Polinomios de Romanovski

En matemáticas , los polinomios de Romanovski son uno de los tres subconjuntos finitos de polinomios ortogonales reales descubiertos por Vsevolod Romanovsky ^[1] (Romanovski en transcripción francesa) dentro del contexto de las funciones de distribución de probabilidad en estadística. Forman un subconjunto ortogonal de una familia más general de polinomios de Routh poco conocidos introducidos por Edward John Routh ^[2] en 1884. El término polinomios de Romanovski fue propuesto por Raposo, ^[3] con referencia a los llamados "polinomios pseudo-Jacobi" en el esquema de clasificación de Lesky. ^[4] Parece más consistente referirse a ellos como polinomios de Romanovski-Routh , por analogía con los términos Romanovski-Bessel y Romanovski-Jacobi utilizados por Lesky para otros dos conjuntos de polinomios ortogonales.

A diferencia de los polinomios ortogonales clásicos estándar, los polinomios en consideración difieren en que, para parámetros arbitrarios, solo un número finito de ellos son ortogonales , como se analiza con más detalle a continuación.

La ecuación diferencial de los polinomios de Romanovski

Los polinomios de Romanovski resuelven la siguiente versión de la ecuación diferencial hipergeométrica

Curiosamente, se han omitido de los libros de texto estándar sobre funciones especiales en física matemática ^[5]^[6] y en matemáticas ^[7]^[8] y tienen una presencia relativamente escasa en otras partes de la literatura matemática. ^[9]^[10]^[11]

Las funciones de peso son

Resuelven la ecuación diferencial de Pearson

que asegura la autoadjunción del operador diferencial de la ecuación diferencial ordinaria hipergeométrica .

Para $α = 0$ y $β < 0$ , la función de peso de los polinomios de Romanovski toma la forma de la distribución de Cauchy , por lo que los polinomios asociados también se denotan como polinomios de Cauchy ^[12] en sus aplicaciones en la teoría de matrices aleatorias. ^[13]

La fórmula de Rodrigues especifica el polinomio $R (α, β) n (x)$ como

donde $N n$ es una constante de normalización. Esta constante está relacionada con el coeficiente $c n$ del término de grado $n$ en el polinomio $R (α, β) n (x)$ por la expresión

lo cual es válido para $n \geq 1$ .

Relación entre los polinomios de Romanovski y Jacobi

Como lo muestra Askey, esta secuencia finita de polinomios ortogonales reales se puede expresar en términos de polinomios de Jacobi de argumento imaginario y, por lo tanto, se la denomina con frecuencia polinomios de Jacobi complejizados. ^[14] Es decir, la ecuación de Romanovski ( 1 ) se puede obtener formalmente a partir de la ecuación de Jacobi, ^[15]

a través de los reemplazos, para $x$ real ,

En cuyo caso se encuentra

(con constantes de normalización adecuadamente elegidas para los polinomios de Jacobi). Los polinomios complejos de Jacobi a la derecha se definen mediante (1.1) en Kuijlaars et al. (2003) ^[16] , lo que asegura que ( 8 ) son polinomios reales en x. Dado que los autores citados discuten las condiciones de ortogonalidad no hermítica (complejas) solo para índices de Jacobi reales, la superposición entre su análisis y la definición ( 8 ) de polinomios de Romanovski existe solo si α = 0. Sin embargo, el examen de este caso peculiar requiere un escrutinio más profundo que va más allá de los límites de este artículo. Nótese la invertibilidad de ( 8 ) según

donde, ahora, $P (α, β) n (x)$ es un polinomio de Jacobi real y

R_{n}^{\left(i(\alpha -\beta ),{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )+1)\right)}(-ix)

sería un polinomio complejo de Romanovski.

Propiedades de los polinomios de Romanovski

Construcción explícita

$Para α, β$ y $n = 0, 1, 2, ...$ reales , una función $R (α, β) n (x)$ se puede definir mediante la fórmula de Rodrigues en la ecuación ( 4 ) como

donde $w (α, β)$ es la misma función de peso que en ( 2 ), y $s (x) = 1 + x 2$ es el coeficiente de la segunda derivada de la ecuación diferencial hipergeométrica como en ( 1 ).

Nótese que hemos elegido las constantes de normalización $N n = 1$ , lo que equivale a elegir el coeficiente de mayor grado en el polinomio, como se indica en la ecuación ( 5 ). Tiene la forma

Obsérvese también que el coeficiente $c n$ no depende del parámetro $α$ , sino sólo de $β$ y, para valores particulares de $β$ , $c n$ se desvanece (es decir, para todos los valores

\beta ={\frac {k(k-1)-n(n-1)}{2(n-k)}}

donde $k = 0, ..., n - 1$ ). Esta observación plantea un problema que se aborda a continuación.

Para referencia posterior, escribimos explícitamente los polinomios de grado 0, 1 y 2,

{\begin{aligned}R_{0}^{(\alpha ,\beta )}(x)&=1,\\[6pt]R_{1}^{(\alpha ,\beta )}(x)&={\frac {1}{w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}\left(w'^{(\alpha ,\beta )}(x)s(x)+s'(x)w^{(\alpha ,\beta )}(x)\right)\\[6pt]&=t^{(\alpha ,\beta )}(x)=2\beta x+\alpha ,\\[6pt]R_{2}^{(\alpha ,\beta )}(x)&={\frac {1}{w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}\left(s^{2}(x)w'^{(\alpha ,\beta )}(x)+2s(x)s'(x)w^{(\alpha ,\beta )}(x)\right)\\&={\frac {1}{w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}\left(s(x)w^{(\alpha ,\beta )}(x)\left(t^{(\alpha ,\beta )}(x)+s'(x)\right)\right)\\[6pt]&=\left(2x+t^{(\alpha ,\beta )}(x)\right)t^{(\alpha ,\beta )}(x)+\left(2+t'^{(\alpha ,\beta )}(x)\right)s(x)\\[6pt]&=(2\beta +1)(2\beta +2)x^{2}+2(2\beta +1)\alpha x+\left(2\beta +\alpha ^{2}+2\right),\end{aligned}}

que se derivan de la fórmula de Rodrigues ( 10 ) junto con la EDO de Pearson ( 3 ).

Ortogonalidad

Los dos polinomios, $R (α, β) m (x)$ y $R (α, β) n (x)$ con $m \neq n$ , son ortogonales, ^[3]

Si y sólo si,

En otras palabras, para parámetros arbitrarios, solo un número finito de polinomios de Romanovski son ortogonales. Esta propiedad se denomina ortogonalidad finita . Sin embargo, para algunos casos especiales en los que los parámetros dependen de una manera particular del grado del polinomio, se puede lograr una ortogonalidad infinita.

Este es el caso de una versión de la ecuación ( 1 ) que se ha encontrado de nuevo de forma independiente en el contexto de la solubilidad exacta del problema mecánico cuántico del potencial trigonométrico de Rosen-Morse y que se informó en Compean y Kirchbach (2006). ^[17] Allí, los parámetros polinómicos $α$ y $β$ ya no son arbitrarios, sino que se expresan en términos de los parámetros del potencial, $a$ y $b$ , y el grado $n$ del polinomio de acuerdo con las relaciones,

En consecuencia, $λ n$ surge como $λ n = - n (2 a + n - 1)$ , mientras que la función de peso toma la forma

\left(1+x^{2}\right)^{-(a+n+1)}\exp \left(-{\frac {2b}{n+a+1}}\operatorname {arccot} x\right).

Finalmente, la variable unidimensional, $x$ , en Compean & Kirchbach (2006) ^[17] se ha tomado como

x=\cot \left({\frac {r}{d}}\right),

donde $r$ es la distancia radial, mientras que es un parámetro de longitud apropiado. En Compean & Kirchbach ^[17] se ha demostrado que la familia de polinomios de Romanovski correspondiente a la secuencia infinita de pares de parámetros, $d$

es ortogonal.

Función generadora

En Weber (2007) ^[18] polinomios $Q (αn, βn + n) ν (x)$ , con $β n + n = - a$ , y complementaria a $R (αn, βn) n (x)$ se han estudiado, generado de la siguiente manera:

Teniendo en cuenta la relación,

La ecuación ( 16 ) se vuelve equivalente a

y de esta manera vincula el complementario a los polinomios principales de Romanovski.

El principal atractivo de los polinomios complementarios es que su función generadora se puede calcular en forma cerrada. ^[19] Una función generadora de este tipo , escrita para los polinomios de Romanovski basándose en la ecuación ( 18 ) con los parámetros en ( 14 ) y por lo tanto haciendo referencia a la ortogonalidad infinita, se ha introducido como

Las diferencias de notación entre Weber ^[18] y las utilizadas aquí se resumen de la siguiente manera:

$G (α n, β n) (x, y)$ aquí versus $Q (x, y; α,- a)$ allí, $α$ allí en lugar de $α n$ aquí,
$a = - β n - n$ , y
$Q (α, -a) ν (x)$ en la ecuación (15) en Weber ^[18] correspondiente a $R (αn, βn + n - ν) ν (x)$ aquí.

La función generadora en discusión obtenida en Weber ^[18] ahora se lee:

Relaciones de recurrencia

Las relaciones de recurrencia entre las series ortogonales infinitas de polinomios de Romanovski con los parámetros en las ecuaciones anteriores ( 14 ) se derivan de la función generadora , ^[18]

como las ecuaciones (10) y (23) de Weber (2007) ^[18] respectivamente.

Véase también

Referencias

^ Romanovski, V. (1929). "Sur quelques classs nouvelles de polynomes orthogonaux". CR Acad. Ciencia. París (en francés). 188 : 1023-1025.
^ Routh, EJ (1884). "Sobre algunas propiedades de ciertas soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden". Proc. London Math. Soc . 16 : 245. doi :10.1112/plms/s1-16.1.245.
^ ab Raposo, AP; Weber, HJ; Álvarez Castillo, DE; Kirchbach, M. (2007). "Polinomios de Romanovski en problemas de física seleccionados". Centavo. euros. J. Física . 5 (3): 253–284. arXiv : 0706.3897 . Código Bib : 2007CEJPh...5..253R. doi :10.2478/s11534-007-0018-5. S2CID 119120266.
^ Lesky, PA (1996). "Sistema endliche und unendliche von kontinuierlichen klassischen Orthogonalpolynomen". Z. Angew. Matemáticas. Mec. (en alemán). 76 (3): 181. Código bibliográfico : 1996ZaMM...76..181L. doi :10.1002/zamm.19960760317.
^ Abramowitz, M. ; Stegun, I. (1972). Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas (2.ª ed.). Nueva York, NY: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.
^ Nikiforov, Arnol'd F.; Uvarov, Vasilii B. (1988). Funciones especiales de la física matemática: una introducción unificada con aplicaciones . Basilea: Birkhäuser Verlag. ISBN 978-0-8176-3183-3.
^ Szego, G. (1939). Polinomios ortogonales . Colloquium Publications. Vol. 23 (1.ª ed.). Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-1023-1.
^ Ismail, Mourad EH (2005). Polinomios ortogonales clásicos y cuánticos en una variable . Con dos capítulos de Walter V. Assche. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78201-2.
^ Askey, R. (1987). "Una integral de Ramanujan y polinomios ortogonales". Revista de la Sociedad Matemática de la India . 51 (1–2): 27.
^ Askey, R. (1989). "Integrales beta y polinomios ortogonales asociados". En Alladi, Krishnaswami (ed.). Teoría de números, Madrás 1987: Actas de la Conferencia Internacional del Centenario de Ramanujan, celebrada en la Universidad Anna, Madrás, India, 21 de diciembre de 1987. Lecture Notes in Math. Vol. 1395. Berlín: Springer-Verlag. págs. 84–121. doi :10.1007/BFb0086401. ISBN . 978-3-540-51595-1.
^ Zarzo Altarejos, A. (1995). Ecuaciones diferenciales de tipo hipergeométrico (PhD). Facultad de Ciencias, Universidad de Granada.
^ Witte, NS; Forrester, PJ (2000). "Probabilidades de brecha en conjuntos de matrices aleatorias de Cauchy finitas y escaladas". No linealidad . 13 (6): 13–1986. arXiv : math-ph/0009022 . Bibcode :2000Nonli..13.1965W. doi :10.1088/0951-7715/13/6/305. S2CID 7151393.
^ Forrester, PJ (2010). Log-Gases and Random Matrices . Monografías de la London Mathematical Society. Princeton: Princeton University Press . ISBN 978-0-691-12829-0.
^ Cotfas, N. (2004). "Sistemas de polinomios ortogonales definidos por ecuaciones de tipo hipergeométrico con aplicación a la mecánica cuántica". Cent. Eur. J. Phys . 2 (3): 456–466. arXiv : math-ph/0602037 . Bibcode :2004CEJPh...2..456C. doi :10.2478/bf02476425. S2CID 15594058.
^ Weisstein, Eric W. "Ecuación diferencial de Jacobi". MathWorld .
^ Kuijlaars, ABJ; Martinez-Finkelshtein, A.; Orive, R. (2005). "Ortogonalidad de polinomios de Jacobi con parámetros generales". Electron. Trans. Numer. Anal. 19 : 1–17. arXiv : math/0301037 . Código Bibliográfico :2003math......1037K.
^ abc Compean, CB; Kirchbach, M. (2006). "El potencial trigonométrico de Rosen-Morse en mecánica cuántica supersimétrica y sus soluciones exactas". J. Phys. A: Math. Gen. 39 ( 3): 547–558. arXiv : quant-ph/0509055 . Bibcode :2006JPhA...39..547C. doi :10.1088/0305-4470/39/3/007. S2CID 119742004.
^ abcdef Weber, HJ (2007). "Conexión entre polinomios de Romanovski y otros polinomios". Revista Central Europea de Matemáticas . 5 (3): 581. arXiv : 0706.3153 . doi :10.2478/s11533-007-0014-4. S2CID 18728079.
^ Weber, HJ (2007). "Conexiones entre soluciones polinómicas reales de ecuaciones diferenciales de tipo hipergeométrico con la fórmula de Rodrigues". Revista Central Europea de Matemáticas . 5 (2): 415–427. arXiv : 0706.3003 . doi :10.2478/s11533-007-0004-6. S2CID 115166725.