Sólido reforzado

Figura 1: Pequeño cubo de un material con barras de refuerzo. Se agrieta el cubo y se retira el material que está encima de la grieta para mostrar el refuerzo que cruza la grieta.

En mecánica de sólidos , un sólido reforzado es un material frágil que está reforzado por barras o fibras dúctiles . Una aplicación común es el hormigón armado . Cuando el hormigón se agrieta, la fuerza de tracción en una grieta ya no la soporta el hormigón, sino únicamente las barras de refuerzo de acero. El hormigón armado seguirá soportando la carga siempre que haya suficiente refuerzo. Un problema de diseño típico es encontrar la cantidad más pequeña de refuerzo que pueda soportar las tensiones en un cubo pequeño (Fig. 1). Esto se puede formular como un problema de optimización .

Problema de optimizacion

El refuerzo se dirige en las direcciones x, y, z. La relación de refuerzo se define en una sección transversal de una barra de refuerzo como el área de refuerzo sobre el área total , que es el área del material frágil más el área de refuerzo. ${\displaystyle A_{r}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \rho _{x}}$= / ${\displaystyle A_{rx}}$ ${\displaystyle A_{x}}$

${\displaystyle \rho _{y}}$= / ${\displaystyle A_{ry}}$ ${\displaystyle A_{y}}$

${\displaystyle \rho _{z}}$= / ${\displaystyle A_{rz}}$ ${\displaystyle A_{z}}$

En el caso del hormigón armado, las proporciones de refuerzo suelen estar entre el 0,1% y el 2%. El límite elástico del refuerzo se denota por . El tensor de tensión del material frágil es ${\displaystyle f_{y}}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{x}f_{y}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}-\rho _{y}f_{y}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}-\rho _{z}f_{y}\\\end{matrix}}\right]}$.

Esto puede interpretarse como el tensor de tensiones del material compuesto menos las tensiones soportadas por el refuerzo en el momento de la fluencia. Esta formulación es precisa para proporciones de refuerzo inferiores al 5%. Se supone que el material frágil no tiene resistencia a la tracción. (En el caso del hormigón armado, esta suposición es necesaria porque el hormigón tiene pequeñas grietas por contracción). Por lo tanto, las tensiones principales del material frágil deben ser la compresión. Las tensiones principales de un tensor de tensiones son sus valores propios .

El problema de optimización se formula de la siguiente manera. Minimizar + + sujeto a que todos los valores propios del tensor de tensión del material frágil sean menores o iguales a cero ( semidefinido negativo ). Las restricciones adicionales son ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0. ${\displaystyle \rho _{x}}$ ${\displaystyle \rho _{y}}$ ${\displaystyle \rho _{z}}$ ${\displaystyle \rho _{x}}$ ${\displaystyle \rho _{y}}$ ${\displaystyle \rho _{z}}$

Solución

La solución a este problema se puede presentar en la forma más adecuada para cálculos manuales. ^{[1] [2]} Puede presentarse en forma gráfica. ^[3] También se puede presentar en la forma más adecuada para la implementación informática. ^{[4] [5]} En este artículo se muestra el último método.

Hay 12 posibles soluciones de refuerzo para este problema, que se muestran en la siguiente tabla. Cada fila contiene una posible solución. La primera columna contiene el número de una solución. La segunda columna proporciona condiciones para las cuales una solución es válida. Las columnas 3, 4 y 5 dan las fórmulas para calcular las relaciones de refuerzo.

${\displaystyle I_{1}}$, y son las invariantes de tensión del tensor de tensión del material compuesto. ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$

El algoritmo para obtener la solución correcta es simple. Calcule las relaciones de refuerzo de cada posible solución que cumpla las condiciones. Ignore aún más las soluciones con una relación de refuerzo menor que cero. Calcule los valores de + + y seleccione la solución para la cual este valor sea menor. Las tensiones principales en el material frágil se pueden calcular como valores propios del tensor de tensiones del material frágil, por ejemplo mediante el método de Jacobi . ${\displaystyle \rho _{x}}$ ${\displaystyle \rho _{y}}$ ${\displaystyle \rho _{z}}$

Las fórmulas se pueden comprobar simplemente sustituyendo las relaciones de refuerzo en el tensor de tensión del material frágil y calculando las invariantes. El primer invariante debe ser menor o igual a cero. El segundo invariante debe ser mayor o igual a cero. Estos proporcionan las condiciones en la columna 2. Para las soluciones 2 a 12, el tercer invariante debe ser cero. ^[3]

Ejemplos

La siguiente tabla muestra las relaciones de refuerzo calculadas para 10 tensores de tensión. El límite elástico del refuerzo aplicado es = 500 N/mm². La densidad de masa de las barras de refuerzo es 7800 kg/m ³ . En la tabla se muestra la tensión del material frágil calculada. es la cantidad optimizada de refuerzo. ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle \sigma _{m}}$ ${\displaystyle m_{r}}$

Aproximación segura

La solución al problema de optimización se puede aproximar de forma conservadora.

${\displaystyle \rho _{x}f_{y}}$≤ ${\displaystyle \sigma _{xx}+|\sigma _{xy}|+|\sigma _{xz}|}$

${\displaystyle \rho _{y}f_{y}}$≤ ${\displaystyle \sigma _{yy}+|\sigma _{xy}|+|\sigma _{yz}|}$

${\displaystyle \rho _{z}f_{y}}$≤ ${\displaystyle \sigma _{zz}+|\sigma _{xz}|+|\sigma _{yz}|}$

Esto se puede demostrar de la siguiente manera. Para este límite superior, el polinomio característico del tensor de tensión del material frágil es

${\displaystyle \lambda ^{3}+2(|\sigma _{yz}|+|\sigma _{xz}|+|\sigma _{xy}|)\lambda ^{2}+3(|\sigma _{xz}||\sigma _{xy}|+|\sigma _{yz}||\sigma _{xy}|+|\sigma _{yz}||\sigma _{xz}|)\lambda +2|\sigma _{yz}\sigma _{xz}\sigma _{xy}|-2\sigma _{yz}\sigma _{xz}\sigma _{xy}}$,

que no tiene raíces positivas o valores propios.

La aproximación es fácil de recordar y puede usarse para verificar o reemplazar los resultados del cálculo.

Extensión

La solución anterior puede resultar muy útil para diseñar refuerzos; sin embargo, tiene algunas limitaciones prácticas. También se pueden incluir los siguientes aspectos, si el problema se resuelve mediante optimización convexa :

• Múltiples tensores de tensión en un punto debido a múltiples cargas en la estructura en lugar de un solo tensor de tensión
• Una restricción impuesta al ancho de las grietas en la superficie de la estructura.
• Esfuerzo cortante en la grieta (entrelazado de agregados)
• Refuerzo en direcciones distintas a x, y y z
• Barras de refuerzo que ya se han colocado en el proceso de diseño de refuerzo.
• Toda la estructura en lugar de un pequeño cubo de material por turnos.
• Grandes relaciones de refuerzo
• Refuerzo de compresión

Barras en cualquier dirección.

Las barras de refuerzo pueden tener otras direcciones además de las direcciones x, y y z. En el caso de barras en una dirección, el tensor de tensión del material frágil se calcula mediante

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]-\rho f_{y}\left[{\begin{matrix}\cos ^{2}(\alpha )&\cos(\alpha )\cos(\beta )&\cos(\alpha )\cos(\gamma )\\\cos(\beta )\cos(\alpha )&\cos ^{2}(\beta )&\cos(\beta )\cos(\gamma )\\\cos(\gamma )\cos(\alpha )&\cos(\gamma )\cos(\beta )&\cos ^{2}(\gamma )\\\end{matrix}}\right]}$

¿Dónde están los ángulos de las barras con los ejes x, y y z? Se pueden agregar barras en otras direcciones de la misma manera. ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$

Utilización

A menudo, los constructores de estructuras de hormigón armado saben por experiencia dónde colocar las barras de refuerzo. Las herramientas informáticas pueden contribuir a esto comprobando si el refuerzo propuesto es suficiente. Para ello se aplica el criterio de tensión,

Los valores propios de serán menores o iguales a cero. ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{x}f_{y}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}-\rho _{y}f_{y}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}-\rho _{z}f_{y}\\\end{matrix}}\right]}$

se reescribe en,

Los valores propios de serán menores o iguales a uno. ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}{\frac {\sigma _{xx}}{\rho _{x}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{xy}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{y}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{xz}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{z}}}f_{y}}}\\{\frac {\sigma _{xy}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{y}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{yy}}{\rho _{y}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{yz}}{{\sqrt {\rho _{y}\rho _{z}}}f_{y}}}\\{\frac {\sigma _{xz}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{z}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{yz}}{{\sqrt {\rho _{y}\rho _{z}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{zz}}{\rho _{z}f_{y}}}\\\end{matrix}}\right]}$

La última matriz es el tensor de utilización. El valor propio más grande de este tensor es la utilización (verificación unitaria), que se puede mostrar en un gráfico de contorno de una estructura para todas las combinaciones de carga relacionadas con el estado límite último .

Por ejemplo, la tensión en algún lugar de una estructura es = 4 N/mm², = -10 N/mm², = 3 N/mm², = 3 N/mm², = -7 N/mm², = 1 N/mm². El límite elástico del refuerzo es = 500 N/mm². El refuerzo propuesto es = 1,4%, = 0,1%, = 1,9%. Los valores propios del tensor de utilización son -20,11, -0,33 y 1,32. La utilización es 1,32. Esto demuestra que las barras están sobrecargadas y se requiere un 32% más de refuerzo. ${\displaystyle \sigma _{xx}}$ ${\displaystyle \sigma _{yy}}$ ${\displaystyle \sigma _{zz}}$ ${\displaystyle \sigma _{yz}}$ ${\displaystyle \sigma _{xz}}$ ${\displaystyle \sigma _{xy}}$ ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle \rho _{x}}$ ${\displaystyle \rho _{y}}$ ${\displaystyle \rho _{z}}$

La falla combinada por compresión y corte del concreto se puede verificar con el criterio de Mohr-Coulomb aplicado a los valores propios del tensor de tensión del material frágil.

${\displaystyle {\frac {\sigma _{1}}{f_{t}}}+{\frac {\sigma _{3}}{f_{c}}}}$≤ 1,

donde es la tensión principal más grande, es la tensión principal más pequeña, es la resistencia a la compresión uniaxial (valor negativo) y es una resistencia a la tracción ficticia basada en experimentos de compresión y corte. ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle f_{t}}$

Las grietas en el hormigón se pueden comprobar reemplazando el límite elástico en el tensor de utilización por el esfuerzo de la barra en el que se produce el ancho máximo de la grieta. (Esta tensión de la barra depende también del diámetro de la barra, el espaciamiento de la barra y el recubrimiento de la barra ). Claramente, los anchos de las grietas necesitan verificarse solo en la superficie de una estructura para detectar estados de tensión debidos a combinaciones de carga relacionadas con el estado límite de servicio . ${\displaystyle f_{y}}$

Ver también

• Concreto reforzado
• Mecánica sólida
• Ingeniería estructural

Referencias

1. Andreasen BS, Nielsen MP, Armiering af beton I det tredimesionale tilfælde, Bygningsstatiske meddelelser, vol. 5 (1985), núm. 2 y 3, págs. 25 a 79 (en danés).
2. Nielsen MP, Hoang LC, Análisis de límites y plasticidad del hormigón, tercera edición, CRC Press, 2011.
3. Foster SJ, Marti P., Mojsilovic N., Diseño de sólidos de hormigón armado mediante análisis de tensión, ACI Structural Journal, noviembre-diciembre. 2003, págs. 758-764.
4. Hoogenboom PCJ, De Boer A., ​​"Cálculo del refuerzo para hormigón macizo", Heron, vol. 53 (2008), núm. 4. págs.
5. Hoogenboom PCJ, De Boer A., ​​"Cálculo del refuerzo de hormigón óptimo en tres dimensiones", Actas de EURO-C 2010, Modelado computacional de estructuras de hormigón, págs. 639-646, Editors Bicanic et al. Editorial CRC Press, Londres.