David Bryant Mumford (nacido el 11 de junio de 1937) es un matemático estadounidense conocido por su trabajo en geometría algebraica y luego por su investigación en visión y teoría de patrones . Ganó la Medalla Fields y fue becario MacArthur . En 2010 fue galardonado con la Medalla Nacional de Ciencias . Actualmente es profesor universitario emérito en la División de Matemáticas Aplicadas de la Universidad de Brown .
Mumford nació en Worth, West Sussex , Inglaterra , de padre inglés y madre estadounidense. Su padre, William, fundó una escuela experimental en Tanzania y trabajó para las entonces recién creadas Naciones Unidas . [2]
Asistió a la Phillips Exeter Academy , donde recibió un premio Westinghouse Science Talent Search por su proyecto informático basado en relés. [3] [4] Mumford luego fue a la Universidad de Harvard , donde se convirtió en alumno de Oscar Zariski . En Harvard, se convirtió en miembro de Putnam Fellow en 1955 y 1956. [5] Completó su doctorado en 1961, con una tesis titulada Existencia del esquema de módulos para curvas de cualquier género . Se casó con Erika, autora y poeta, en 1959 y tuvieron cuatro hijos, Stephen, Peter, Jeremy y Suchitra. Actualmente tiene siete nietos.
El trabajo de Mumford en geometría combinó los conocimientos geométricos tradicionales con las técnicas algebraicas más recientes. Publicó sobre espacios de módulos , con una teoría resumida en su libro Teoría de invariantes geométricos , sobre las ecuaciones que definen una variedad abeliana y sobre superficies algebraicas .
Sus libros Variedades abelianas (con CP Ramanujam ) y Curvas sobre una superficie algebraica combinaban las teorías antiguas y nuevas. Sus notas de clase sobre teoría de esquemas circularon durante años en forma inédita, en una época en la que eran, junto con el tratado Elementos de geometría algebraica , la única introducción accesible. Ahora están disponibles como El libro rojo de variedades y esquemas ( ISBN 3-540-63293-X ).
Otros trabajos que fueron escritos menos exhaustivamente fueron conferencias sobre variedades definidas por cuádricas y un estudio de los artículos de Goro Shimura de la década de 1960.
La investigación de Mumford contribuyó en gran medida a revivir la teoría clásica de las funciones theta , al demostrar que su contenido algebraico era amplio y suficiente para sustentar las partes principales de la teoría mediante referencias a análogos finitos del grupo de Heisenberg . Este trabajo sobre las ecuaciones que definen las variedades abelianas apareció en 1966-7. Publicó algunos libros adicionales de conferencias sobre la teoría.
También es uno de los fundadores de la teoría de incrustación toroidal ; y buscó aplicar la teoría a las técnicas de base de Gröbner , a través de estudiantes que trabajaban en computación algebraica.
En una secuencia de cuatro artículos publicados en el American Journal of Mathematics entre 1961 y 1975, Mumford exploró el comportamiento patológico en la geometría algebraica , es decir, fenómenos que no surgirían si el mundo de la geometría algebraica se comportara tan bien como se podría esperar al observar los ejemplos más simples. Estas patologías se dividen en dos tipos: (a) mal comportamiento en la característica p y (b) mal comportamiento en los espacios de módulos.
La filosofía de Mumford en la característica p era la siguiente:
Una variedad característica no singular p es análoga a una variedad compleja general no Kähler; en particular, una incrustación proyectiva de tal variedad no es tan fuerte como una métrica Kähler en una variedad compleja, y los teoremas de Hodge–Lefschetz–Dolbeault sobre cohomología de haces fallan en todas las formas posibles.
En el primer artículo de Pathologies, Mumford encuentra una forma diferencial regular en todas partes sobre una superficie proyectiva suave que no está cerrada, y muestra que la simetría de Hodge falla para las superficies clásicas de Enriques en la característica dos. Este segundo ejemplo se desarrolla más en el tercer artículo de Mumford sobre la clasificación de superficies en la característica p (escrito en colaboración con E. Bombieri ). Esta patología ahora se puede explicar en términos del esquema de Picard de la superficie, y en particular, su falla al ser un esquema reducido , que es un tema desarrollado en el libro de Mumford "Lectures on Curves on an Algebraic Surface". Luc Illusie exploró patologías peores relacionadas con la p-torsión en la cohomología cristalina (Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. (4) 12 (1979), 501–661).
En el segundo artículo de Pathologies, Mumford da un ejemplo simple de una superficie en característica p donde el género geométrico no es cero, pero el segundo número de Betti es igual al rango del grupo de Néron-Severi . Otros ejemplos similares surgen en la teoría de superficies de Zariski . También conjetura que el teorema de desaparición de Kodaira es falso para superficies en característica p . En el tercer artículo, da un ejemplo de una superficie normal para la que la desaparición de Kodaira falla. El primer ejemplo de una superficie lisa para la que la desaparición de Kodaira falla fue dado por Michel Raynaud en 1978.
En el segundo artículo de Pathologies, Mumford descubre que el esquema de Hilbert que parametriza curvas espaciales de grado 14 y género 24 tiene un componente múltiple. En el cuarto artículo de Pathologies, encuentra curvas completas reducidas e irreducibles que no son especializaciones de curvas no singulares.
Este tipo de patologías se consideraban bastante escasas cuando aparecieron por primera vez. Pero Ravi Vakil demostró en su artículo "La ley de Murphy en geometría algebraica" que los esquemas de Hilbert de objetos geométricos agradables pueden ser arbitrariamente "malos", con un número ilimitado de componentes y con multiplicidades arbitrariamente grandes (Invent. Math. 164 (2006), 569–590).
En tres artículos escritos entre 1969 y 1976 (los dos últimos en colaboración con Enrico Bombieri ), Mumford extendió la clasificación de Enriques-Kodaira de superficies proyectivas suaves desde el caso del cuerpo fundamental complejo al caso de un cuerpo fundamental algebraicamente cerrado de característica p . La respuesta final resulta ser esencialmente la misma que la respuesta en el caso complejo (aunque los métodos empleados a veces son bastante diferentes), una vez que se realizan dos ajustes importantes. El primero es que se pueden obtener superficies "no clásicas", que surgen cuando la p -torsión en el esquema de Picard degenera a un esquema de grupo no reducido. El segundo es la posibilidad de obtener superficies cuasi-elípticas en las características dos y tres. Estas son superficies fibradas sobre una curva donde la fibra general es una curva de género aritmético uno con una cúspide.
Una vez realizados estos ajustes, las superficies se dividen en cuatro clases por su dimensión Kodaira , como en el caso complejo. Las cuatro clases son: a) Dimensión Kodaira menos infinito. Éstas son las superficies regladas . b) Dimensión Kodaira 0. Éstas son las superficies K3 , superficies abelianas , superficies hiperelípticas y cuasi-hiperelípticas , y superficies de Enriques . Existen ejemplos clásicos y no clásicos en los dos últimos casos de dimensión Kodaira cero. c) Dimensión Kodaira 1. Éstas son las superficies elípticas y cuasi-elípticas no contenidas en los dos últimos grupos. d) Dimensión Kodaira 2. Éstas son las superficies de tipo general .
Mumford recibió la Medalla Fields en 1974. Fue miembro de MacArthur Fellow de 1987 a 1992. Ganó el Premio Shaw en 2006. En 2007 recibió el Premio Steele de Exposición Matemática de la American Mathematical Society . En 2008 recibió el Premio Wolf ; al recibir el premio en Jerusalén de manos de Shimon Peres , Mumford anunció que donaría la mitad del dinero del premio a la Universidad Birzeit en los territorios palestinos y la otra mitad a Gisha, una organización israelí que promueve el derecho a la libertad de movimiento de los palestinos en la Franja de Gaza. [6] [7] También formó parte del jurado de Ciencias Matemáticas para el Premio Infosys en 2009 y 2010. En 2010 recibió la Medalla Nacional de la Ciencia . [8] En 2012 se convirtió en miembro de la American Mathematical Society . [9]
Hay una larga lista de premios y honores además de los anteriores, incluidos:
Fue elegido Presidente de la Unión Matemática Internacional en 1995 y ejerció el cargo entre 1995 y 1999.
