Sólido reforzado

Figura 1: Cubo pequeño de un material con barras de refuerzo. El cubo está agrietado y se ha eliminado el material que se encuentra sobre la grieta para mostrar el refuerzo que cruza la grieta.

En mecánica de sólidos , un sólido reforzado es un material frágil reforzado por barras dúctiles o fibras. Una aplicación común es el hormigón armado . Cuando el hormigón se agrieta, la fuerza de tracción en una grieta ya no la soporta el hormigón, sino solo las barras de refuerzo de acero. El hormigón armado seguirá soportando la carga siempre que haya suficiente refuerzo. Un problema de diseño típico es encontrar la cantidad mínima de refuerzo que pueda soportar las tensiones en un cubo pequeño (Fig. 1). Esto se puede formular como un problema de optimización .

Problema de optimización

El refuerzo se dirige en la dirección x, y y z. La relación de refuerzo se define en una sección transversal de una barra de refuerzo como el área de refuerzo sobre el área total , que es el área del material frágil más el área de refuerzo. ${\displaystyle A_{r}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \rho _{x}}$= / ${\displaystyle A_{rx}}$ ${\displaystyle A_{x}}$

${\displaystyle \rho _{y}}$= / ${\displaystyle A_{ry}}$ ${\displaystyle A_{y}}$

${\displaystyle \rho _{z}}$= / ${\displaystyle A_{rz}}$ ${\displaystyle A_{z}}$

En el caso del hormigón armado, las proporciones de refuerzo suelen estar entre el 0,1% y el 2%. La tensión de fluencia del refuerzo se denota por . El tensor de tensión del material frágil es ${\displaystyle f_{y}}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{x}f_{y}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}-\rho _{y}f_{y}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}-\rho _{z}f_{y}\\\end{matrix}}\right]}$.

Esto se puede interpretar como el tensor de tensión del material compuesto menos las tensiones soportadas por el refuerzo en la fluencia. Esta formulación es precisa para proporciones de refuerzo inferiores al 5 %. Se supone que el material frágil no tiene resistencia a la tracción. (En el caso del hormigón armado, esta suposición es necesaria porque el hormigón tiene pequeñas grietas por contracción). Por lo tanto, las tensiones principales del material frágil deben ser de compresión. Las tensiones principales de un tensor de tensión son sus valores propios .

El problema de optimización se formula de la siguiente manera. Minimizar + + sujeto a que todos los valores propios del tensor de tensión del material frágil sean menores o iguales a cero ( semidefinido negativo ). Las restricciones adicionales son ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0. ${\displaystyle \rho _{x}}$ ${\displaystyle \rho _{y}}$ ${\displaystyle \rho _{z}}$ ${\displaystyle \rho _{x}}$ ${\displaystyle \rho _{y}}$ ${\displaystyle \rho _{z}}$

Solución

La solución a este problema se puede presentar en una forma más adecuada para cálculos manuales. ^{[1] [2]} Se puede presentar en forma gráfica. ^[3] También se puede presentar en una forma más adecuada para implementación por computadora. ^{[4] [5]} En este artículo se muestra el último método.

Existen 12 posibles soluciones de refuerzo para este problema, que se muestran en la tabla siguiente. Cada fila contiene una posible solución. La primera columna contiene el número de una solución. La segunda columna indica las condiciones para las que una solución es válida. Las columnas 3, 4 y 5 indican las fórmulas para calcular las proporciones de refuerzo.

${\displaystyle I_{1}}$, y son los invariantes de tensión del tensor de tensión del material compuesto. ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$

El algoritmo para obtener la solución correcta es simple. Calcule las razones de refuerzo de cada solución posible que cumpla las condiciones. Además, ignore las soluciones con una razón de refuerzo menor que cero. Calcule los valores de + + y seleccione la solución para la que este valor sea el más pequeño. Las tensiones principales en el material frágil se pueden calcular como los valores propios del tensor de tensión del material frágil, por ejemplo, mediante el método de Jacobi . ${\displaystyle \rho _{x}}$ ${\displaystyle \rho _{y}}$ ${\displaystyle \rho _{z}}$

Las fórmulas se pueden comprobar de forma sencilla sustituyendo las razones de refuerzo en el tensor de tensión del material frágil y calculando los invariantes. El primer invariante debe ser menor o igual a cero. El segundo invariante debe ser mayor o igual a cero. Estos proporcionan las condiciones de la columna 2. Para las soluciones 2 a 12, el tercer invariante debe ser cero. ^[3]

Ejemplos

La siguiente tabla muestra las proporciones de refuerzo calculadas para 10 tensores de tensión. La tensión de fluencia del refuerzo aplicado es = 500 N/mm². La densidad de masa de las barras de refuerzo es 7800 kg/m ³ . En la tabla se muestra la tensión de material frágil calculada. es la cantidad optimizada de refuerzo. ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle \sigma _{m}}$ ${\displaystyle m_{r}}$

En la tesis doctoral de Reinaldo Chen se pueden encontrar elaborados diagramas de contorno para vigas, una ménsula, un capitel de pilote y una viga articulada. ^[6]

Aproximación segura

La solución al problema de optimización se puede aproximar de forma conservadora.

${\displaystyle \rho _{x}f_{y}}$≤ ${\displaystyle \sigma _{xx}+|\sigma _{xy}|+|\sigma _{xz}|}$

${\displaystyle \rho _{y}f_{y}}$≤ ${\displaystyle \sigma _{yy}+|\sigma _{xy}|+|\sigma _{yz}|}$

${\displaystyle \rho _{z}f_{y}}$≤ ${\displaystyle \sigma _{zz}+|\sigma _{xz}|+|\sigma _{yz}|}$

Esto se puede demostrar de la siguiente manera. Para este límite superior, el polinomio característico del tensor de tensión del material frágil es

${\displaystyle \lambda ^{3}+2(|\sigma _{yz}|+|\sigma _{xz}|+|\sigma _{xy}|)\lambda ^{2}+3(|\sigma _{xz}\sigma _{xy}|+|\sigma _{yz}\sigma _{xy}|+|\sigma _{yz}\sigma _{xz}|)\lambda +2|\sigma _{yz}\sigma _{xz}\sigma _{xy}|-2\sigma _{yz}\sigma _{xz}\sigma _{xy}}$,

que no tiene raíces positivas o valores propios.

La aproximación es fácil de recordar y puede utilizarse para comprobar o reemplazar resultados de cálculos.

Extensión

La solución anterior puede ser muy útil para diseñar refuerzos; sin embargo, tiene algunas limitaciones prácticas. También se pueden incluir los siguientes aspectos, si el problema se resuelve mediante optimización convexa :

• Múltiples tensores de tensión en un punto debido a múltiples cargas en la estructura en lugar de un solo tensor de tensión
• Una restricción impuesta a los anchos de grietas en la superficie de la estructura.
• Esfuerzo cortante en la grieta (enclavamiento de agregados)
• Refuerzo en direcciones distintas a x, y y z
• Barras de refuerzo que ya han sido colocadas en el proceso de diseño de refuerzo
• Toda la estructura en lugar de un pequeño cubo de material a su vez
• Grandes ratios de refuerzo
• Refuerzo de compresión

Barras en cualquier dirección

Las barras de refuerzo pueden tener otras direcciones además de las direcciones x, y y z. En el caso de barras en una dirección, el tensor de tensión del material frágil se calcula mediante

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]-\rho f_{y}\left[{\begin{matrix}\cos ^{2}(\alpha )&\cos(\alpha )\cos(\beta )&\cos(\alpha )\cos(\gamma )\\\cos(\beta )\cos(\alpha )&\cos ^{2}(\beta )&\cos(\beta )\cos(\gamma )\\\cos(\gamma )\cos(\alpha )&\cos(\gamma )\cos(\beta )&\cos ^{2}(\gamma )\\\end{matrix}}\right]}$

donde son los ángulos de las barras con los ejes x, y y z. Se pueden agregar barras en otras direcciones de la misma manera. ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$

Utilización

A menudo, los constructores de estructuras de hormigón armado saben, por experiencia, dónde colocar las barras de refuerzo. Las herramientas informáticas pueden ayudar a ello comprobando si el refuerzo propuesto es suficiente. Para ello, se utiliza el criterio de tracción.

Los valores propios de deberán ser menores o iguales a cero. ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{x}f_{y}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}-\rho _{y}f_{y}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}-\rho _{z}f_{y}\\\end{matrix}}\right]}$

se reescribe en,

Los valores propios de deberán ser menores o iguales a uno. ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}{\frac {\sigma _{xx}}{\rho _{x}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{xy}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{y}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{xz}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{z}}}f_{y}}}\\{\frac {\sigma _{xy}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{y}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{yy}}{\rho _{y}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{yz}}{{\sqrt {\rho _{y}\rho _{z}}}f_{y}}}\\{\frac {\sigma _{xz}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{z}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{yz}}{{\sqrt {\rho _{y}\rho _{z}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{zz}}{\rho _{z}f_{y}}}\\\end{matrix}}\right]}$

La última matriz es el tensor de utilización. El valor propio más grande de este tensor es la utilización (verificación de unidad), que se puede mostrar en un gráfico de contorno de una estructura para todas las combinaciones de carga relacionadas con el estado límite último .

Por ejemplo, la tensión en algún punto de una estructura es = 4 N/mm², = -10 N/mm², = 3 N/mm², = 3 N/mm², = -7 N/mm², = 1 N/mm². La tensión de fluencia del refuerzo es = 500 N/mm². El refuerzo propuesto es = 1,4 %, = 0,1 %, = 1,9 %. Los valores propios del tensor de utilización son -20,11, -0,33 y 1,32. La utilización es 1,32. Esto demuestra que las barras están sobrecargadas y se requiere un 32 % más de refuerzo. ${\displaystyle \sigma _{xx}}$ ${\displaystyle \sigma _{yy}}$ ${\displaystyle \sigma _{zz}}$ ${\displaystyle \sigma _{yz}}$ ${\displaystyle \sigma _{xz}}$ ${\displaystyle \sigma _{xy}}$ ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle \rho _{x}}$ ${\displaystyle \rho _{y}}$ ${\displaystyle \rho _{z}}$

La falla combinada por compresión y corte del hormigón se puede comprobar con el criterio de Mohr-Coulomb aplicado a los valores propios del tensor de tensión del material frágil.

${\displaystyle {\frac {\sigma _{1}}{f_{t}}}+{\frac {\sigma _{3}}{f_{c}}}}$≤ 1,

donde es la tensión principal más grande, es la tensión principal más pequeña, es la resistencia a la compresión uniaxial (valor negativo) y es una resistencia a la tracción ficticia basada en experimentos de compresión y corte. ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle f_{t}}$

Las grietas en el hormigón se pueden comprobar sustituyendo la tensión de fluencia en el tensor de utilización por la tensión de la barra en la que se produce el ancho máximo de grieta. (Esta tensión de la barra depende también del diámetro de la barra, del espaciamiento entre barras y de la cubierta de la barra ). Claramente, los anchos de grieta necesitan comprobarse solo en la superficie de una estructura para estados de tensión debido a combinaciones de carga relacionadas con el estado límite de servicio . ${\displaystyle f_{y}}$

Véase también

• Hormigón armado
• Mecánica de sólidos
• Ingeniería estructural

Referencias

1. Andreasen BS, Nielsen MP, Armiering af beton I det tredimesionale tilfælde, Bygningsstatiske meddelelser, vol. 5 (1985), núm. 2 y 3, págs. 25 a 79 (en danés).
2. Nielsen MP, Hoang LC, Análisis límite y plasticidad del hormigón, tercera edición, CRC Press, 2011.
3. Foster SJ, Marti P., Mojsilovic N., Diseño de sólidos de hormigón armado mediante análisis de tensiones, ACI Structural Journal, noviembre-diciembre de 2003, págs. 758-764.
4. Hoogenboom PCJ, De Boer A., ​​"Cálculo del refuerzo para hormigón macizo", Heron, vol. 53 (2008), núm. 4. págs.
5. Hoogenboom PCJ, De Boer A., ​​"Cálculo del refuerzo óptimo del hormigón en tres dimensiones", Actas de EURO-C 2010, Modelado computacional de estructuras de hormigón, págs. 639-646, Editores Bicanic et al. Editorial CRC Press, Londres.
6. Chen R., Diseño de estructuras de hormigón armado basado en campos de tensiones tridimensionales, tesis doctoral, Universidad de São Paulo, Escola Politécnica, 2024