Electrodinámica escalar

Electrodinámica de partículas de espín 0

En física teórica , la electrodinámica escalar es una teoría de un campo de calibración U(1) acoplado a un campo escalar cargado de espín 0 que ocupa el lugar de los fermiones de Dirac en la electrodinámica cuántica "ordinaria" . El campo escalar está cargado y, con un potencial apropiado, tiene la capacidad de romper la simetría de calibración a través del mecanismo de Higgs abeliano .

Contenido de materia y Lagrangiano

Contenido de la materia

El modelo consiste en un campo escalar complejo mínimamente acoplado a un campo de calibración . ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle A_{\mu }(x)}$

Este artículo analiza la teoría del espacio-tiempo plano ( espacio de Minkowski ), de modo que estos campos pueden tratarse (ingenuamente) como funciones , y . La teoría también puede definirse para el espacio-tiempo curvo, pero estas definiciones deben reemplazarse por una más sutil. El campo de calibración también se conoce como conexión principal , específicamente como conexión principal . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$ ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle A_{\mu }:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow (\mathbb {R} ^{1,3})^{*}}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

Lagrangiano

La dinámica viene dada por la densidad lagrangiana

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\mathcal {L}}&=&(D_{\mu }\phi )^{*}D^{\mu }\phi -V(\phi ^{*}\phi )-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\\&=&(\partial _{\mu }\phi )^{*}(\partial ^{\mu }\phi )-ie((\partial _{\mu }\phi )^{*}\phi -\phi ^{*}(\partial _{\mu }\phi ))A^{\mu }+e^{2}A_{\mu }A^{\mu }\phi ^{*}\phi -V(\phi ^{*}\phi )-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\end{array}}}$

dónde

• ${\displaystyle F_{\mu \nu }=(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu })}$es la intensidad del campo electromagnético, o curvatura de la conexión.
• ${\displaystyle D_{\mu }\phi =(\partial _{\mu }\phi -ieA_{\mu }\phi )}$es la derivada covariante del campo ${\displaystyle \phi }$
• ${\displaystyle e=-|e|<0}$es la carga eléctrica
• ${\displaystyle V(\phi ^{*}\phi )}$es el potencial del campo escalar complejo.

Invariancia de calibre

Este modelo es invariante bajo transformaciones de calibre parametrizadas por . Esta es una función de valor real ${\displaystyle \lambda (x)}$ ${\displaystyle \lambda :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {R} .}$

${\displaystyle \phi '(x)=e^{ie\lambda (x)}\phi (x)\quad {\textrm {and}}\quad A_{\mu }'(x)=A_{\mu }(x)+\partial _{\mu }\lambda (x).}$

Visión geométrica diferencial

Desde el punto de vista geométrico, es un cambio infinitesimal de trivialización, que genera el cambio finito de trivialización. En física, se acostumbra trabajar bajo una elección implícita de trivialización, por lo tanto, una transformación de calibre realmente puede verse como un cambio de trivialización. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle e^{ie\lambda }:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\text{U}}(1).}$

Mecanismo de Higgs

Si el potencial es tal que su mínimo ocurre en un valor distinto de cero de , este modelo exhibe el mecanismo de Higgs . Esto se puede ver estudiando las fluctuaciones en torno a la configuración de energía más baja: se ve que el campo de calibración se comporta como un campo masivo con su masa proporcional a veces el valor mínimo de . Como lo demostraron en 1973 Nielsen y Olesen, este modelo, en dimensiones, admite configuraciones de energía finita independientes del tiempo correspondientes a vórtices que transportan flujo magnético. El flujo magnético transportado por estos vórtices está cuantizado (en unidades de ) y aparece como una carga topológica asociada con la corriente topológica ${\displaystyle |\phi |}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle |\phi |}$ ${\displaystyle 2+1}$ ${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{e}}}$

${\displaystyle J_{top}^{\mu }=\epsilon ^{\mu \nu \rho }F_{\nu \rho }\ .}$

Estos vórtices son similares a los que aparecen en los superconductores de tipo II. Esta analogía fue utilizada por Nielsen y Olesen para obtener sus soluciones.

Ejemplo

Una elección sencilla de potencial para demostrar el mecanismo de Higgs es

${\displaystyle V(|\phi |^{2})=\lambda (|\phi |^{2}-\Phi ^{2})^{2}.}$

El potencial se minimiza en , que se elige como mayor que cero. Esto produce un círculo de mínimos, con valores , para un número real. ${\displaystyle |\phi |=\Phi }$ ${\displaystyle \Phi e^{i\theta }}$ ${\displaystyle \theta }$

Cromodinámica escalar

Esta teoría se puede generalizar a partir de una teoría con simetría de calibre que contiene un campo escalar valorado en acoplado a un campo de calibre a una teoría con simetría de calibre bajo el grupo de calibre , un grupo de Lie . ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle G}$

El campo escalar se valora en un espacio de representación del grupo de calibración , lo que lo convierte en un vector ; la etiqueta de campo "escalar" se refiere únicamente a la transformación de bajo la acción del grupo de Lorentz , por lo que todavía se lo denomina campo escalar, en el sentido de un escalar de Lorentz . El campo de calibración es una forma 1-valuada, donde es el álgebra de Lie de G. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Referencias

• HB Nielsen y P. Olesen (1973). "Modelos de líneas de vórtice para cuerdas duales". Física nuclear B . 61 : 45–61. Código Bibliográfico :1973NuPhB..61...45N. doi :10.1016/0550-3213(73)90350-7.

• Peskin, M y Schroeder, D.; Introducción a la teoría cuántica de campos (Westview Press, 1995) ISBN 0-201-50397-2