse mayor, el problema indirecto localizará correctamente el destino, = 49,00970°, = 2,54800°, y el acimut de llegada = 111,537138°. ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$

Muestra la desviación geodésica de varias secciones que conectan Sydney con Bangkok

Secciones normales

Una sección normal en se determina haciendo que (la normal de superficie en ). Otra sección normal, conocida como la sección normal recíproca, resulta de usar la normal de superficie en . A menos que los dos puntos estén en el mismo paralelo o el mismo meridiano, la sección normal recíproca será una trayectoria diferente a la sección normal. El enfoque anterior proporciona una alternativa a la de otros, como Bowring. ^[7] La ​​importancia de las secciones normales en topografía, así como una discusión del significado del término línea en tal contexto, se da en el artículo de Deakin, Sheppard y Ross. ^[8] ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =\mathbf {\hat {u}} _{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$

En el elipsoide WGS84, los resultados para la sección normal desde Nueva York, = 40,64130°, = -73,77810° hasta París, = 49,00970°, = 2,54800° son: ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53,521396°, = 111,612516° y = 5849157,595 (m) = 3158,292438 (nm). Los resultados para la sección normal recíproca de Nueva York a París son: ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle s_{12}}$

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53,509422°, = 111,624483° y = 5849157,545 (m) = 3158,292411 (nm). ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle s_{12}}$

La diferencia máxima de longitud entre una sección normal y la geodésica correspondiente de 5.000 millas náuticas es de unos 6,0 metros. La desviación lateral entre ellas puede llegar a ser de 2,8 millas náuticas.

Para ilustrar la dependencia del tipo de sección para el problema directo, supongamos que el acimut de salida y la distancia de viaje son los de la geodésica anterior y utilicemos la normal de superficie en NY para definir el problema directo. En este caso, el punto de llegada es = 49,017378°, = 2,552626°, que está a aproximadamente 1/2 mn del punto de llegada definido anteriormente. Por supuesto, utilizando el acimut de salida y la distancia desde la sección normal del problema indirecto se localizará correctamente el destino en París. Presumiblemente, el problema directo se utiliza cuando se desconoce el punto de llegada, aunque es posible utilizar cualquier vector que se desee. Por ejemplo, utilizando la normal de superficie en París, , se obtiene un punto de llegada de = 49,007778°, = 2,546842°, que está a aproximadamente 1/8 mn del punto de llegada definido anteriormente. Si utiliza la normal de superficie en Reykjavik (mientras sigue utilizando el azimut de salida y la distancia de viaje de la geodésica a París), llegará a aproximadamente 347 nm de París, mientras que la normal en Zúrich lo llevará a 5,5 nm. ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {V_{0}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} _{2}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

La búsqueda de una sección más cercana a la geodésica condujo a los siguientes dos ejemplos.

Muestra cómo varía la desviación geodésica con el acimut para secciones que se originan en una latitud de 20°.

La sección normal media

La sección normal media de a se determina haciendo . Esta es una buena aproximación a la geodésica de a para la aviación o la navegación. La diferencia máxima de longitud entre la sección normal media y la geodésica correspondiente de longitud 5.000 millas náuticas es de unos 0,5 metros. La desviación lateral entre ellas no es más de unas 0,8 millas náuticas. Para rutas de longitud 1.000 millas náuticas, el error de longitud es inferior a un milímetro y la desviación lateral en el peor de los casos es de unos 4,4 metros. Continuando con el ejemplo de Nueva York a París en WGS84 se obtienen los siguientes resultados para la sección normal media: ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =0.5(\mathbf {\hat {u}} _{1}+\mathbf {\hat {u}} _{2})}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53,515409°, = 111,618500° y = 5849157,560 (m) = 3158,292419 (nm). ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle s_{12}}$

Muestra la desviación geodésica para varias secciones normales de 5000 nm desde el ecuador.

La sección normal del punto medio

La sección normal del punto medio de a se determina haciendo = la normal de la superficie en el punto medio de la geodésica de a . Esta trayectoria está solo ligeramente más cerca de la geodésica que la sección normal media. La diferencia máxima de longitud entre una sección normal del punto medio y la geodésica correspondiente de longitud 5000 millas náuticas es de aproximadamente 0,3 metros. La desviación lateral en el peor caso entre ellas es de aproximadamente 0,3 millas náuticas. ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {V_{0}} }$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$

Terminando el ejemplo de Nueva York a París en WGS84 se obtienen los siguientes resultados para la sección normal del punto medio geodésico: = 53,506207°, = 111,627697° y = 5849157,545 (m) = 3158,292411 (nm). ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle s_{12}}$

Discusión

Todas las rutas de sección utilizadas en los gráficos de la derecha se definieron utilizando el método indirecto mencionado anteriormente. En los gráficos tercero y cuarto, el punto terminal se definió utilizando el algoritmo directo para la geodésica con la distancia y el acimut inicial dados. En cada una de las geodésicas se seleccionaron algunos puntos, se localizó el punto más cercano en el plano de sección mediante proyección vectorial y se calculó la distancia entre los dos puntos. Esta distancia se describe como la desviación lateral de la geodésica, o brevemente desviación geodésica, y se muestra en los gráficos de la derecha. La alternativa de encontrar el punto correspondiente en la ruta de sección y calcular las distancias geodésicas produciría resultados ligeramente diferentes.

El primer gráfico es típico de los casos de latitudes medias en los que la gran elipse es el valor atípico. La sección normal asociada con el punto más alejado del ecuador es una buena opción para estos casos.

El segundo ejemplo es más largo y es típico de los casos de cruce del ecuador, donde la gran elipse supera las secciones normales. Sin embargo, las dos secciones normales se desvían en lados opuestos de la geodésica, lo que hace que la sección normal media sea una buena opción en este caso.

El tercer gráfico muestra cómo varían las desviaciones geodésicas con el acimut geodésico inicial que se origina a partir de los 20 grados de latitud norte. La desviación más desfavorable para secciones normales de 5000 millas náuticas de longitud es de aproximadamente 2,8 millas náuticas y se produce en un acimut geodésico inicial de 132° desde los 18° de latitud norte (48° de acimut para la latitud sur).

El cuarto gráfico muestra el aspecto que tiene el tercer gráfico si se parte del ecuador. En el ecuador hay más simetrías, ya que las secciones en los acimutes de 90° y 270° también son geodésicas. En consecuencia, el cuarto gráfico muestra solo 7 líneas distintas de las 24 con un espaciamiento de 15 grados. En concreto, las líneas en los acimutes 15, 75, 195 y 255 coinciden, al igual que las líneas en los acimutes 105, 165, 285 y 345 del otro lado, que son las más internas (además de las geodésicas). Las siguientes líneas coincidentes más lejanas de las cuatro líneas geodésicas están en los acimutes 30, 60, 210 y 240 de un lado y 120, 150, 300 y 330 del otro lado. Las líneas más externas se encuentran en los acimutes 45 y 225 de un lado y 135 y 315 del otro. A medida que el punto de partida se desplaza hacia el norte, las líneas en los acimutes 90 y 270 ya no son geodésicas, y otras líneas coincidentes se separan y se abren en abanico hasta los 18° de latitud, donde se alcanza la desviación máxima. Más allá de este punto, las desviaciones se contraen como un abanico japonés a medida que el punto inicial avanza hacia el norte. De modo que, a los 84° de latitud, la desviación máxima para las secciones normales es de aproximadamente 0,25 millas náuticas.

La sección normal del punto medio es (casi) siempre una buena opción.

Intersecciones

Sean dos planos de sección: , y . Suponiendo que los dos planos no son paralelos, la línea de intersección está en ambos planos. Por lo tanto, es ortogonal a ambas normales, es decir, en la dirección de (no hay razón para normalizar ). ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {R} =d_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{2}\cdot \mathbf {R} =d_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {N_{3}} =\mathbf {\hat {N}} _{1}\times \mathbf {\hat {N}} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {N_{3}} }$

Como y no son colineales , , es una base para . Por lo tanto, existen constantes y tales que la línea de intersección de los 2 planos está dada por , donde t es un parámetro independiente. ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {N_{3}} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle R=C_{1}\mathbf {\hat {N}} _{1}+C_{2}\mathbf {\hat {N}} _{2}+t\mathbf {N_{3}} }$

Dado que esta línea está en ambos planos de sección, satisface ambos: , y . ${\displaystyle C_{1}+C_{2}(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})=d_{1}}$ ${\displaystyle C_{1}(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})+C_{2}=d_{2}}$

Resolviendo estas ecuaciones para y se obtiene , y . ${\displaystyle {C_{1}}}$ ${\displaystyle {C_{2}}}$ ${\displaystyle C_{1}[1-(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})^{2}]=d_{1}-d_{2}(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})}$ ${\displaystyle C_{2}[1-(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})^{2}]=d_{2}-d_{1}(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})}$

Defina el "ángulo diedro", , por . Luego , y . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \cos \nu ={\mathbf {\hat {N}} _{1}}\cdot {\mathbf {\hat {N}} _{2}}}$ ${\displaystyle C_{1}={\frac {(d_{1}-d_{2}\cos \nu )}{\sin ^{2}\nu }}}$ ${\displaystyle C_{2}={\frac {(d_{2}-d_{1}\cos \nu )}{\sin ^{2}\nu }}}$

En la línea de intersección tenemos , donde . Por lo tanto: , , y , donde , , y , , para i=1,2, y . ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R_{0}} +t\mathbf {N_{3}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R_{0}} =C_{1}\mathbf {\hat {N}} _{1}+C_{2}\mathbf {\hat {N}} _{2}}$ ${\displaystyle x=x_{0}+tl_{3}}$ ${\displaystyle y=y_{0}+tm_{3}}$ ${\displaystyle z=z_{0}+tn_{3}}$ ${\displaystyle x_{0}=C_{1}l_{1}+C_{2}l_{2}}$ ${\displaystyle y_{0}=C_{1}m_{1}+C_{2}m_{2}}$ ${\displaystyle z_{0}=C_{1}n_{1}+C_{2}n_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{i}=(l_{i},m_{i},n_{i})}$ ${\displaystyle \mathbf {N_{3}} =(l_{3},m_{3},n_{3})}$

Para encontrar la intersección de esta línea con la tierra, inserte las ecuaciones de línea en , para obtener , donde , , . ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle At^{2}+2Bt+C=0}$ ${\displaystyle A=l_{3}^{2}+m_{3}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}n_{3}^{2}}$ ${\displaystyle B=x_{0}l_{3}+y_{0}m_{3}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}n_{3}}$ ${\displaystyle C=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}}$

Por lo tanto, la línea interseca la Tierra en . Si , entonces no hay intersección. Si , entonces la línea es tangente a la Tierra en (es decir, las secciones se intersecan en ese único punto). ${\displaystyle t={\frac {-B\pm {\sqrt {{B}^{2}-AC}}}{A}}}$ ${\displaystyle B^{2}<AC}$ ${\displaystyle B^{2}=AC}$ ${\displaystyle t=-B/A}$

Observe que como y no son colineales, al introducir t en , se obtienen los puntos de intersección de las secciones de la Tierra. ${\displaystyle A\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R_{0}} +t\mathbf {N_{3}} }$

Ejemplo

Halla dónde un tramo que va de Nueva York a París corta el meridiano de Greenwich. El plano del meridiano principal puede describirse mediante y . Los resultados son los siguientes: ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} =(0,1,0)}$ ${\displaystyle d=0}$

Latitudes y longitudes extremas

La latitud máxima (o mínima) es donde la elipse de sección intersecta un paralelo en un único punto. Para plantear el problema, sea , el plano de sección dado. El paralelo es , , donde se debe determinar de modo que solo haya un punto de intersección. La aplicación del método de intersección anterior da como resultado , , , y , ya que . Las ecuaciones lineales resultantes se convierten en , , y , donde se debe determinar , , y . Los coeficientes cuadráticos resultantes son , , . Por lo tanto, la intersección dará como resultado solo una solución si , pero como y ^[b] , la ecuación crítica se convierte en . Esta ecuación se puede reorganizar y poner en la forma , donde , , y . Por lo tanto, proporciona la distancia desde el origen de los planos paralelos deseados. Al introducir en se obtienen los valores para y . Recuerde que entonces , son las coordenadas restantes de las intersecciones. Las coordenadas geográficas se pueden calcular luego utilizando la conversión ECEF_to_Geo. ${\displaystyle \mathbf {{\hat {N}}_{1}} =(l,m,n)}$ ${\displaystyle d_{1}=d}$ ${\displaystyle \mathbf {{\hat {N}}_{2}} =(0,0,1)}$ ${\displaystyle d_{2}=z_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {N_{3}} =\mathbf {\hat {N}} _{1}\times \mathbf {\hat {N}} _{2}=(m,-l,0)}$ ${\displaystyle {\mathbf {\hat {N}} _{1}}\cdot {\mathbf {\hat {N}} _{2}}=n}$ ${\textstyle C_{1}={\frac {1}{p^{2}}}(d-nz_{0})}$ ${\textstyle C_{2}={\frac {1}{p^{2}}}(z_{0}-nd)}$ ${\displaystyle 1-n^{2}=l^{2}+m^{2}=p^{2}}$ ${\displaystyle x=x_{0}+tm}$ ${\displaystyle y=y_{0}-tl}$ ${\displaystyle z=z_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}=C_{1}l}$ ${\displaystyle y_{0}=C_{1}m}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle A=m^{2}+l^{2}=p^{2}}$ ${\displaystyle B=mx_{0}-ly_{0}=lmC_{1}-lmC_{1}=0}$ ${\displaystyle C=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}=p^{2}C_{1}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}={\frac {1}{p^{2}}}(d-nz_{0})^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}}$ ${\displaystyle B^{2}=AC}$ ${\displaystyle B=0}$ ${\displaystyle A>0}$ ${\displaystyle C=0}$ ${\displaystyle Ez_{0}^{2}-2Fz_{0}+G=0}$ ${\displaystyle E={\frac {a^{2}}{b^{2}}}p^{2}+n^{2}}$ ${\displaystyle F=nd}$ ${\displaystyle G=d^{2}-a^{2}p^{2}}$ ${\textstyle z_{0}={\frac {F\pm {\sqrt {{F}^{2}-EG}}}{E}}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle t=-B/A=0}$ ${\displaystyle x=x_{0}}$ ${\displaystyle y=y_{0}}$

El mismo método se puede aplicar a los meridianos para hallar longitudes extremas, pero los resultados no son fáciles de interpretar debido a la naturaleza modular de la longitud. Sin embargo, los resultados siempre se pueden verificar utilizando el siguiente enfoque.

El enfoque más simple consiste en calcular los puntos finales de los ejes mayor y menor de la elipse de sección utilizando , y , y luego convertirlos a coordenadas geográficas. Vale la pena mencionar aquí que la línea de intersección de dos planos consiste en el conjunto de puntos fijos, de ahí el eje de rotación, de una rotación de coordenadas que mapea un plano sobre el otro. ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R_{c}} \pm b^{*}\mathbf {\hat {j}} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R_{c}} \pm a^{*}\mathbf {\hat {i}} ^{*}}$

Para el ejemplo de Nueva York a París los resultados son:

Véase también

• Distancia geográfica#Corrección de altitud
• Azimut de sección normal

Notas

1. Las trayectorias ecuatoriales son geodésicas hasta cierto punto. Por ejemplo, la geodésica que conecta dos puntos que están separados 180° en el ecuador es una trayectoria meridiana sobre un polo, mientras que el ecuador sigue siendo una gran elipse. De hecho, en este caso hay infinitas grandes elipses, de las cuales solo dos son geodésicas. Para arcos cortos, la geodésica y la gran elipse coinciden. Entonces, ¿en qué punto cambia? Rapp calcula que la respuesta es 179° 23' 38.18182". ^[6] En ese punto, la geodésica comienza a alejarse del ecuador y, a los 180°, se encuentra en un polo.
2. De lo contrario la sección es paralela, por lo que no hay nada que resolver, ya que todas las latitudes son iguales.

Referencias

1. Gilbertson, Charles (primavera de 2012). "Trayectorias de la sección terrestre". Navegación . 59 (1): 1–7. doi :10.1002/navi.2.
2. Rapp, RH (1991), Geodesia geométrica, parte I, Universidad Estatal de Ohio, hdl : 1811/24333
3. Gan'shin, VV (1969) [1967]. Geometría del elipsoide terrestre. Traducido por Willis, JM St. Louis: Centro de información y cartas aeronáuticas. doi:10.5281/zenodo.32854. OCLC 493553. Traducción del ruso de Геометрия земного эллипсоида (Moscú, 1967)
4. Bowring, BR (1985). "La precisión de las ecuaciones geodésicas de latitud y altura". Survey Review . 28 (218): 202–206. Bibcode :1985SurRv..28..202B. doi :10.1179/sre.1985.28.218.202.
5. Bowring, BR (1984). "Las soluciones directa e inversa para la gran línea elíptica en el elipsoide de referencia". Bulletin Géodésique . 58 (1): 101–108. Bibcode :1984BGeod..58..101B. doi :10.1007/BF02521760. S2CID  123161737.
6. Rapp, RH (1993), Geodesia geométrica, parte II, Universidad Estatal de Ohio, hdl : 1811/24409
7. Bowring, BR (1971). "La sección normal - fórmulas directas e inversas a cualquier distancia". Survey Review . XXI (161): 131–136. Bibcode :1971SurRv..21..131B. doi :10.1179/sre.1971.21.161.131.
8. Deakin, RE; Sheppard, SW; Ross, R. (2011). "The Black-Allan Line Revisited" (PDF) . 24th Victorian Regional Survey Conference, Shepparton, 1–3 April 2011. Archivado desde el original (PDF) el 5 de enero de 2012. Consultado el 3 de febrero de 2012 .

Lectura adicional

• Helmert, Friedrich Robert (1964-01-01). "Teorías matemáticas y físicas de la geodesia superior, parte 1, prefacio y teorías matemáticas". Zenodo . doi :10.5281/zenodo.32050 . Consultado el 17 de abril de 2022 .
• Jordan, Wilhelm; Eggert, Otto (1962-01-01). "Manual de geodesia de Jordan, vol. 3, segunda mitad". Zenodo . doi :10.5281/zenodo.35316 . Consultado el 17 de abril de 2022 .