En el campo matemático de la topología , una variedad M se llama topológicamente rígida si cada variedad homotópicamente equivalente a M es también homeomorfa a M. [1]
Un problema central en topología es determinar cuándo dos espacios son iguales, es decir, homeomorfos o difeomorfos. Construir un morfismo explícitamente casi siempre resulta poco práctico. Si ponemos condiciones adicionales en uno o ambos espacios (colectores), podemos explotar esta estructura adicional para mostrar que debe existir el morfismo deseado.
El teorema de rigidez trata sobre cuando una equivalencia bastante débil entre dos variedades (generalmente una equivalencia de homotopía ) implica la existencia de un homeomorfismo, difeomorfismo o isometría de equivalencia más fuerte .
Una variedad topológica cerrada M se llama topológicamente rígida si cualquier equivalencia de homotopía f : N → M con alguna variedad N como fuente y M como destino es homotópica para un homeomorfismo.
Ejemplo 1.
Si las variedades cerradas M y N son homotópicamente equivalentes, entonces son homeomorfas. Además, cualquier equivalencia de homotopía de superficies cerradas se deforma a un homeomorfismo.
Ejemplo 2.
Si una variedad cerrada M n ( n ≠ 3) es equivalente en homotopía a S n, entonces M n es homeomorfa a S n .
Se dice que un difeomorfismo de variedades planas de Riemann es afín si lleva geodésicas a geodésicas.
Si f : M → N es una equivalencia de homotopía entre variedades de Riemann conectadas planas y cerradas, entonces f es homotópica a un homeomorfismo afín.
Teorema: Sean M y N variedades de Riemann compactas , localmente simétricas, con curvatura no positiva en todas partes y sin subespacio geodésico cerrado de una o dos dimensiones que sean factores directos localmente. Si f : M → N es una equivalencia de homotopía, entonces f es homotópica para una isometría.
Teorema (teorema de Mostow para n - variedades hiperbólicas, n ≥ 3): Si M y N son n - variedades hiperbólicas completas, n ≥ 3 con volumen finito y f : M → N es una equivalencia de homotopía, entonces f es homotópica para una isometría.
Estos resultados llevan el nombre de George Mostow .
Sean Γ y Δ subgrupos discretos del grupo de isometría del espacio n hiperbólico H , donde n ≥ 3, cuyos cocientes H /Γ y H /Δ tienen volumen finito. Si Γ y Δ son isomorfos como grupos discretos, entonces son conjugados.
(1) En el caso bidimensional, cualquier variedad de género al menos dos tiene una estructura hiperbólica. El teorema de rigidez de Mostow no se aplica en este caso. De hecho, hay muchas estructuras hiperbólicas en cualquier variedad de este tipo; cada una de estas estructuras corresponde a un punto en el espacio de Teichmuller.
(2) Por otro lado, si M y N son 2 variedades de volumen finito, entonces es fácil demostrar que son homeomórficos exactamente cuando sus grupos fundamentales son los mismos.
El grupo de isometrías de una n -colectora hiperbólica de volumen finito M (para n ≥ 3) se genera de forma finita [2] y es isomorfa a π 1 ( M ).