Salchicha vienesa

Una salchicha Wiener larga y delgada en 3 dimensiones

Una salchicha Wiener corta y gruesa en 2 dimensiones

En el campo matemático de la probabilidad , la salchicha de Wiener es una vecindad de la traza de un movimiento browniano hasta un tiempo t , dada al tomar todos los puntos dentro de una distancia fija del movimiento browniano. Puede visualizarse como una salchicha de radio fijo cuya línea central es el movimiento browniano. La salchicha Wiener recibió el nombre de Norbert Wiener por MD Donsker y SR Srinivasa Varadhan  (1975) debido a su relación con el proceso Wiener ; El nombre también es un juego de palabras con la salchicha vienesa , ya que "Wiener" en alemán significa "vienés".

La salchicha Wiener es uno de los funcionales no markovianos más simples del movimiento browniano. Sus aplicaciones incluyen fenómenos estocásticos , incluida la conducción de calor . Fue descrito por primera vez por Frank Spitzer  (1964) y utilizado por Mark Kac y Joaquin Mazdak Luttinger  (1973, 1974) para explicar los resultados de un condensado de Bose-Einstein , con pruebas publicadas por MD Donsker y SR Srinivasa Varadhan  (1975). .

Definiciones

La salchicha Wiener W _δ ( t ) de radio δ y longitud t es la variable aleatoria con valores establecidos en caminos brownianos b (en algún espacio euclidiano) definido por

${\displaystyle W_{\delta }(t)({b})}$es el conjunto de puntos dentro de una distancia δ de algún punto b ( x ) del camino b con 0≤ x ≤ t .

Volumen de la salchicha vienesa

Se ha trabajado mucho sobre el comportamiento del volumen ( medida de Lebesgue ) | W _δ ( t )| de la salchicha Wiener a medida que se adelgaza (δ→0); al reescalar, esto es esencialmente equivalente a estudiar el volumen a medida que la salchicha se alarga ( t →∞).

Spitzer (1964) demostró que en 3 dimensiones el valor esperado del volumen de la salchicha es

${\displaystyle E(|W_{\delta }(t)|)=2\pi \delta t+4\delta ^{2}{\sqrt {2\pi t}}+4\pi \delta ^{3}/3.}$

En la dimensión d al menos 3 el volumen de la salchicha Wiener es asintótico a

${\displaystyle \delta ^{d-2}\pi ^{d/2}2t/\Gamma ((d-2)/2)}$

cuando t tiende a infinito. En las dimensiones 1 y 2 esta fórmula se reemplaza por y respectivamente. Whitman (1964), un alumno de Spitzer, demostró resultados similares para generalizaciones de salchichas Wiener con secciones transversales dadas por conjuntos compactos más generales que por bolas . ${\displaystyle {\sqrt {8t/\pi }}}$ ${\displaystyle 2{\pi }t/\log(t)}$

Referencias

• Donsker, MD ; Varadhan, SRS (1975), "Asintótica para la salchicha Wiener", Comunicaciones sobre matemáticas puras y aplicadas , 28 (4): 525–565, doi :10.1002/cpa.3160280406
• Hollander, F. den (2001) [1994], "Salchicha salchicha", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Kac, M .; Luttinger, JM (1973), "Condensación de Bose-Einstein en presencia de impurezas", J. Math. Física. , 14 (11): 1626–1628, Bibcode :1973JMP....14.1626K, doi :10.1063/1.1666234, SEÑOR  0342114
• Kac, M .; Luttinger, JM (1974), "Condensación de Bose-Einstein en presencia de impurezas. II", J. Math. Física. , 15 (2): 183–186, Bibcode :1974JMP....15..183K, doi :10.1063/1.1666617, SEÑOR  0342115
• Simon, Barry (2005), Integración funcional y física cuántica , Providence, RI: AMS Chelsea Publishing, ISBN 0-8218-3582-3, señor  2105995Especialmente el capítulo 22.
• Spitzer, F. (1964), "Capacidad electrostática, flujo de calor y movimiento browniano", Teoría de la probabilidad y campos relacionados , 3 (2): 110–121, doi : 10.1007/BF00535970 , S2CID  198179345
• Spitzer, Frank (1976), Principios de paseos aleatorios , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 34, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, pág. 40, SEÑOR  0171290(Reimpresión de la edición de 1964)
• Sznitman, Alain-Sol (1998), Movimiento browniano, obstáculos y medios aleatorios , Springer Monographs in Mathematics, Berlín: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-662-11281-6, ISBN 3-540-64554-3, señor  1717054Una monografía avanzada que cubre la salchicha Wiener.
• Whitman, Walter William (1964), Algunas leyes sólidas para paseos aleatorios y movimiento browniano , Tesis doctoral, Cornell U.