En matemáticas , la propiedad de Schur , llamada así en honor a Issai Schur , es la propiedad de los espacios normados que se satisface precisamente si la convergencia débil de secuencias implica convergencia en la norma.
Cuando trabajamos en un espacio normado X y tenemos una secuencia que converge débilmente a , surge una pregunta natural: ¿la secuencia converge quizás de una manera más deseable? Es decir, ¿la secuencia converge a en norma? Un ejemplo canónico de esta propiedad, y que se utiliza comúnmente para ilustrar la propiedad de Schur, es el espacio de secuencias .
Supongamos que tenemos un espacio normado ( X , ||·||), un miembro arbitrario de X y una secuencia arbitraria en el espacio. Decimos que X tiene la propiedad de Schur si converge débilmente a implica que . En otras palabras, las topologías débil y fuerte comparten las mismas secuencias convergentes. Sin embargo, nótese que las topologías débil y fuerte siempre son distintas en el espacio de dimensión infinita.
El espacio ℓ 1 de sucesiones cuya serie es absolutamente convergente tiene la propiedad de Schur.
Consideremos el grupo simétrico S3. Este grupo tiene representaciones irreducibles de dimensiones 1 y 2 sobre C. Si ρ es una representación irreducible de S3 de dimensión 1 (representación trivial), entonces el Lema de Schur nos dice que cualquier homomorfismo de S3 de esta representación a cualquier otra representación (incluido él mismo) es un isomorfismo o cero. En particular, si ρ es una representación unidimensional y σ es una representación bidimensional, cualquier homomorfismo de ρ a σ debe ser cero porque estas dos representaciones no son isomorfas.
Para el grupo Z (el grupo de los números enteros bajo la forma de adición), toda representación irreducible es unidimensional. Si V y W son representaciones unidimensionales de Z, entonces el Lema de Schur implica que cualquier homomorfismo entre ellos es un isomorfismo (a menos que el homomorfismo sea cero, lo que no es posible en este caso).
Esta propiedad debe su nombre al matemático de principios del siglo XX Issai Schur , quien demostró que ℓ 1 tenía la propiedad antes mencionada en su artículo de 1921. [1]
