Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz

Prueba matemática en la teoría de sistemas de control

En la teoría de sistemas de control , el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz es una prueba matemática que es una condición necesaria y suficiente para la estabilidad de un sistema dinámico lineal invariante en el tiempo (LTI) o sistema de control . Un sistema estable es uno cuya señal de salida está acotada; la posición, la velocidad o la energía no aumentan hasta el infinito a medida que pasa el tiempo. La prueba de Routh es un algoritmo recursivo eficiente que el matemático inglés Edward John Routh propuso en 1876 para determinar si todas las raíces del polinomio característico de un sistema lineal tienen partes reales negativas. ^[1] El matemático alemán Adolf Hurwitz propuso de forma independiente en 1895 ordenar los coeficientes del polinomio en una matriz cuadrada, llamada matriz de Hurwitz , y demostró que el polinomio es estable si y solo si la secuencia de determinantes de sus submatrices principales son todas positivas. ^[2] Los dos procedimientos son equivalentes, y la prueba de Routh proporciona una forma más eficiente de calcular los determinantes de Hurwitz ( ) que calcularlos directamente. Un polinomio que satisface el criterio de Routh-Hurwitz se denomina polinomio de Hurwitz . ${\displaystyle \Delta _{i}}$

La importancia del criterio es que las raíces p de la ecuación característica de un sistema lineal con partes reales negativas representan soluciones e ^pt del sistema que son estables ( acotadas ). Así, el criterio proporciona una forma de determinar si las ecuaciones de movimiento de un sistema lineal tienen solo soluciones estables, sin resolver el sistema directamente. Para sistemas discretos, la prueba de estabilidad correspondiente puede manejarse mediante el criterio de Schur-Cohn, la prueba de Jury y la prueba de Bistritz . Con el advenimiento de las computadoras, el criterio se ha vuelto menos utilizado, ya que una alternativa es resolver el polinomio numéricamente, obteniendo aproximaciones a las raíces directamente.

La prueba de Routh se puede derivar mediante el uso del algoritmo euclidiano y el teorema de Sturm para evaluar los índices de Cauchy . Hurwitz derivó sus condiciones de manera diferente. ^[3]

Utilizando el algoritmo de Euclides

El criterio está relacionado con el teorema de Routh-Hurwitz . Del enunciado de ese teorema, tenemos donde: ${\displaystyle p-q=w(+\infty )-w(-\infty )}$

• ${\displaystyle p}$es el número de raíces del polinomio con parte real negativa; ${\displaystyle f(z)}$
• ${\displaystyle q}$es el número de raíces del polinomio con parte real positiva (según el teorema, se supone que no tiene raíces que se encuentren en la línea imaginaria); ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f}$
• w ( x ) es el número de variaciones de la cadena de Sturm generalizada obtenida a partir de y (por divisiones euclidianas sucesivas ) donde para un real y . ${\displaystyle P_{0}(y)}$ ${\displaystyle P_{1}(y)}$ ${\displaystyle f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)}$

Por el teorema fundamental del álgebra , cada polinomio de grado n debe tener n raíces en el plano complejo (es decir, para un ƒ sin raíces en la línea imaginaria, p  +  q  =  n ). Por lo tanto, tenemos la condición de que ƒ es un polinomio estable (de Hurwitz) si y solo si p  −  q  =  n (la prueba se da a continuación). Usando el teorema de Routh-Hurwitz, podemos reemplazar la condición sobre p y q por una condición sobre la cadena de Sturm generalizada, que a su vez dará una condición sobre los coeficientes de  ƒ .

Utilizando matrices

Sea f ( z ) un polinomio complejo. El proceso es el siguiente:

1. Calcular los polinomios y tales que y es un número real . ${\displaystyle P_{0}(y)}$ ${\displaystyle P_{1}(y)}$ ${\displaystyle f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)}$
2. Calcular la matriz de Sylvester asociada a y . ${\displaystyle P_{0}(y)}$ ${\displaystyle P_{1}(y)}$
3. Reordene cada fila de tal manera que una fila impar y la siguiente tengan el mismo número de ceros iniciales.
4. Calcular cada menor principal de esa matriz.
5. Si al menos uno de los menores es negativo (o cero), entonces el polinomio f no es estable.

Ejemplo

• Sea (para simplificar, tomamos coeficientes reales) donde (para evitar una raíz en cero y poder usar el teorema de Routh-Hurwitz). Primero, tenemos que calcular los polinomios reales y : ${\displaystyle f(z)=az^{2}+bz+c}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle P_{0}(y)}$ ${\displaystyle P_{1}(y)}$

${\displaystyle f(iy)=-ay^{2}+iby+c=P_{0}(y)+iP_{1}(y)=-ay^{2}+c+i(by).}$

A continuación, dividimos esos polinomios para obtener la cadena de Sturm generalizada:

• ${\displaystyle P_{0}(y)=((-a/b)y)P_{1}(y)+c,}$rendimientos ${\displaystyle P_{2}(y)=-c,}$
• ${\displaystyle P_{1}(y)=((-b/c)y)P_{2}(y),}$los rendimientos y la división euclidiana se detiene. ${\displaystyle P_{3}(y)=0}$

Nótese que tuvimos que suponer que b es distinto de cero en la primera división. La cadena de Sturm generalizada es en este caso . Poniendo , el signo de es el signo opuesto de a y el signo de by es el signo de b . Cuando ponemos , el signo del primer elemento de la cadena es de nuevo el signo opuesto de a y el signo de by es el signo opuesto de b . Finalmente, - c siempre tiene el signo opuesto de c . ${\displaystyle (P_{0}(y),P_{1}(y),P_{2}(y))=(c-ay^{2},by,-c)}$ ${\displaystyle y=+\infty }$ ${\displaystyle (c-ay^{2})}$ ${\displaystyle (y=-\infty )}$

Supongamos ahora que f es Hurwitz-estable. Esto significa que (el grado de f ). Por las propiedades de la función w , esto es lo mismo que y . Por lo tanto, a , b y c deben tener el mismo signo. Hemos encontrado así la condición necesaria de estabilidad para polinomios de grado 2. ${\displaystyle w(+\infty )-w(-\infty )=2}$ ${\displaystyle w(+\infty )=2}$ ${\displaystyle w(-\infty )=0}$

Criterio de Routh-Hurwitz para polinomios de segundo, tercer y cuarto orden

• Para el polinomio de segundo orden , todos los coeficientes deben ser positivos, donde para . ${\displaystyle P(s)=a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0}$ ${\displaystyle a_{i}>0}$ ${\displaystyle (i=0,1,2)}$
• Para el polinomio de tercer orden , todos los coeficientes deben ser positivos, donde para , y . ${\displaystyle P(s)=a_{3}s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0}$ ${\displaystyle a_{i}>0}$ ${\displaystyle (i=0,1,2,3)}$ ${\displaystyle a_{2}a_{1}-a_{3}a_{0}>0}$
• Para un polinomio de cuarto orden , todos los coeficientes deben ser positivos, donde para y ^[4] (Cuando se deriva esto, no se sabe que todos los coeficientes deben ser positivos y se agrega ) . ${\displaystyle P(s)=a_{4}s^{4}+a_{3}s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0}$ ${\displaystyle a_{i}>0}$ ${\displaystyle (i=0,1,2,3,4)}$ ${\displaystyle a_{2}a_{1}-a_{3}a_{0}>0}$ ${\displaystyle a_{3}a_{2}a_{1}-a_{4}a_{1}^{2}-a_{3}^{2}a_{0}>0}$ ${\displaystyle a_{3}a_{2}>a_{1}}$
• En general, el criterio de estabilidad de Routh establece que un polinomio tiene todas las raíces en el semiplano izquierdo abierto si y solo si todos los elementos de la primera columna de la matriz de Routh tienen el mismo signo.
• Todos los coeficientes que son positivos (o todos negativos) son necesarios para que todas las raíces se encuentren en el semiplano izquierdo abierto. Es por eso que aquí se fija a 1, que es positivo. Cuando se supone esto, podemos eliminar del polinomio de cuarto orden, y las condiciones para el quinto y sexto orden se pueden simplificar. Para el quinto orden solo necesitamos verificar eso y para el sexto orden solo necesitamos verificar y esto se optimiza aún más en el criterio de Liénard-Chipart . ^[5] De hecho, algunos coeficientes que son positivos no son independientes con los menores principales que son positivos, como la verificación se puede eliminar para el polinomio de tercer orden. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{3}a_{2}>a_{1}}$ ${\displaystyle \Delta _{2}>0,\Delta _{4}>0}$ ${\displaystyle \Delta _{3}>0,\Delta _{5}>0}$ ${\displaystyle a_{2}>0}$

Ejemplo de orden superior

Se puede utilizar un método tabular para determinar la estabilidad cuando las raíces de un polinomio característico de orden superior son difíciles de obtener. Para un polinomio de grado n

• ${\displaystyle D(s)=a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_{0}}$

La tabla tiene n  + 1 filas y la siguiente estructura:

donde los elementos y se pueden calcular de la siguiente manera: ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}}$

• ${\displaystyle b_{i}={\frac {a_{n-1}\times {a_{n-2i}}-a_{n}\times {a_{n-(2i+1)}}}{a_{n-1}}}.}$
• ${\displaystyle c_{i}={\frac {b_{1}\times {a_{n-(2i+1)}}-a_{n-1}\times {b_{i+1}}}{b_{1}}}.}$

Una vez completado, el número de cambios de signo en la primera columna será el número de raíces no negativas.

En la primera columna, hay dos cambios de signo (0,75 → −3 y −3 → 3), por lo tanto, hay dos raíces no negativas donde el sistema es inestable.

La ecuación característica de un sistema servo está dada por: ^[6]

• ${\displaystyle b_{0}s^{4}+b_{1}s^{3}+b_{2}s^{2}+b_{3}s+b_{4}=0}$

Para que el sistema sea estable, todos los elementos de la primera columna de la matriz de Routh deben ser positivos. Por lo tanto, las condiciones que deben cumplirse para que el sistema sea estable son las siguientes: ^[6]

${\displaystyle b_{1}>0,b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3}>0,(b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3})b_{3}-b_{1}^{2}b_{4}>0,b_{4}>0}$^[6]

Vemos que si

${\displaystyle (b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3})b_{3}-b_{1}^{2}b_{4}\geq 0}$

entonces

${\displaystyle b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3}>0}$

Está satisfecho.

• ${\displaystyle s^{4}+6s^{3}+11s^{2}+6s+200=0}$^[7]

Tenemos la siguiente tabla:

Hay dos cambios de signo. El sistema es inestable, ya que tiene dos polos en el semiplano derecho y dos polos en el semiplano izquierdo. El sistema no puede tener polos jω ya que no apareció una fila de ceros en la tabla de Routh. ^[7]

En ocasiones, la presencia de polos en el eje imaginario crea una situación de estabilidad marginal. En ese caso, los coeficientes de la "matriz de Routh" en una fila completa se vuelven cero y, por lo tanto, no es posible seguir resolviendo el polinomio para encontrar cambios de signo. En ese caso, entra en juego otro enfoque. La fila del polinomio que está justo encima de la fila que contiene los ceros se denomina "polinomio auxiliar".

• ${\displaystyle s^{6}+2s^{5}+8s^{4}+12s^{3}+20s^{2}+16s+16=0.\,}$

Tenemos la siguiente tabla:

En tal caso, el polinomio auxiliar es que es nuevamente igual a cero. El siguiente paso es derivar la ecuación anterior, lo que produce el polinomio . Los coeficientes de la fila que contiene cero ahora se convierten en "8" y "24". El proceso de matriz de Routh se lleva a cabo utilizando estos valores que producen dos puntos en el eje imaginario. Estos dos puntos en el eje imaginario son la causa principal de la estabilidad marginal. ^[8] ${\displaystyle A(s)=2s^{4}+12s^{2}+16\,}$ ${\displaystyle B(s)=8s^{3}+24s^{1}}$

Véase también

• Ingeniería de control
• Derivación de la matriz de Routh
• Criterio de estabilidad de Nyquist
• Teorema de Routh-Hurwitz
• Lugar de las raíces
• Función de transferencia
• Criterio de Liénard-Chipart (variante que requiere menos cálculos)
• Teorema de Kharitonov (variante para coeficientes desconocidos acotados dentro de intervalos)
• Criterio de estabilidad del jurado (análogo para sistemas LTI de tiempo discreto)
• Criterio de estabilidad de Bistritz (análogo a los sistemas LTI de tiempo discreto)

Referencias

1. Routh, EJ (1877). Tratado sobre la estabilidad de un estado dado de movimiento: particularmente el movimiento estacionario. Macmillan.
2. Hurwitz, A. (1895). "Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mitnegan reellen Theilen besitzt". Matemáticas. Ana. 46 (2): 273–284. doi :10.1007/BF01446812. S2CID  121036103. (Traducción al inglés “Sobre las condiciones bajo las cuales una ecuación tiene solo raíces con partes reales negativas” por HG Bergmann en Documentos selectos sobre tendencias matemáticas en la teoría de control R. Bellman y R. Kalaba Eds. Nueva York: Dover, 1964 págs. 70–82.)
3. Gopal, M. (2002). Sistemas de control: principios y diseño, 2.ª edición, Tata McGraw-Hill Education, pág. 14. ISBN 0070482896.
4. "Criterio de Routh-Hurwitz". math24.net . Consultado el 19 de julio de 2022 .
5. "Herramientas de análisis de estabilidad" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 26 de enero de 2015 . Consultado el 19 de julio de 2022 .
6. KUMAR, Anand (2007). SISTEMAS DE CONTROL . PHI Learning. ISBN 9788120331976.
7. Nise, Norman (2015). Ingeniería de sistemas de control . Wiley. ISBN 9781118800829.
8. Saeed, Syed Hasan (2008). Sistemas de control automático . Delhi: Katson Publishers. págs. 206, 207. ISBN 978-81-906919-2-5.

• Felix Gantmacher (traductor de J. L. Brenner) (1959). Aplicaciones de la teoría de matrices , págs. 177-80, Nueva York: Interscience.
• Pippard, AB; Dicke, RH (1986). "Respuesta y estabilidad, una introducción a la teoría física". American Journal of Physics . 54 (11): 1052. Bibcode :1986AmJPh..54.1052P. doi :10.1119/1.14826. Archivado desde el original el 2016-05-14 . Consultado el 2008-05-07 .
• Richard C. Dorf , Robert H. Bishop (2001). Sistemas de control modernos (novena edición). Prentice Hall. ISBN 0-13-030660-6.
• Rahman, QI; Schmeisser, G. (2002). Teoría analítica de polinomios . Monografías de la London Mathematical Society. Nueva serie. Vol. 26. Oxford: Oxford University Press . ISBN. 0-19-853493-0.Zbl 1072.30006  .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Routh-Hurwitz". MathWorld--Un recurso web de Wolfram .
• Stephen Barnett (1983). Polinomios y sistemas de control lineal , Nueva York: Marcel Dekker, Inc.

Enlaces externos

• Un script de MATLAB que implementa la prueba de Routh-Hurwitz
• Implementación en línea del criterio de Routh-Hurwitz