Modelo de volatilidad SABR

Modelo de volatilidad estocástica utilizado en los mercados de derivados

En finanzas matemáticas , el modelo SABR es un modelo de volatilidad estocástica que intenta capturar la sonrisa de la volatilidad en los mercados de derivados. El nombre significa " alfa , beta y rho estocásticos ", en referencia a los parámetros del modelo. El modelo SABR es ampliamente utilizado por los profesionales de la industria financiera, especialmente en los mercados de derivados de tipos de interés . Fue desarrollado por Patrick S. Hagan, Deep Kumar, Andrew Lesniewski y Diana Woodward. ^[1]

Dinámica

El modelo SABR describe un único forward , como un tipo de interés a plazo LIBOR , un tipo de interés swap a plazo o un precio de acciones a plazo. Este es uno de los estándares del mercado que utilizan los participantes del mercado para cotizar volatilidades. La volatilidad del forward se describe mediante un parámetro . SABR es un modelo dinámico en el que tanto y están representados por variables de estado estocásticas cuya evolución temporal está dada por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales estocásticas : ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}\left(F_{t}\right)^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}^{}\,dZ_{t},}$

con los valores de tiempo cero (observados actualmente) prescritos y . Aquí, y son dos procesos de Wiener correlacionados con coeficiente de correlación : ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle Z_{t}}$ ${\displaystyle -1<\rho <1}$

${\displaystyle dW_{t}\,dZ_{t}=\rho \,dt}$

Los parámetros constantes satisfacen las condiciones . es un parámetro similar a la volatilidad para la volatilidad. es la correlación instantánea entre el subyacente y su volatilidad. La volatilidad inicial controla la altura del nivel de volatilidad implícita de ATM . Tanto la correlación como controlan la pendiente de la asimetría implícita. La volatilidad de la volatilidad controla su curvatura. ${\displaystyle \beta ,\;\alpha }$ ${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1,\;\alpha \geq 0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$

La dinámica anterior es una versión estocástica del modelo CEV con el parámetro de asimetría : de hecho, se reduce al modelo CEV si El parámetro a menudo se denomina volvol , y su significado es el de la volatilidad lognormal del parámetro de volatilidad . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \sigma }$

Solución asintótica

Consideramos una opción europea (por ejemplo, una opción de compra) sobre un contrato forward con un precio de ejercicio de , que vence dentro de varios años. El valor de esta opción es igual al valor esperado del pago descontado adecuadamente según la distribución de probabilidad del proceso . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \max(F_{T}-K,\;0)}$ ${\displaystyle F_{t}}$

A excepción de los casos especiales de y , no se conoce ninguna expresión en forma cerrada para esta distribución de probabilidad. El caso general se puede resolver de forma aproximada mediante una expansión asintótica en el parámetro . En condiciones de mercado típicas, este parámetro es pequeño y la solución aproximada es bastante precisa. También es significativo que esta solución tenga una forma funcional bastante simple, sea muy fácil de implementar en código informático y se preste bien a la gestión de riesgos de grandes carteras de opciones en tiempo real. ${\displaystyle \beta =0}$ ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle \varepsilon =T\alpha ^{2}}$

Es conveniente expresar la solución en términos de la volatilidad implícita de la opción. Es decir, forzamos el precio del modelo SABR de la opción a adoptar la forma de la fórmula de valoración del modelo de Black . Entonces, la volatilidad implícita, que es el valor del parámetro de volatilidad lognormal en el modelo de Black que lo obliga a coincidir con el precio SABR, viene dada aproximadamente por: ${\displaystyle \sigma _{\textrm {impl}}}$

${\displaystyle \sigma _{\text{impl}}=\alpha \;{\frac {\log(F_{0}/K)}{D(\zeta )}}\;\left\{1+\left[{\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}+1/\left(F_{\text{mid}}\right)^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}\right]\varepsilon \right\},}$

donde, para mayor claridad, hemos establecido . La fórmula no está definida cuando , por lo que la reemplazamos por su límite como , que se obtiene reemplazando el factor por 1. El valor denota un punto medio elegido convenientemente entre y (como la media geométrica o la media aritmética ). También hemos establecido ${\displaystyle C\left(F\right)=F^{\beta }}$ ${\displaystyle K=F_{0}}$ ${\displaystyle K\to F_{0}}$ ${\displaystyle {\frac {\log(F_{0}/K)}{D(\zeta )}}}$ ${\displaystyle F_{\text{mid}}}$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\sqrt {F_{0}K}}}$ ${\displaystyle \left(F_{0}+K\right)/2}$

${\displaystyle \zeta ={\frac {\alpha }{\sigma _{0}}}\;\int _{K}^{F_{0}}{\frac {dx}{C(x)}}={\frac {\alpha }{\sigma _{0}(1-\beta )}}\;\left(F_{0}{}^{1-\beta }-K^{1-\beta }\right),}$

y

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {C'(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}}={\frac {\beta }{F_{\text{mid}}}}\;,}$

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {C''(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}}=-{\frac {\beta (1-\beta )}{\left(F_{\text{mid}}\right)^{2}}}\;,}$

La función que entra en la fórmula anterior viene dada por ${\displaystyle D\left(\zeta \right)}$

${\displaystyle D(\zeta )=\log \left({\frac {{\sqrt {1-2\rho \zeta +\zeta ^{2}}}+\zeta -\rho }{1-\rho }}\right).}$

Alternativamente, se puede expresar el precio SABR en términos del modelo de Bachelier . Luego, la volatilidad normal implícita se puede calcular asintóticamente mediante la siguiente expresión:

${\displaystyle \sigma _{\text{impl}}^{\text{n}}=\alpha \;{\frac {F_{0}-K}{D(\zeta )}}\;\left\{1+\left[{\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}\right]\varepsilon \right\}.}$

Vale la pena señalar que la volatilidad implícita SABR normal es generalmente algo más precisa que la volatilidad implícita lognormal.

La precisión de la aproximación y el grado de arbitraje se pueden mejorar aún más si se utiliza la volatilidad equivalente bajo el modelo CEV con el mismo para fijar el precio de las opciones. ^[2] ${\displaystyle \beta }$

SABR para las tasas negativas

Una extensión del modelo SABR para tasas de interés negativas que ha ganado popularidad en los últimos años es el modelo SABR desplazado, donde se supone que la tasa a futuro desplazada sigue un proceso SABR.

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}(F_{t}+s)^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}$

para algún cambio positivo . Dado que los cambios se incluyen en las cotizaciones del mercado y existe un límite intuitivo que determina hasta qué punto las tasas pueden volverse negativas, el SABR modificado se ha convertido en la mejor práctica del mercado para adaptarse a las tasas negativas. ${\displaystyle s}$

El modelo SABR también puede modificarse para cubrir las tasas de interés negativas mediante:

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}|F_{t}|^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}$

para y una condición de contorno libre para . Se encuentran disponibles su solución exacta para la correlación cero, así como una aproximación eficiente para un caso general. ^[3] Un inconveniente obvio de este enfoque es la suposición a priori de tasas de interés potenciales altamente negativas a través del contorno libre. ${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1/2}$ ${\displaystyle F=0}$

Problema de arbitraje en la fórmula de volatilidad implícita

Aunque la solución asintótica es muy fácil de implementar, la densidad implícita en la aproximación no siempre está libre de arbitraje, especialmente para strikes muy bajos (se vuelve negativa o la densidad no se integra a uno).

Una posibilidad para "arreglar" la fórmula es utilizar el método de colocación estocástica y proyectar el modelo implícito correspondiente, mal planteado, sobre un polinomio de variables libres de arbitraje, por ejemplo, normal. Esto garantizará la igualdad en la probabilidad en los puntos de colocación mientras que la densidad generada está libre de arbitraje. ^[4] Utilizando el método de proyección, se dispone de precios de opciones europeas analíticas y las volatilidades implícitas se mantienen muy cerca de las obtenidas inicialmente por la fórmula asintótica.

Otra posibilidad es confiar en un solucionador de PDE rápido y robusto sobre una expansión equivalente de la PDE directa, que preserve numéricamente el momento cero y el primero, garantizando así la ausencia de arbitraje. ^[5]

Extensiones

El modelo SABR se puede ampliar suponiendo que sus parámetros dependen del tiempo. Sin embargo, esto complica el procedimiento de calibración. Un método de calibración avanzado del modelo SABR dependiente del tiempo se basa en los denominados "parámetros efectivos". ^[6]

Alternativamente, Guerrero y Orlando ^[7] muestran que un modelo de volatilidad estocástica local (SLV) dependiente del tiempo puede reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales parciales autónomas que pueden resolverse utilizando el núcleo de calor, mediante el método de factorización de Wei-Norman y técnicas algebraicas de Lie. Las soluciones explícitas obtenidas por dichas técnicas son comparables a las simulaciones tradicionales de Monte Carlo, lo que permite tiempos más cortos en los cálculos numéricos.

Simulación

Como el proceso de volatilidad estocástica sigue un movimiento browniano geométrico , su simulación exacta es sencilla. Sin embargo, la simulación del proceso de activos a plazo no es una tarea trivial. Normalmente se consideran esquemas de simulación basados ​​en Taylor, como Euler-Maruyama o Milstein . Recientemente, se han propuesto métodos novedosos para la simulación de Monte Carlo casi exacta del modelo SABR. ^[8] Recientemente se han considerado estudios extensos para el modelo SABR. ^[9] Para el modelo SABR normal ( sin condición de contorno en ), se conoce un método de simulación de forma cerrada. ^[10] ${\displaystyle \beta =0}$ ${\displaystyle F=0}$

Véase también

• Volatilidad (finanzas)
• Volatilidad estocástica
• Medida neutral al riesgo

Referencias

1. Hagan, Patrick S.; Kumar, Deep; Kesniewski, Andrew S.; Woodward, Diana E. (enero de 2002). "Managing Smile Risk" (PDF) . Wilmott . Vol. 1. págs. 84–108. Archivado (PDF) desde el original el 2022-04-30 . Consultado el 2022-04-30 .
2. Choi, Jaehyuk; Wu, Lixin (julio de 2021). "La volatilidad equivalente de elasticidad constante de varianza (CEV) del modelo estocástico alfa-beta-rho (SABR)". Revista de dinámica económica y control . 128 : 104143. arXiv : 1911.13123 . doi :10.1016/j.jedc.2021.104143. S2CID  235239799. SSRN  3495464. Consultado el 30 de abril de 2022 .
3. Antonov, Alexandre; Konikov, Michael; Spector, Michael (28 de enero de 2015). "El SABR de límite libre: extensión natural a tasas negativas". SSRN  2557046.
4. Grzelak, Lech A.; Oosterlee, Cornelis W. (febrero de 2017) [4 de julio de 2016]. "Del arbitraje a las volatilidades implícitas libres de arbitraje". Journal of Computational Finance . 20 (3): 31–49. doi :10.21314/JCF.2016.316. ISSN  1755-2850. SSRN  2529684 . Consultado el 30 de abril de 2022 .
5. Le Floc'h, Fabien; Kennedy, Gary (15 de agosto de 2016). "Técnicas de diferencias finitas para SABR sin arbitraje". Journal of Computational Finance . ISSN  1755-2850 . Consultado el 30 de abril de 2022 .
6. Van der Stoep, Anton W.; Grzelak, Lech Aleksander; Oosterlee, Cornelis W. (28 de septiembre de 2015). "El modelo FX-SABR dependiente del tiempo: calibración eficiente basada en parámetros efectivos". Revista internacional de finanzas teóricas y aplicadas . 18 (6): 1550042. doi :10.1142/S0219024915500429. SSRN  2503891 . Consultado el 30 de abril de 2022 .
7. Guerrero, Julio; Orlando, Giuseppe (septiembre de 2021). "Modelos de volatilidad local estocástica y el método de factorización de Wei-Norman". Discrete & Continuous Dynamical Systems - S . 15 (12): 3699–3722. arXiv : 2201.11241 . doi :10.3934/dcdss.2022026. ISSN  1937-1632. S2CID  246295004 . Consultado el 30 de abril de 2022 .
8. Leitao, Álvaro; Grzelak, Lech A.; Oosterlee, Cornelis W. (10 de abril de 2017) [13 de abril de 2016]. "Sobre una simulación eficiente de Monte Carlo de múltiples pasos temporales del modelo SABR". Finanzas cuantitativas . 17 (10): 1549–1565. doi : 10.1080/14697688.2017.1301676 . SSRN  2764908.
9. Cui, Zhenyu; Kirkby, Justin L.; Nguyen, Duy (24 de abril de 2018). "Un marco de valoración general para SABR y modelos de volatilidad local estocástica". Revista SIAM de matemáticas financieras . 9 (2): 520–563. doi :10.1137/16M1106572. S2CID  207074154.
10. Choi, Jaehyuk; Liu, Chenru; Seo, Byoung Ki (31 de octubre de 2018). "Modelo de volatilidad estocástica normal hiperbólica". Journal of Futures Markets . 39 (2): 186–204. arXiv : 1809.04035 . doi :10.1002/fut.21967. S2CID  158662660. SSRN  3068836 . Consultado el 30 de abril de 2022 .

Lectura adicional

• Hagan, Patrick; Lesniewski, Andrew; Woodward, Diana (22 de marzo de 2005). "Distribución de probabilidad en el modelo SABR de volatilidad estocástica" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 8 de marzo de 2021 . Consultado el 30 de abril de 2022 .
• Bartlett, Bruce (febrero de 2006). "Cobertura bajo el modelo SABR" (PDF) . Wilmott . Archivado desde el original (PDF) el 2020-12-30 . Consultado el 2022-04-30 .
• Hagan, Patrick; Lesniewski, Andrew (30 de abril de 2008). "Modelo de mercado LIBOR con volatilidad estocástica al estilo SABR" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 3 de marzo de 2022 . Consultado el 30 de abril de 2022 .
• Hagan, Patrick S.; Kumar, Deep; Lesniewski, Andrew S.; Woodward, Diana E. (29 de enero de 2014). "SABR libre de arbitraje". Wilmott . Vol. 2014, núm. 69. págs. 60–75. doi :10.1002/wilm.10290 . Consultado el 30 de abril de 2022 .
• Obloj, enero (18 de marzo de 2008). "Afina tu sonrisa - Corrección de Hagan et al". arXiv : 0708.0998 [q-fin.CP].
• West, Graeme. "Un resumen de los enfoques del modelo SABR para derivados de acciones smile". Riskworx . Archivado desde el original el 14 de septiembre de 2015. Consultado el 30 de abril de 2022 .
• Henry-Labordere, Pierre (15 de febrero de 2005). "Unificación de los modelos BGM y SABR: un breve recorrido por la geometría hiperbólica". arXiv : physics/0602102 .
• Jordan, Richard; Tier, Charles (17 de mayo de 2011). "Aproximaciones asintóticas a los modelos CEV y SABR". SSRN  1850709.
• "Calibración SABR". 26 de diciembre de 2012. Archivado desde el original el 27 de mayo de 2016. Consultado el 30 de abril de 2022 .
• Antonov, Alexandre; Spector, Michael (23 de marzo de 2012). "Análisis avanzado para el modelo SABR". SSRN  2026350.
• Antonov, Alexandre; Konikov, Michael; Spector, Michael (2 de mayo de 2019). Analítica SABR moderna: fórmulas y perspectivas para analistas cuantitativos, ex físicos y matemáticos (Springer Briefs in Quantitative Finance) 1.ª ed . doi :10.1007/978-3-030-10656-0. ISBN 978-3-030-10655-3. ISSN  2192-7014. S2CID  182484805./ Nota de prensa, Nueva York, NY – 24 de junio de 2019
• Gulisashvili, Archil; Horvath, Blanka; Jacquier, Antoine (Jack) (2016-11-22). "Masa en cero en el modelo SABR no correlacionado y asintótica de volatilidad implícita". SSRN  2563510.