Riesgos proporcionales en tiempo discreto

En el análisis de supervivencia , los modelos de tasa de riesgo se utilizan ampliamente para modelar datos de duración en una amplia gama de disciplinas, desde la bioestadística hasta la economía. ^[1]

Los datos de duración agrupada están muy extendidos en muchas aplicaciones. Las duraciones del desempleo se miden normalmente en semanas o meses y estos intervalos de tiempo pueden considerarse demasiado grandes para que se mantengan las aproximaciones continuas. En este caso, normalmente tendremos puntos de agrupación , donde . Los modelos permiten covariables invariantes en el tiempo y variables en el tiempo , pero estas últimas requieren supuestos más sólidos en términos de exogeneidad . ^[2] La función de riesgo de tiempo discreto se puede escribir como: ${\displaystyle t_{a}}$ ${\displaystyle a=1,...,A.}$

${\displaystyle \lambda _{d}(t_{a}|\chi )=Pr(t_{a-1}\leqslant T<t_{a}|T\geqslant t_{a-1},x[t_{a-1}])={\frac {S(t_{a-1}|\chi )-S(t_{a}|\chi )}{S(t_{a-1}|\chi )}}}$

donde es la función de supervivencia . Se puede demostrar que esto se puede reescribir como: ${\displaystyle S(t_{a}|\chi )}$

${\displaystyle \lambda _{d}(t_{a}|\chi )=1-exp{\biggl (}-\int \lambda (s)ds{\biggr )}=1-exp{\Bigl (}-exp(ln\lambda _{0s}+x(t_{s-1})'\beta ){\biggl )}}$

Estas probabilidades proporcionan los elementos básicos para configurar la función de verosimilitud , que termina siendo: ^[3]

${\displaystyle L(\beta ,\lambda )=\textstyle \prod [\prod exp(-exp(ln\lambda _{0s}+x_{i}(t_{s}-1)'\beta ){\bigr )}]\times {\bigl (}1-exp{\bigl (}-exp(ln\lambda 0_{ai}+x_{i}(t_{a-1})'\beta ){\bigr )}{\Bigr )}}$

Esta maximización de máxima verosimilitud depende de la especificación de las funciones de riesgo de referencia. Estas especificaciones incluyen modelos totalmente paramétricos , modelos de riesgo proporcional constante por partes o enfoques de verosimilitud parcial que estiman el riesgo de referencia como una función de molestia. ^[4] Alternativamente, uno puede ser más flexible para el riesgo de referencia e imponer más estructura para Este enfoque funciona bien para ciertas medidas y puede aproximarse a funciones de riesgo arbitrarias relativamente bien, mientras que no impone requisitos computacionales estrictos. ^[5] Cuando las covariables se omiten del análisis, la máxima verosimilitud se reduce al estimador de Kaplan-Meier de la función de supervivencia. ^[6] ${\displaystyle \lambda _{0}^{d}(t)}$ ${\displaystyle \lambda _{i}^{d}(t)=\lambda _{0}^{d}(t)exp(-x_{i}'\beta ).}$

Otra forma de modelar datos de duración discreta es modelar transiciones utilizando modelos de elección binaria . ^[7]

Referencias

1. Jenkins, Stephen P. Estimación de modelos de riesgos proporcionales de tiempo discreto (datos de duración agrupados): pgmhaz (PDF) (Informe). ESRC Research Centre on Micro-Social Change, Universidad de Essex.
2. Wooldridge, J. (2002): Análisis econométrico de datos transversales y de panel, MIT Press, Cambridge, Mass.
3. Cameron AC y PK Trivedi (2005): Microeconometría: métodos y aplicaciones. Cambridge University Press, Nueva York.
4. Wooldridge, J. (2002): Análisis econométrico de datos transversales y de panel, MIT Press, Cambridge, Mass.
5. Han, AK y JA Hausman (1990): Estimación paramétrica flexible de modelos de duración y riesgo competitivo. Journal of Applied Econometrics, 5, págs. 1-28
6. Lancaster, T. (1990): El análisis econométrico de los datos de transición. Cambridge University Press, Cambridge.
7. Cameron AC y PK Trivedi (2005): Microeconometría: métodos y aplicaciones. Cambridge University Press, Nueva York.